초등학교 5학년 학생들의 소수 개념 이해

김예슬,남진영 경인교육대학교 교육연구원 2023 교육논총 Vol.43 No.2

This study examined fifth-grade elementary school student knowledge of the decimal concepts learned from national textbooks. A test that asked students to compare decimal sizes was conducted on two fifth-grade elementary school classes in A-si, Gyeonggi-do. Most students compared the decimals well; however, some students thought that the longer decimals were larger. There was also a higher incorrect answer rate when there were zeros in the decimal places, with many finding it difficult to explain the reason for this. In the decimal conceptualization tests, the students often used fractions to describe the decimals, and of the three representative decimal models, they found the base ten model to be the most comfortable. In the question that tested their understanding of decimal concepts, the incorrect answer rate was high for problems that connected fractions to decimals, asked about digit values, and when there were zeros in the decimal places. It was concluded that educational reinforcement was needed so that student could better understand decimal digit values, decimal numbers with zero as a digit, and the differences between fractions and decimals.

제수가 자연수인 소수의 나눗셈 계산 방법의 교육에 대한 논의

임재훈 대한수학교육학회 2023 수학교육학연구 Vol.33 No.1

In this study, I analyzed and structured the calculation methods for (decimal numbers)÷(whole numbers). Using the structure as a framework, I examined the current education regarding calculation methods for (decimal numbers)÷(whole numbers) in Korea. There are three calculation methods for (decimal numbers)÷(whole numbers): [Method 1] Extending the method of long division of whole numbers, [Method 2] Considering the number of minimum units, and [Method 3] Converting to division of fractions. [Method 1], which is based on the inherent conceptual aspect of decimal numbers, has been treated insufficiently. Furthermore, [Method 2] seems to be implemented by unit conversions, which do not highlight the essential idea of the method. By contrast, excessive emphasis is placed on [Method 3], which is based on the relationship between decimal numbers and fractions. It is more suitable to focus on [Method 1] and [Method 2] until students understand the essence of each method. [Method 1] and [Method 2] may be introduced in real-life situations. Subsequently, [Method 3] can be used as an opportunity to examine the division of decimals, fractions, and whole numbers together, focusing on mathematical internal connections. 이 논문에서는 (소수)÷(자연수)의 몫을 구하는 병렬적으로 보이는 여러 방법을 분석하고 소수의 개념적 측면을 고려하여 구조화하였다. 이어서 구조화한 틀의 활용 예시로, 현재 우리나라 초등학교의 (소수)÷(자연수) 계산 방법 교육의 양상을 비판적으로 고찰하였다. 고찰 결과, 우리나라 초등학교의 (소수)÷(자연수) 계산 방법의 교육에서 소수의 고유한 개념적 측면에 기반한 방법인 ‘자연수 등분제 계산 방법 확장하기’는 불충분하고 소홀하게 다루어진다. ‘최소 단위의 개수 생각하기’는 단위변환을 통하여 시도되는데 핵심 아이디어가 부각되지 않는다. 이에 비하여 소수와 분수의 관계에 기반한 ‘분수의 나눗셈으로 고치기’의 비중이 크고 유사한 활동이 반복된다. (소수)÷(자연수) 계산 방법의 교육에서 ‘자연수 등분제 계산 방법 확장하기’와 ‘최소 단위의 개수 생각하기’를 실생활 상황과 연결하여 각 방법의 본질이 학생들에게 이해되기까지 충실히 다루고, ‘분수의 나눗셈으로 고치기’는 수학 내적 연결성에 중점을 두어 실생활 상황을 사용하지 않고 다루는 것이 바람직하다. 이 논문의 논의는 (소수)÷(자연수) 계산 방법의 교육에서 소수의 복권을 주장하는 것으로 해석될 수 있다.

