산술평균과 기하평균의 대소 관계를 이용한 최대ㆍ최소 문제해결에서의 오답유형 분석 : 고등학교 1학년 학생을 대상으로

허진영 한국교원대학교 대학원 2010 국내석사

본 연구에서는 우리나라 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 산술평균과 기하평균의 대소 관계를 이용한 최대·최소 문제해결에서의 오답유형을 분석하고 보다 효과적인 교수·학습 지도와 학생들의 수학 학습에 도움을 주기 위한 지도 방안을 모색하고자 하였다. 위와 같은 연구 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 내용을 설정하였다. 1. 산술평균과 기하평균의 대소 관계를 이용한 최대·최소 문제해결에서의 오답유형 분석 2. 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 대한 지도 방안의 모색 본 연구를 수행하기 위하여 연구자가 임의로 선정하여, 부산시에 소재한 P 고등학교와 Y 여자고등학교에서 각각 3개 학급과 2개 학급의 총 5개 학급의 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 조사 연구하였다. 이렇게 하여 부산시에 소재한 P 고등학교 1학년 97명과 Y 여자고등학교 1학년 68명의 총 165명을 대상으로 본 검사를 실시한 후 학생들이 풀어놓은 검사지를 분석하였다. 본 연구의 결과 산술·기하 평균의 대소 관계를 이용하여 최댓값·최솟값과 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하는 문제해결 과정에서 다음과 같은 문제점이 나타났다. 첫째, 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab을 이용하여 최댓값이나 최솟값을 구하는 것에는 익숙하지만, 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하거나 부등식이 성립할 조건 a>0, b>0을 생각하는데 익숙하지 않은 학생들이 많았다. 이로 인해 최댓값이나 최솟값만 구하고 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 생각하지 않아 조건을 구하지 않거나 문제의 조건에 맞지 않는 음수까지 조건으로 답하는 학생들이 많았다. 둘째, 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하는 과정에서 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab의 등호가 성립할 조건 을 이용하여 최댓값·최솟값을 가질 조건을 구하지 않고 방정식 을 이용하여 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하려는 학생들이 많았다. 이로 인해 문제가 간단한 경우에는 방정식을 이용하여 문제를 성공적으로 해결하였으나 문제가 어려워 식이 복잡해지면 방정식을 풀지 못해 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하지 못하는 학생들이 많았다. 셋째, 주어진 문제에서 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab을 이용하지 않고 몇 개의 자연수를 식에 대입하여 최댓값·최솟값과 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하려는 학생들이 있었다. 하지만 자연수를 대입하는 전략은 자연수가 아닌 유리수나 무리수 등에서 최댓값·최솟값을 가지면 사용할 수 없는 전략으로 자연수에서 최댓값이나 최솟값을 가지는 경우에는 자연수를 대입하여 문제를 해결하였지만 무리수에서 최댓값이나 최솟값을 가지는 문제에서는 문제를 해결하지 못하는 학생이 있었다. 넷째, 두 식의 곱에 대한 최솟값을 구하는 문제에서 곱해진 두 식에 각각 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab을 이용하여 문제를 해결하려는 학생들이 많았다. 하지만 이와 같은 문제 해결 방법은 곱해지는 두 식에서 등호가 성립할 조건이 동일한 경우에 한하여 사용가능한 전략으로 등호가 성립할 조건이 상이한 경우에는 사용할 수 없는 전략이다. 이를 해결하기 위한 지도 방안으로 다음을 제언하고자 한다. 첫째, 교사는 산술·기하 평균의 대소 관계를 지도할 때 부등식 a+b≥2√ab은 a>0, b>0라는 조건에서 성립한다는 것과 등호는 어떤 조건에서 성립하는지를 강조하여 설명하고 부등식의 증명과정에서 이러한 조건이 왜 필요한지를 강조하여 지도한다. 둘째, 교사는 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab에서 등호가 성립할 때 최댓값이나 최솟값을 갖는다는 것을 강조하고 구체적인 문제로 예를 들어 등호가 성립할 조건을 이용하는 방법과 방정식을 이용하는 방법으로 각각 풀어보고 비교해봄으로써 등호가 성립할 조건을 이용하는 것이 효과적임을 지도한다. 셋째, 교사는 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab은 모든 양의 실수 에 대해 성립한다는 것을 강조하고 매우 큰 자연수 또는 자연수가 아닌 유리수나 무리수에서 최댓값이나 최솟값을 가지는 문제를 학생들에게 예로 제시하여 몇 개의 자연수를 대입하는 방법을 일반적으로 사용하기에는 무리가 있음을 이해시키고 산술·기하 평균의 대소 관계를 이용하도록 강조하여 지도한다. 