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- 학과정보 : 수학부 해석학 (검색결과 16 건)
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바나흐 공간에 정의된 다중선형함수들과 동차다항식들의 극점들을 규명하고 분류하는 연구가 1998년 이후 최근까지 활발하게 많이 진행되고 있다. 본 논문의 목표는 최대 노름을 가지는 평면에서 정의된 대칭 4차 선형 함수들로 구성된 바나흐 공간의 단위구의 극점들을 규명해서 분류하는 것이다. 를 최대 노름을 가지는 평면이라 하자. 본 논문에서는 상에서 정의된 대칭 4차 선형 함수들로 구성된 바나흐 공간 의 단위구의 극점 문제를 연구하였다. 우선, 공간의 대칭 4차 선형 함수의 노름공식을 구하였고, 이 공식을 이용하여 공간의 단위구의 모든 극점들을 규명해서 다음과 같이 분류하였다.
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Directed trees and rank-one perturbations of operators : 유향 트리와 작용소의 계수 1인 섭동
힐버트 공간 유계작용소의 연구는 20세기 초부터 연구되어진 분야로서 공학 및 물리학 등에서 많이 응용되어지고 있는 해석학의 중요한 분야이다. 특히, 1950년대 P. Halmos에 의하여 개발된 작용소의 아정규성은 작용소의 여러 분야에서 많이 연구되고 있는 주요 분야이다. 이후 다양한 형태의 아정규성이 개발되었는데 그 중에서 약 아정규성은 부분정규작용소, 아정규작용소 및 노르말노이드 작용소에 관련된 작용소 틈 이론의 연구에 매우 중요한 역할을 한다. 특히 작용소 틈 이론에서 p-아정규성, p-파라노르말성, 절대 p-파라노르말성은 유계작용소의 약 아정규성 구조를 규명하기 위하여 연구되어져 왔다. 그러나 이와 같은 약 아정규성을 가지는 구체적 작용소의 모델은 많이 알려져 있지 않다. 본 논문에서는 이러한 작용소들의 구체적인 모델을 개발하고 이들 작용소들의 약 아정규성의 특성을 규명하기 위하여 무게이동변환 작용소에서 rank가 1인 섭동 작용소를 생각하여 작용소 틈 이론의 분류문제를 해결하였다. 본 논문에서 개발된 작용소 모델은 p-파라노르말작용소와 절대 p-파라노르말작용소의 분류문제에서 나타나는 기존의 알려진 모델들보다 향상된 모델로써 임의의 p의 값에 대하여 p-아정규작용소, p-파라노르말작용소, 절대 p-파라노르말작용소를 모두 분류할 수 있는 모델이다. 특히 응용모델로서 그래프 이론을 접목시킨 무게방향트리에서 정의된 무게이동변환 작용소의 일반화된 형태인 합성작용소를 새롭게 정의하였으며 이들의 p-아정규성과 p-파라노르말성을 규명하였다. 뿐만 아니라 이와 같은 그래프 모델에서 p-아정규성을 만족하는 univeral 그래프를 새롭게 구성하였는데 이 그래프는 임의의 p-아정규인 그래프의 어떤 노드근방을 이 그래프의 노드근방의 특정 극한으로 표현할 수 있는 중요한 특성을 가지고 있다. 마지막으로 작용소론 연구에서 미해결 과제인 아정규작용소에서의 불변부분공간문제를 해결하기위한 초석으로써 아정규성을 가지는 rank 1인 섭동 정규 작용소의 행렬구조를 규명하였다.
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Extremal problems in the spaces Ls(²l²bs) and L(²l²bs) : 바나흐 공간 Ls(²l²bs)와L(²l²bs)상의 극점문제에 관하여
본 논문에서는 l²bs상에서 정의된 두 바나흐 공간 Ls(²l²bs)과 L(²l²bs)를 연구하였다. Ls(²l²bs)은 대칭쌍선형형식들로 이루어진 공간이고 L(²l²bs)은 쌍선형형식들로 이루어진 공간이다. 먼저 Krein-Milmann 정리를 이용하여 Ls(²l²bs)과 L(²l²bs)공간의 대칭쌍선형형식과 쌍선형형식의 노름공식을 각각 구하였고, 이 공식들을 이용하여 Ls(²l²bs)과 L(²l²bs)공간의 각각 단위구의 모든 극점들은 노출점이 됨을 증명하였다. 그 결과로 Ls(²l²bs)공간의 단위구의 극점은 8개 그리고 L(²l²bs)공간의 단위구의 극점은 16개밖에 없다는 사실을 얻었다.
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본 논문에서는 2차원 실공간 lbv²에서 정의된 쌍선형형식들과 대칭쌍선형형식들의 노름을 각각 계산하였다. 또한 이를 이용하여 두 개의 바나흐 공간 Ls(²lbv²)와 L(²lbv²)의 단위구의 쌍선형형식들과 대칭쌍선형형식들의 극점들과 노출점들을 각각 규명해서 모두 분류하였다.
