산술평균과 기하평균의 대소 관계를 이용한 최대ㆍ최소 문제해결에서의 오답유형 분석 : 고등학교 1학년 학생을 대상으로 = A survey on the problem-solving activities using the Arithmetic-Geometric mean inequality

국문 초록 (Abstract)

본 연구에서는 우리나라 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 산술평균과 기하평균의 대소 관계를 이용한 최대·최소 문제해결에서의 오답유형을 분석하고 보다 효과적인 교수·학습 지도와 학생들의 수학 학습에 도움을 주기 위한 지도 방안을 모색하고자 하였다. 위와 같은 연구 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 내용을 설정하였다.
1. 산술평균과 기하평균의 대소 관계를 이용한 최대·최소 문제해결에서의 오답유형 분석
2. 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 대한 지도 방안의 모색
본 연구를 수행하기 위하여 연구자가 임의로 선정하여, 부산시에 소재한 P 고등학교와 Y 여자고등학교에서 각각 3개 학급과 2개 학급의 총 5개 학급의 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 조사 연구하였다. 이렇게 하여 부산시에 소재한 P 고등학교 1학년 97명과 Y 여자고등학교 1학년 68명의 총 165명을 대상으로 본 검사를 실시한 후 학생들이 풀어놓은 검사지를 분석하였다.
본 연구의 결과 산술·기하 평균의 대소 관계를 이용하여 최댓값·최솟값과 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하는 문제해결 과정에서 다음과 같은 문제점이 나타났다.
첫째, 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab을 이용하여 최댓값이나 최솟값을 구하는 것에는 익숙하지만, 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하거나 부등식이 성립할 조건 a＞0, b＞0을 생각하는데 익숙하지 않은 학생들이 많았다. 이로 인해 최댓값이나 최솟값만 구하고 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 생각하지 않아 조건을 구하지 않거나 문제의 조건에 맞지 않는 음수까지 조건으로 답하는 학생들이 많았다.
둘째, 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하는 과정에서 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab의 등호가 성립할 조건 을 이용하여 최댓값·최솟값을 가질 조건을 구하지 않고 방정식 을 이용하여 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하려는 학생들이 많았다. 이로 인해 문제가 간단한 경우에는 방정식을 이용하여 문제를 성공적으로 해결하였으나 문제가 어려워 식이 복잡해지면 방정식을 풀지 못해 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하지 못하는 학생들이 많았다.
셋째, 주어진 문제에서 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab을 이용하지 않고 몇 개의 자연수를 식에 대입하여 최댓값·최솟값과 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하려는 학생들이 있었다. 하지만 자연수를 대입하는 전략은 자연수가 아닌 유리수나 무리수 등에서 최댓값·최솟값을 가지면 사용할 수 없는 전략으로 자연수에서 최댓값이나 최솟값을 가지는 경우에는 자연수를 대입하여 문제를 해결하였지만 무리수에서 최댓값이나 최솟값을 가지는 문제에서는 문제를 해결하지 못하는 학생이 있었다.
넷째, 두 식의 곱에 대한 최솟값을 구하는 문제에서 곱해진 두 식에 각각 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab을 이용하여 문제를 해결하려는 학생들이 많았다. 하지만 이와 같은 문제 해결 방법은 곱해지는 두 식에서 등호가 성립할 조건이 동일한 경우에 한하여 사용가능한 전략으로 등호가 성립할 조건이 상이한 경우에는 사용할 수 없는 전략이다.
이를 해결하기 위한 지도 방안으로 다음을 제언하고자 한다.
첫째, 교사는 산술·기하 평균의 대소 관계를 지도할 때 부등식 a+b≥2√ab은 a＞0, b＞0라는 조건에서 성립한다는 것과 등호는 어떤 조건에서 성립하는지를 강조하여 설명하고 부등식의 증명과정에서 이러한 조건이 왜 필요한지를 강조하여 지도한다.
둘째, 교사는 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab에서 등호가 성립할 때 최댓값이나 최솟값을 갖는다는 것을 강조하고 구체적인 문제로 예를 들어 등호가 성립할 조건을 이용하는 방법과 방정식을 이용하는 방법으로 각각 풀어보고 비교해봄으로써 등호가 성립할 조건을 이용하는 것이 효과적임을 지도한다.