넷째, 교사는 두 식의 곱에 대한 최솟값을 구하는 문제를 지도할 때 곱해지는 두 식에서 등호가 성립할 조건이 상이한 문제를 학생들에게 예로 들어 곱해진 두 식에 각각 부등식 a+b≥2√ab을 이용하는 방법을 일반적으로 사용하기에는 무리가 있음을 이해시키고 식을 전개한 후 산술·기하 평균의 대소 관계를 이용해 문제를 해결하도록 강조하여 지도한다. The purpose of this study is to investigate the 10th graders' activities to solve problems using the arithmetic-geometric mean inequality and to explore teaching methods which can improve students' problem-solving ability. To achieve this purpose, two research contents were attempted. (1) An analysis of the 10th graders' problem-solving activities using the arithmetic-geometric mean inequality. (2) A proposals of teaching methods for improvement of students' problem-solving ability using the arithmetic-geometric mean inequality. From the analysis of students' problem-solving activities, the results are as follow. (1) Many students ignored the condition a+b≥2√ab which is indispensable to the arithmetic-geometric mean inequality and the conditions in which problems have the maximum or minimum values, while they successfully found the maximum or minimum values using the arithmetic-geometric mean inequality. (2) Finding the conditions in which problems have the maximum or minimum values, many students used the equation a+b≥2√ab which drew them to go wrong in complex problems. (3) Not knowing that the problems which have the maximum or minimum values when variables are irrational couldn't be solved by method of substitution, some students tried to solve problems by the method of substitution. (4) Some students thought that the multiplication of two minimum values obtained from two formulas by using the arithmetic-geometric mean inequality respectively is the minimum value of the multiplication of two formulas. Based on the above results, the following teaching methods could be proposed. (1) Teaching the arithmetic-geometric mean inequality a+b/2≥√ab, teachers emphasize that the condition is indispensable to the arithmetic-geometric mean inequality and explain the meaning of the condition in which an equality is held. (2) By comparing the method which uses the condition a=b with the method which uses the equation a+b≥2√ab, teachers emphasize that the former method is easy and effective. (3) By exemplifying the problem which has the maximum (or minimum) value when variables are irrational, teachers explain that the method of substitution can't be used in a general way. (4) By illustrating an example that the minimum value of the multiplication of two formulas can't be obtained by multiplying two minimum values obtained from two formulas respectively, teachers explain that the method by expanding the multiplication of two formulas is general.