분수와 소수 지도를 위해 2015 개정 초등 수학 교과서에 제시된 시각적 모델 및 연관성 학습 경험 기회 분석

허진영,임수현 한국초등수학교육학회 2024 한국초등수학교육학회지 Vol.28 No.2

교과서는 교수자가 학생에게 학습 내용 전달을 위해 주로 사용하는 교재로, 교과서 에 제시된 학습 문제와 활동은 학생의 학습 경험 및 결과물과 밀접한 관련이 있는 것으로 알려져 있다. 본 연구는 교과서 분석을 통해 학생들의 분수와 소수 이해 증 진 및 학습 경험 개선 방안을 모색하고자 하였다. 구체적으로 분수와 소수 지도를 위해 2015 개정 교육과정 초등 수학 검정 교과서 5종에 제시된 시각적 모델 및 학 습 활동 유형, 분수와 소수 연관성 학습 경험 기회를 분석하였다. 연구 결과 수의 종류 및 크기, 학습 활동의 유형에 따라 교과서상에서 경험할 수 있는 시각적 모델 및 활동에 일부 불균형이 있었다. 구체적으로 1 미만의 분수에는 영역 모델, 1 이 상의 분수에는 길이 모델, 소수는 크기에 상관없이 길이 모델이 가장 많이 제시되 었으며, 분수와 소수 모두 시각적 표상을 수학적 표현으로 나타내는 활동이 주를 이루었다. 마지막으로 교과서상에서 분수와 소수의 연관성을 경험할 수 있는 문제 는 매우 적었다. 이러한 결과를 바탕으로 분수와 소수 이해 증진을 위한 교과서상 의 시각적 모델 및 학습 활동 유형의 재구성, 연관성 경험 기회 확대를 제언하였다. Textbooks serve as primary materials for instructors to deliver learning content to students. The questions and activities within textbooks significantly influence students' learning experiences and outcomes. This study aims to explore educational methods to enhance students' understanding of fractions and decimals and improve their learning experiences through textbook analysis. More specifically, we analyzed fraction and decimal visual models, types of their learning activities, and learning experience opportunities for their connection presented in the five 2015 revised elementary mathematics textbooks. The findings revealed imbalances in the presentation of visual models and activities based on the type and size of numbers and the types of learning activities in textbooks. Area models were most often presented for fractions less than 1, length models were most often presented for fractions greater than 1, and for decimals, length models were also most common, regardless of size. Activities that involve converting visual representations into mathematical expressions were prevalent for both fractions and decimals. However, there was a limited number of problems in the textbooks addressing the connection of fractions and decimals. Taken together, we recommended reorganizing the visual models and types of learning activities in the textbooks to promote fractions and decimals understanding and expanding connection experiences.

한국과 미국(Harcourt Math)의 초등수학 교과서 비교 분석 : 분수와 소수의 도입과 연산을 중심으로

최근배 한국초등수학교육학회 2015 한국초등수학교육학회지 Vol.19 No.1

이 논문에서는 분수와 소수를 중심으로 미국의 초등학교 교과서인 Harcourt Math와 한국의 2007 개정 교육과정에 따른 초등학교 교과서를 비교 분석하였다. 분석 결과를 요약하면 다음과 같다. 첫째, 미국의 Harcourt Math와 우리나라의 교과서 모두 분수를 전체-부분의 상태를 나타내는 것으로 도입하고 있는데, 미국의 경우가 우리의 경우보다 분수의 생성원으로서의 단위분수 관념이 강하게 나타나있다. 둘째, 당연한 것으로 여길 수 있는 극단적인 양-전체를 나타내는 분수, 분모가 1인 분수-의 표현이 미국의 교과서에서 우리의 경우보다 잘 드러난다. 셋째, 분수와 관련된 용어의 도입방식에 있어서, 우리나라의 교과서는 미국의 경우에 비해서 표현의 관점보다 분류의 관점이 강하다. 넷째, 동치분수와 동치소수의 개념이 미국 교과서(Harcourt Math)에서 우리의 경우보다 자세히 다루고 있다. 끝으로, 미국의 경우는 분수와 소수를 다루는 관점이 우리의 경우보다 좀 더 수학적인 구조에 충실한 것처럼 보인다. In this paper, we compared and analyzed the Korean National Mathematics textbooks of the 2007 amendment curriculum and the Harcourt Math in America focused on fractions and decimals. To summarize the results of the analysis are as follows. First, both textbooks introduce fractions to the meaning of parts-whole concept, but the Harcourt Math is stronger than that of Korean Mathematics textbooks in the concept of unit fractions as a generator of fractions. Second, the fractions can be considered trivial materials - a fraction representing 1 whole, a fraction with it's denominator is 1 - were more clearly represented in our US textbooks than those of our Korean textbooks. Third, in the introduction of the term relating to the fractions, Korea is a strong point of view of the classification of fractions than the point of view of representation in comparison with the case of the United States. Fourth, the equivalent fraction and equivalent decimal concepts were described more detail in the United States of textbooks than those of the case of Korean textbooks. Finally, the approaches of fraction and decimal concepts were introduced more mathematically in the case of the United States than those of the case of Korean textbooks.