셋째, 교사는 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab은 모든 양의 실수 에 대해 성립한다는 것을 강조하고 매우 큰 자연수 또는 자연수가 아닌 유리수나 무리수에서 최댓값이나 최솟값을 가지는 문제를 학생들에게 예로 제시하여 몇 개의 자연수를 대입하는 방법을 일반적으로 사용하기에는 무리가 있음을 이해시키고 산술·기하 평균의 대소 관계를 이용하도록 강조하여 지도한다.
넷째, 교사는 두 식의 곱에 대한 최솟값을 구하는 문제를 지도할 때 곱해지는 두 식에서 등호가 성립할 조건이 상이한 문제를 학생들에게 예로 들어 곱해진 두 식에 각각 부등식 a+b≥2√ab을 이용하는 방법을 일반적으로 사용하기에는 무리가 있음을 이해시키고 식을 전개한 후 산술·기하 평균의 대소 관계를 이용해 문제를 해결하도록 강조하여 지도한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study is to investigate the 10th graders' activities to solve problems using the arithmetic-geometric mean inequality and to explore teaching methods which can improve students' problem-solving ability.
To achieve this purpose, two research contents were attempted.
(1) An analysis of the 10th graders' problem-solving activities using the arithmetic-geometric mean inequality.
(2) A proposals of teaching methods for improvement of students' problem-solving ability using the arithmetic-geometric mean inequality.
From the analysis of students' problem-solving activities, the results are as follow.
(1) Many students ignored the condition a+b≥2√ab which is indispensable to the arithmetic-geometric mean inequality and the conditions in which problems have the maximum or minimum values, while they successfully found the maximum or minimum values using the arithmetic-geometric mean inequality.
(2) Finding the conditions in which problems have the maximum or minimum values, many students used the equation a+b≥2√ab which drew them to go wrong in complex problems.
(3) Not knowing that the problems which have the maximum or minimum values when variables are irrational couldn't be solved by method of substitution, some students tried to solve problems by the method of substitution.
(4) Some students thought that the multiplication of two minimum values obtained from two formulas by using the arithmetic-geometric mean inequality respectively is the minimum value of the multiplication of two formulas.
Based on the above results, the following teaching methods could be proposed.
(1) Teaching the arithmetic-geometric mean inequality a+b/2≥√ab, teachers emphasize that the condition is indispensable to the arithmetic-geometric mean inequality and explain the meaning of the condition in which an equality is held.
(2) By comparing the method which uses the condition a=b with the method which uses the equation a+b≥2√ab, teachers emphasize that the former method is easy and effective.
(3) By exemplifying the problem which has the maximum (or minimum) value when variables are irrational, teachers explain that the method of substitution can't be used in a general way.
(4) By illustrating an example that the minimum value of the multiplication of two formulas can't be obtained by multiplying two minimum values obtained from two formulas respectively, teachers explain that the method by expanding the multiplication of two formulas is general.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 1
• B. 연구 문제 2
• C. 용어의 정의 3
• D. 연구의 제한점 5
• Ⅱ. 문헌 검토 6
• A. 산술평균과 기하평균의 대소 관계 6
• B. 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 대한 2007년 개정 교과서 내용 분석 6
• C. 수학적 오류 11
• D. 약정 방법 21
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 26
• A. 연구 대상 26
• B. 검사 도구 26
• C. 연구 방법 및 절차 27
• Ⅳ. 결과 분석 및 논의 29
• A. 결과 분석 29
• B. 논의 53
• Ⅴ. 산술ㆍ기하 평균의 대소 관계 지도 방안에 대한 제안 56
• A. 산술ㆍ기하 평균의 대소 관계를 이용한 문제해결 과정에서 학생들이 나타낸 문제점 56
• B. 산술ㆍ기하 평균의 대소 관계 지도 방안 58
• Ⅵ. 결론 및 제언 62
• A. 결론 62
• B. 제언 64
• 참고문헌 65
• 부록 68
• ABSTRACT 72