중등수학에서 산술-기하평균 부등식의 지도방안에 대한 고찰

허동은 인하대학교 교육대학원 2008 국내석사

본 논문은 산술-기하평균 부등식의 의의를 찾아보고 학생들이 스스로 산술-기하평균 부등식을 응용 및 활용하여 최대·최소값을 구하는 문제해결력을 신장할 수 있는 지도방안을 모색해보는 것이 목적이다. 구체적으로 산술-기하평균 부등식을 소개하고 증명 할 때, 유한개의 변수에서 국한에서 가르칠 것이 아니라 좀 더 일반적인 산술-기하평균 부등식의 n변수 확장정리를 아주 강조하며 그와 관련된 문제 상황을 많이 소개하고 지도해야 한다고 본다. 이는 바로 수학적 문제해결력의 신장과 직결되어 있다. 끝으로, 본 논문을 통해서 교사들이 부등식의 증명단원을 지도하는데 있어서 학생들에게 실제로 도움이 될 목표를 되찾아서 학생들의 수학적 문제해결력 신장에 큰 도움이 되도록 해주었으면 한다. The chapters on the AM-GM inequality's proof of the current school mathematics mainly focus on the brief introduction of the inequality and its proof. As a matter of fact, the insufficient teaching of the meaning of the AM-GM inequality make the learners feel confused when applying the problems. Through this study, it is expected that teachers will continue to use question-raising teaching methods by seeking practical goals for students regarding the teaching of the chapters for inequality proof and will make efforts to improve students' mathematical problem-solving ability.

GSP를 이용한 영재 프로그램 개발 : 기하평균을 중심으로

김민영 제주대학교 교육대학원 2010 국내석사

제7차 초등학교 교육과정에서 ‘확률과 통계’에 대한 지도는 초등학교 1학년부터 6학년까지 체계적으로 이루어지고 있다. 하지만 초등학교 5학년에서 처음 도입하고 있는 평균에 관한 내용은 학생들로 하여금 평균은 산술평균이라는 수학적 오개념을 낳고 있다. 이러한 수학적 오개념은 중학교, 고등학교 수학에서 수학에 대한 거부감과 불안을 낳을 수 있다. 그래서 초등학교 학생들에게는 어려울지 모르지만 수학적 오개념을 없애기 위해서 자세하게 가르치지는 않더라도 평균의 종류 및 그 내용에 대해서 약간은 설명을 해야 한다는 생각을 갖게 되었다. 하지만 프로그램을 개발하는데 있어서 초등학교 학생들에게는 아직 어려운 점이 많아 영재 학생들을 대상으로 하는 수업으로 한정을 두었다. 그래서 산술 평균과 기하 평균에 대한 수학 수업에 있어서 설명만으로 끝나는 수업이 아닌 다양한 교구와 GSP 프로그램 등을 이용해서 산술․기하평균의 차이점, 기하평균의 의미, 기하평균의 원리 발견 등 여러 가지 내용을 중심으로 프로그램을 개발하였다. 총 7개의 프로그램에서 1번부터 6번까지 프로그램은 여러 가지 교구와 컴퓨터, GSP 프로그램을 이용해서 개념과 원리를 스스로 발견하고 탐구하는 활동으로 만들었다. 마지막 7번 프로그램에서는 산술평균, 기하평균, 조화평균의 기본적인 개념과 원리를 확인하고 정리할 수 있도록 개발하였고, 이 과정을 통해서 아동들이 스스로 발견하고 탐구한 내용을 정리하고 확인할 수 있도록 유도하였다. 총7개의 프로그램을 통해서 아동들이 스스로 탐구하고 발견하는 능력을 기를 수 있도록 하였고, 탐구 및 발견하는 과정을 통해서 수학적 사고력과 탐구력을 기를 수 있도록 하였다. 또한 단순하게 수학적 지식을 암기하는 것이 아닌 수학적 지식 및 원리가 어떻게 생겨났으며 왜 이러한 개념이 필요한지 설명할 수 있도록 구성하였다. 그리고 산술평균과 기하평균의 지식과 원리가 어떻게 생겨났으며 왜 이러한 개념이 필요한지 설명할 수 있게 될 것으로 보인다. 이러한 학습 자료들은 단순한 지식 습득이 아닌 심도 있게 수학적 지식을 이해할 수 있는 기회를 제공해 주고, 산술․기하평균 내용뿐만 아니라 다른 수학적 지식에도 적용할 수 있는 수학적 힘을 기를 수 있게 될 것이다. The 7th elementary school curriculum contains systematic educational guide for the teaching of probability and statistics for the 1st graders through 6th graders. But the concept of average first introduced in the 5th year of elementary school creates misconception among learners that average refers to arithmetic average return. The misconception may cause the students to internally harbor unnecessary resistance to or anxiety about the subject "mathematics." This is the reason that the study is intended to provide explanation about types and details of average, even though it may not be detailed. Despite that, there were lots of difficulties in developing programs for elementary schoolers. This is why the program is limited to class for gifted and talented students. As far as classes for arithmetic average return and geometric means return are concerned, a variety of educational tools and GSP programs were employed to explain difference between the two as well as the meaning and principle of geometric means return. Among the seven programs, No. 1 to 6 involve a variety of educational tools, computer and GSP program to give students better understanding of concept and principles. NO. 7 program is developed to summarize basic concept and principles of arithmetic average return, geometric means return and harmonic average. These programs are all designed to induce students to find and discover principles and meanings for themselves. The programs are developed to promote students' capability to find answers for themselves, allowing them to be accustomed to thinking over and discovering mathematic concept and principles for themselves. These are all designed not for cramming their heads with facts but for providing genuine understanding of the origin of mathematic concept and principles. These materials not just provide an opportunity to give students in-depth look at mathematics but motivate students to apply these concept and principles to different mathematic knowledge.