인지진단모형을 적용한 초등학교 4학년 학생의 성취수준별 분수와 소수 문제해결력 분석

고혜정 ( Koh Hye-jung ),조영희 ( Cho Young-hee ),김동일 ( Kim Dong-il ) 한국특수아동학회 2017 특수아동교육연구 Vol.19 No.2

연구목적: 본 연구에서는 학생의 성취수준별 분수와 소수 문장제 문제해결능력을 인지진단모델을 적용하여 분석하고자 시행되었다. 연구방법: 초등학생 4학년 437명을 대상으로 분수와 소수에 관한 수학문장제 검사를 시행하고 이를 분석하였다. 분석을 위해 먼저, 4학년 교육과정의 내용 중분수와 소수에 관한 인지요소 6개를 추출하여 문항과 인지요소간의 관계를 나타내는 큐매트릭스를 작성하였으며, 수집된 데이터를 인지진단분석방법 중 하나인 DINA모델로 분석하였다. 연구결과: 그 결과, 인지요소 6개 모두 고성취, 중간성취, 저성취 순으로 숙달확률을 보였으며, 인지진단상태는 저성취 학생들의 경우 매우 다양하게 나타났다. 결론: 인지진단 결과를 바탕으로 학생들의 현재 수행상태와 보유하고 있는 인지요소를 확인하고, 부재상태인 인지요소에 대한 집중적인 교육이 제공되어야함을 제시하였고, 이에 대한 논의와 향후 연구를 제언하였다. Purpose: This research aimed to analyze the problem solving abilities of fractions and decimals in the 4th grade using cognitive diagnostic model. Method: Fourth grades(N=437) were measured on word problems test about fractions and decimals. As an analysis method for DINA model, first, we analyzed 4th mathematics curriculum and defined attributes about fractions and decimals. Second, we developed Q matrix that indicate which attributes are required for each item. After then, we analyzed this data using DINA model. Results: In 6 attributes about fractions and decimals, it showed high probability of mastery in high achievement group and showed low probability of mastery in low achievement group. Also, there were more various cognitive attribute patterns in low achievement group than middle and high achievement group. Conclusion: This result would be very helpful to understand the students` mastery attributes and to teach non-mastery attributes for achievement. Implications of these results and suggestions for follow-up studies were discussed.

Best k-digit Rational Approximations ― True Versus Convergent-, Decimal-based Ones: Quality, Cost, Scope

S. K. Sen,R. P. Agarwal,G. A. Shaykhian 장전수학회 2009 Advanced Studies in Contemporary Mathematics Vol.19 No.1

A k-digit rational approximation of an irrational number is defined as the rational number with k digits in the numerator. The actual best k digit rational approximation is unique and is the true/absolute one. The best k - digit rational approximation, when it exists, obtained from the convergents of the continued fraction representation of an irrational number is also unique and need not be the same as the absolute one. The best k digit decimal number for the irrational number is also unique but is not the true best k - digit rational approximation, in general. We discuss here the quality implying error, the cost implying computational/time complexity, and scope implying a possible usage/application of the concerned three computational algorithms.

초등수학에서 측정활동에 기반한 소수의 학습·지도 방안 및 학생의 이해 실태 분석

김은정,강흥규 한국초등수학교육학회 2014 한국초등수학교육학회지 Vol.18 No.1

소수 개념은 측정수, 십진기수법, 분수, 비, 작용소, 통약 불가능성, 무한근사, 실무한, 계산수 등 여러 측면을 가지고 있지만, 이 소수 개념의 요소들은 분리될 수 있는 것이라기보다는 단위의 세분할에 의한 측정활동에 복합적으로 내재되어 있다. 요컨대 소수 지도의 핵심은 측정활동이며, 소수의 개념 지도를 위해서는 자연수, 분수와의 관계 이해와 십진기수법적인 자리체계를 명확히 이해시키는 것이 중요하며 그 수단으로 측정활동이 강조되어야 한다. 이 논문에서는 측정활동을 방법으로 소수에 내포된 여러 개념들을 통합적으로 이해시킬 수 있는 학습·지도안을 구성하고, 그에 따른 학생들의 이해 실태를 분석하고자 한다.

Stevin의 <소수>의 수학사적 의의와 수학교육적 함의

장혜원 대한수학교육학회 2011 수학교육학연구 Vol.21 No.2

Stevin is known as the inventor of decimal fractions, even though many mathematicians had the concept of decimal fractions and used it before Stevin. Why? To respond to such a question, we studied about its significance which <La Disme> had in the history of mathematics. These can be summarized as its notational aspect, the manner of developing the book, the conceptual revolution and the practical purpose. And the chapter and verse of <La Disme> are little known when compared to its reputation. So in this paper we considered its contents in detail and discussed some didactical implications in relation to teaching and learning of decimal fractions in elementary school : importance of place values, similarity of calculation to natural numbers, using common fractions to justify, emphasis on the applications of decimal fractions, relation to measuring units, necessity of teaching number sense, using notational aspects. 소수는 자연수와의 유사성 덕분에 교수-학습시 용이함과 곤란함을 동시에 지니는 초등 수학의 지도 내용이다. 소수의 창시자로 언급되는 Stevin과 소수 개념을 소개한 그의 저서 <소수(La Disme)>는 소수의 역사에서 빼놓을 수 없는 수학자이고 수학책이다. 그러나 대부분의 수학적 개념들의 발달 과정과 마찬가지로 소수 개념에 대한 인식 및 사용은 Stevin 이전 시대에 이미 있어 왔다. 본 연구에서는 그럼에도 불구하고 Stevin이 소수의 창시자로 언급되는 이유를 <소수>가 수학사에서 지니는 의미와 관련하여 고찰하였다. 구체적으로 표기적 측면, 책의 전개 방식, 개념적 혁명, 실용적 목적 등의 측면에서 의의를 찾을 수 있었다. 그리고 책의 명성에 비해 원전의 상세한 내용은 잘 알려져 있지 않은 <소수>에 대한 상세한 검토를 통해 초등수학교육에서 소수가 지도되는 방법과 관련한 몇 가지 시사점을 논의하였다.