Geometric means and nonlinear matrix equaions : 기하평균과 비선형 행렬방정식

이호수 경북대학교 대학원 2011 국내박사

고전해석학에서 중요한 역할을 하는 양의 실수 개념은 양의 고유치를 갖는 양정치 행렬(positive definite matrix, PDM)의 비가환 해석학분야로 자연스럽게 확장된다. 양정치 행렬에 대한 연구는 양정치 행렬 집합이 해석학적으로 열린 볼록원추라는 사실과 기하학적으로는 음의 곡률을 갖는 대칭 리-만 공간의 전형적인 예라는 점, 그리고 행렬곱의 비가환성 때문에 발생하는 고유치의 변분적 성질과, 양의 실수에서 성립하는 결과들을 행렬부등식으로 확장하는데 있어서의 어려움으로 인하여 오히려 그 관심이 더욱더 고조되어 왔다. 양정치 행렬의 양치성과 관련된 수학 및 자연과학의 분야는 볼록 최적화이론 및 양의 반정부호 계획법, 고유치 최적화, 비선형 행렬방정식, 정보기하학, 비가환 조화해석 등 헤아리기 어려울 정도로 광범위하다. 뿐만 아니라 공학적으로도 전파 통신 시스템, 영상처리(의료영상), 제어공학, 신호처리, 전기 네트워크 등 양정치 행렬이 필수적으로 활용되는 분야는 매우 다양하다. 이 논문은 행렬역원에 대하여 보존되는 다변수 양정치 행렬의 평균화 문제와 비선형 행렬 방정식의 해의 존재성 및 해 함수의 성질(연속성, 거리축약성, 미분가능성)에 대한 연구결과로 구성되어 있다. 일반적인 산술평균은 행렬역원에 심각한 오류를 동반하게 되기 때문에 양정치 행렬(데이터)이 지닌 특성을 잃어버리는 문제를 가지고 있어 근사, 보간, 필터링, 계산이 연루된 수치적 알고리듬 개발에 있어서는 행렬역원에 대하여 보존되는 다변수 양정치 행렬의 평균화 및 데이터가 지닌 특성을 잃어버리지 않는 평균화에 대한 요구가 필연적으로 따르게 되어있다. Ando-Li-Mathias와 Bini-Meini-Polini가 이변수 기하평균으로부터 대칭반복법을 이용하여 귀납적으로 다변수 기하평균(ALM 평균, BMP평균)을 정의하고 다변수 기하평균이 가져야 할 10가지 성질들에 대하여 소개하였다. 하지만 대칭반복법이 극한을 반복하여 사용하기 때문에 많은 변수들에 대하여 평균을 계산하는데 효율성이 떨어진다는 단점을 가지고 있다. 본 논문의 2장에서는 극한을 한차례만 사용하여 효율성을 높인 새로운 다변수 기하평균(JLY평균)을 정의하였다. 더불어 가중치를 갖는 다변수 기하평균들을 정의하고 그 성질에 대해서도 알아보았다. 비선형 행렬방정식은 제어이론, 필터링, 회로이론 등 많은 공학분야에서 응용되고 있다. 비선형 행렬방정식은 그 응용분야가 다양한 만큼 수학자들로부터 방정식의 풀이에 대한 관심도 많이 받고 있다. 특히, 해의 존재성, 해가 존재한다면 유일성 여부, 근사해를 구하는 방법, 계수와 상수항의 섭동으로부터 해가 어떤 영향을 받는지 등 행렬방정식에 접근하는 방법도 다양하다. 비선형 행렬방정식 중 Discrete Algebraic Riccai Equation(DARE), Levy-Ferrant, Stein, Bushll equations은 유일한 양정치 행렬 해를 가진다는 사실을 잘 알려져 있다. 본 논문의 3장에서는 위 비선형행렬방정식들의 일반화된 형태에 대하여 해의 존재성 및 유일성에 대하여 살펴보았다. 또한 비선형방정식의 유일해로 정의된 해함수가 연속성, 거리축약성, 미분가능성을 가진다는 결과도 얻었다.

사스 코로나바이러스-2 mRNA 백신의 유효성 및 안전성에 대한 전략적 연구

김현주 연세대학교 대학원 2023 국내석사

2019년 발병된 신종 SARS-CoV-2 바이러스는 현재까지도 많은 지역에서 광범위한 지역사회 전파가 발생하고 있으며 장기화로 SARS-CoV-2 mRNA 백신은 전파와 확산을 예방할 수 있는 중요한 수단이 되고 있다. 이에 본 연구는 SARS-CoV-2 mRNA 백신의 유효성 및 안전성을 전략적 연구를 통해 분석하고자 하며 SARS-CoV-2 mRNA 백신 접종의 필요성에 대한 근거를 평가하고자 한다. 총 3개의 데이터베이스(Pubmed, Embase, Cochrane Library)를 활용하여 2022년 6월 22을 기준으로 검색하였고 검색 전략 및 PRISMA flow에 따라 총 6개의 문헌을 최종적으로 선정하였다. 선정된 문헌에서 SARS-CoV-2 바이러스 감염 이력이 없는 사람들을 대상으로 SARS-CoV-2 mRNA 백신 접종을 한 대상군과 위약 접종을 한 대상군의 유효성과 안전성 결과에 대해 체계적인 문헌 고찰 및 메타분석을 수행하였다. 유효성 평가의 지표로는 SARS-CoV-2 mRNA 백신 및 위약에 대해 2차 접종을 완료한 사람을 대상으로 SARS-CoV-2 바이러스 감염률과 면역원성을 분석하였는데, 면역원성의 경우 SARS-CoV-2 중화항체의 기하평균 역가(Geometric Mean Titer, GMT), 기하평균 증가 비율(Geometric Mean Fold Rise, GMFR)로 평가하였다. 안전성 평가의 경우 SARS-CoV-2 mRNA 백신 및 위약 접종 1차 이상을 한 대상자에게서 발생한 모든 이상 사례에 대해 평가하였다. SARS-CoV-2 mRNA 백신에 초점을 두어 현재 시판 중인 2개의 백신 (mRNA-1273, BNT162b2)의 유효성과 안전성에 대해 선정된 6개의 문헌으로 전략적 연구를 진행한 결과, 위약 접종군 대비 백신 접종군에서의 SARS-CoV-2 바이러스에 대해 상대위험도는 0.05로 95%의 높은 유효성을 보였다. 또한, SARS-CoV-2 중화항체의 기하평균 역가, 기하평균 증가 비율의 수치는 위약 접종군 대비 백신 접종군에서 높은 수치를 보였으며 기하평균 역가의 경우 모더나 백신을 접종한 사람이 더 높게 나타났으며 기하평균 증가 비율의 경우 화이자 백신을 접종한 사람이 더 높게 나타났다. 안전성 측면에서 보자면, 1차 접종과 2차 접종 후 각각 보고된 전체 예측되는 이상 사례에 대해 백신 접종군에서의 상대위험도는 각각 1.75, 2.10로 위약 접종군 대비 크게 높지 않은 발생률을 보였다. 예측되는 이상 사례 중 보고된 국소 이상 사례에 대한 1차 접종과 2차 접종 후 상대위험도는 각각 3.96, 4.95로 위약 접종군 대비 다소 높은 발생률을 보였으며 전신 이상 사례의 경우 1.28, 2.11로 위약 접종군 대비 크게 높지 않은 발생률을 보였다. 예측되지 않는 이상 사례와 중대한 이상 사례에 대해서는 각각 1.09, 1.08로 위약 접종군 대비 크게 높지 않은 발생률을 보였지만 통계적으로 유의미한 결과를 나타내지 못하였기 때문에 양호한 안전성을 보였다고 보기 어려웠다. 본 연구를 통해 SARS-CoV-2 mRNA 백신의 예방 효과는 높은 유효성을 보이며 안전성 측면에서 백신 접종군의 위험도는 위약 접종군과 비교하였을 때 높지 않은 위험률을 나타내는 것을 확인하였다. mRNA 백신은 개발 단계부터 시판하기까지 짧은 시간이 걸렸음에도 불구하고 SARS-CoV-2 mRNA 백신의 효과를 보여줄 수 있었고 mRNA 백신 기술의 혁신적인 변화를 볼 수 있었다. 그러나 빠른 개발과 생산으로 다른 백신들에 비해 임상 결과자료가 충분하지 않아 장기간의 연구가 진행되지 못하였기 때문에 체계적인 유효성 및 안전성 평가를 위해 지속적인 모니터링이 필요하다. The SARS-CoV-2 virus that emerged in 2019 still has widespread community transmission occurred and prolonged, the SARS-CoV-2 mRNA vaccines have become an important means to prevent transmission and spread. This study aims to evaluate the evidence of the necessity for SARS-CoV-2 mRNA vaccines through the strategic study for efficacy and safety of SARS-CoV-2 mRNA vaccines. 