수학의 내적 연결성을 강조한 5학년 분수 나눗셈과 소수 나눗셈 수업의 실행 연구

김정원 대한수학교육학회 2017 수학교육학연구 Vol.27 No.3

The meanings of division don't change and rather are connected from whole numbers to rational numbers. In this respect, connecting division of natural numbers, division of fractions, and division of decimal numbers could help for students to study division in meaningful ways. Against this background, the units of division of fractions and division of decimal numbers in fifth grade were redesigned in a way for students to connect meanings of division and procedures of division. The results showed that most students were able to understand the division meanings and build correct expressions. In addition, the students were able to make appropriate division situations when given only division expressions. On the other hand, some students had difficulties in understanding division situations with fractions or decimal numbers and tended to use specific procedures without applying diverse principles. This study is expected to suggest implications for how to connect division throughout mathematics in elementary school. 나눗셈의 의미는 수의 범위가 확장되어도 연결된다. 즉, 자연수 범위에 적용되는 나눗셈의 의미는 분수 및 소수를 다루는 유리수 범위로 확장되어도 적용가능하다. 이러한 측면에서 자연수의 나눗셈과 분수의 나눗셈, 소수의 나눗셈을 서로 연결하여 가르치는 것은 수학의 내적 연결성을 통하여 나눗셈을 의미 있게 학습하는데 도움이 될 것이다. 본 연구에서는 5학년 2학기에 제시되는 분수의 나눗셈과 소수의 나눗셈 단원을 나눗셈의 의미와 절차가 연결되도록 재구성한 뒤 수업을 실행하고 분석하였다. 연구 결과, 학생들은 수의 범위가 확장되더라도 나눗셈의 의미를 이해하여 문제를 해결하거나 만들 수 있었다. 또한 문제 해결 과정에서 자연수의 나눗셈, 분수의 나눗셈, 소수의 나눗셈의 원리를 이용할 수 있었다. 단, 일부 학생들의 경우 나눗셈 의미를 이해하지 못하여 잘못된 나눗셈식을 세우거나 문제를 만들었으며, 특정한 해결 절차만을 선호하는 모습도 발견할 수 있었다. 본 연구를 통하여 초등학교 전 과정에 제시되는 나눗셈을 연결성을 강조하여 의미 있게 지도ㆍ학습할 수 있는 방향을 모색하는데 도움이 되기를 기대한다.

분수와 소수의 곱셈과 나눗셈 지도 순서에 관한 예비교사의 인식과 개선

조진석,김성준,이동환 한국초등수학교육학회 2019 한국초등수학교육학회지 Vol.23 No.1

본 연구에서 예비교사들은 자신들의 학교수학에 대한 경험과 지식을 토대로 분수의 곱셈과 나눗셈 지도 순서를 배치하는 활동을 하였다. 그 결과 교육과정의 제시된 순서와 일치한 경우는 없었지만 이러한 활동은 예비교사의 인식을 드러낼 수 있는 기회가 되었고 예비교사들은 자신의 인식과 교육과정의 차이 그리고 서로 간의 인식이 다름을 확인하면서 교사에게 필요한 지식을 배울 수 있었다. 즉, 예비교사들은 분수와 소수의 곱셈과 나눗셈 지도 순서에 내재된 수학적 관계를 알 수 있었고, 연산 지도에서 학생들의 사전 지식과 생각을 파악하는 것의 중요성과 어려움을 알 수 있었으며, 교수학습 방법으로서 생산적 실패의 효과를 체감할 수 있었다. In this study, prospective teachers were involved in arranging the teaching sequence of multiplication and division of fractions and decimal numbers based on their experience and knowledge of school mathematics. As a result, these activities provided an opportunity to demonstrate the prospective teachers' perception. Prospective teachers were able to learn the knowledge they needed by identifying the differences between their perceptions and curriculum. In other words, prospective teachers were able to understand the mathematical relationships inherent in the teaching sequence of multiplication and division of fractions and decimal numbers and the importance and difficulty of identifying students' prior knowledge and the effects of productive failures as teaching methods.