3 databases (Pubmed, Embase, Cochrane Library) were used to search as of 06 June, 2022 and a total of 6 studies were selected in the analysis according to the search strategy and PRISMA flow. A systemic literature review and meta-analysis of the efficacy and safety results of the participants who is vaccinated SARS-CoV-2 vaccines/Placebo without a history of SARS-CoV-2 virus was conducted. Focusing on the SARS-CoV-2 mRNA vaccines, the strategic study was performed with six selected studies on the efficacy and safety of two mRNA vaccines (mRNA-1273, BNT162b2). As a result of, the relative risk for the SARS-CoV-2 virus in the vaccination group compared to the placebo group was 0.05, displaying a high efficacy of 95%. In addition to this, the Geometric Mean Titer (GMT) and Geometric Mean Fold Rise (GMFR) of SARS-CoV-2 neutralizing antibody showed higher values in the vaccinated group than the placebo group. The GMT of the participants who was vaccinated for mRNA-1273 was higher than the participants who was vaccinated for BNT162b2, the GMFR of the participants who received the BNT162b2 appeared higher than the participants who received the mRNA-1273. In terms of safety, the relative risk in the vaccinated group were 1.75 and 2.10 respectively for all reported solicited adverse events after first vaccination and second vaccination showing the incidence rate that was not significantly higher than the placebo group. Among solicited adverse events, the relative risk after first vaccination and second vaccination for reported local adverse events were 3.96 and 4.95 respectively showing a slightly higher incidence rate compared to the placebo group, and for systemic adverse events, the relative risk after first vaccination and second vaccination was 1.28 and 2.11 showing the incidence rate that was not significantly higher than the placebo group. For unsolicited adverse events and serious adverse events, the relative risk was 1.09 and 1.08 respectively showing the incidence rate that was not significantly higher than the placebo group. However, it was difficult to say that good safety was displayed because the statistically significant results were not shown. In conclusion, this study demonstrated that SARS-CoV-2 mRNA vaccines showed high efficacy and risk of vaccination group was not high compared to the placebo group. Since there are not enough long-term studies for SARS-CoV-2 mRNA vaccines, consequently continuous monitoring is necessary for the comprehensive evaluation of the efficacy and safety.

算術-幾何平均 不等式에 關한 硏究 : 多樣한 證明方法을 中心으로

권태율 東國大學校 敎育大學院 2000 국내석사

In inequality, there are Absolute Inequality and Conditional Inequality. The former is accepted in every case of the real number, and on the contrary, the latter is accepted conditionally to certain subsets. Absolute Inequality is widely known for Analysis, for example the proof of convergence or evaluation of errors etc. The study of Absolute Inequality has become fully-fledged along with the 『Inequalities』 written by Hardy, Littlewood, and Polya in 1934, afterwards Beckenbach and Bellen found some faults in 『Inequalities』 and made up for them in their version on 『Inequalities』 1961. Many scholars presented a lot of prooves with original ideas on the inequality of an arithmetic-geometric mean. Bullen, Mitrinovic', and Vasic' renewed and arranged them in 『Means and Their Inequalities』, 1987. Many of the prooves in this thesis are based on 『Means and Their Inequalities』. To consider various ways of proof regarding the arithmetic-geometric mean Inequality, this thesis covers as follows: In chapter II, polynomial's quality, basic inequality, and convex function In chapter III, lemmas and diverse prooves In chapter IV, several prooves of arithmetic-geometric mean inequality are dealt respectively.

산술평균과 기하평균에 관한 연속성 부등식의 연구

김종국 안동대학교 대학원 1994 국내석사

한국인 체내 카드륨 농도의 기하평균치와 참고치의 추정에 관한 연구

김헌 서울대학교 대학원 1991 국내석사

산술-기하평균 부등식의 응용

배태익 仁荷大學校 1993 국내석사

SAR 위성의 왜곡보정을 통한 산불 피해지역 분석의 정확도 향상에 관한 연구

이효진 성균관대학교 일반대학원 2020 국내석사

산불은 일반적인 화재와 달리 진압속도가 느리며, 복구하는데 시간이 오래 걸린다. 또한 산불로 인한 산림훼손은 목재자원의 소실 뿐만 아니라 산림 생태계의 파괴로 인한 유전자원의 소실까지 영향을 미치는 대형 재난이다. 따라서 산불 피해 지역 분석에 대한 연구가 활발히 진행 중이며 일반적으로 다중분광영상의 밴드파장을 조합한 다양한 지수분석을 통한 연구가 진행되었다. 하지만 다중분광영상은 기상조건에 영향을 받으며 광원이 없는 밤에는 촬영을 할 수 없다는 단점이 있다. 이에 본 연구에서는 SAR의 후방산란영상을 활용하여 산불지역의 피해를 분석하고자 하였다. 이 과정에서 SAR 영상의 단점인 fore shortening 과 layover에 의한 영상왜곡을 보정하기 위해 촬영 각도가 상이한 Sentinel-1A와 Sentinel-1B 위성영상을 활용하였으며, 정합 후 영상간의 노이즈를 제거하기 위해 비등방성 확산필터를 적용하였다. 필터 적용 후에도 남아있는 왜곡을 제거하기 위해 기하평균을 통하여 잔존 왜곡의 보정을 실시하였다. 도출된 결과를 다중분광영상과 in Situ data와의 비교 분석을 통해 효율성을 입증할 수 있었다.