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Extreme points in P(²d*(1,w)²) : P(²d*(1,w)²)안의 극점들
함수해석학에서 바나흐 공간은 중요한 공간이다. 1998년에 Choi, Ki, Kim은 l₁×l₁에서 정의된 2-동차 다항식의 노름이 1인것과 이 공간에서 정의된 의 극점들을 계수를 이용하여 나타내었고, 같은해에 Choi, Kim은 l₂×l₂의 단위공의 극점들을 계수를 이용하여 나타내었다. 2009년에는 B. Grecu는 의 단위공의 극점들을 분류하였다. 이 학위 논문에는 일 때 2차원 로렌츠 수열공간의 전쌍대공간 에서 정의된 2-동차 다항식의 노름을 계수를 이용한 표현식을 계산하였다. 또한 이 공간에서 정의된 2-동차 다항식 공간 의 단위공의 극점들을 증명하였다.
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Mean Shift based on Matrix Means : 행렬 평균과 평균전위법
평균은 어떤 값들의 집합의 적절한 특징을 나타내거나 요약하는 것을 의미한다. 보다 축소된 의미로서의 평균은 그 집합의 모든 값을, 가령 산술평균이나 기하평균과 같이 합성하는 것이다. 다양한 평균들이 있지만 본 논문에서는 그 중 비유클리드 기하에서도 유용하게 사용되는 기하평균을 다룬다. 특히, 비유클리드 기하 중 양정치 행렬의 집합에 대한 리마니안 기하에서의 기하평균이 아주 잘 알려져 있으며 이를 이용하여 행렬 부등식, 최적화 프로그래밍, 기하학, 통계적 형상 분석 등의 다양한 분야에 응용되고 있다. 본 논문에서는 유클리드 기하에서 산술평균을 이용하여 정의된 평균전위법(Mean shift algorithm)을 리마니안 기하에서 양정치 행렬들의 기하평균을 이용한 평균전위법으로 확장하였다. 이를 응용하여 양정치 행렬을 사용하는 DT-MRI 영상에 적용을 해보았으며 이에 대한 실험 결과를 통하여 유클리드 기하에서 산술평균을 통한 평균전위법보다 리마니안 기하에서 양정치 행렬들의 기하평균을 통한 평균전위법이 적합함을 알 수 있었다.
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ON p-QUASIHYPONORMAL WEIGHTED SHIFTS ON DIRECTED TREES : 방향 트리상에서 p-쿼지하이퍼노말 무게변환 작용소에 대하여
Kim, A-ram 경북대학교 대학원 2012 국내석사
최근에 Jablonski-Jung-Stochel은 그들의 논문, “Weighted shifts on directed trees, Memoirs Amer. Math. Soc., to appear in 2012"에서 고전적 무게변환 작용소를 그래프이론의 모델인 방향트리(directed trees)상에서 정의된 무게변환 작용소를 소개하였다. 그리고 또한 무게변환 작용소의 여러 성질들을 방향트리 무게변환 작용소로 확장하였다. 본 논문에서는 그들의 연구를 바탕으로 방향 트리상에서 정의된 무게변환 작용소의 p-쿼지하이퍼노말의 필요충분조건을 구하였다. 뿐만아니라, 방향 트리상에서 무게변환 작용소의 (p,k)-쿼지하이퍼노말성과 p-쿼지하이퍼노말성이 동치라는 사실을 증명하였다. 또한 구체적인 예로서 하나의 브랜칭 꼭짓점을 가지는 방향 트리상에서 정의된 모델을 고려하여 무게변환의 p-쿼지하이퍼노말성을 분석하고, 그리고 이 모델에서 0<p<∞에 대하여 p-쿼지하이퍼노말성의 클래스들이 완전히 분류되어진다는 것을 보였다.
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On Quasi-A(n, k) Class Operators : 쿼지-A(n, k) 클래스 작용소에 관하여
힐버트공간 작용소의 부등식에 관한 연구로서 1998년에 Furuta-Ito-Yamazaki는 클래스 A 작용소의 성질을 연구하였다. 그리고 2006년에는 Jeon-Kim이 클래스 A 작용소의 개념을 확장한 쿼지-클래스A작용소를 정의하고 그 관련 성질들을 연구하였다. 본 논문에서는 Jeon-Kim의 쿼지-클래스A 작용소보다 일반화된 쿼지-A(n, k) 클래스 작용소를 새로이 정의하고 그 성질들을 연구하였다. 여기서 n은 2이상의 정수이고 k는 0이상의 정수 이다. 뿐만아니라 한센 부등식과 휄던-맥칼디 부등식을 이용하여 쿼지-A(n, k) 클래스 작용소의 특성에 관한 작용소 부등식의 성질을 얻었으며 쿼지-A(n, k) 클래스 작용소의 기본적 구조적 성질에 관한 정리를 구하였다. 그리고 쿼지-A(n, k) 클래스 작용소 예에 관한 연구로서 무게변환작용소의 역확장을 이용하여 n과 k에 의한 쿼지 -A(n, k) 클래스들을 완벽히 분류하고 이변수 공간에서 그 분류에 관한 구체적인 식을 얻었다.
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만약 H를 가산무한차원 힐버트공간이라하고 T를 H상에서 정의된 작용소라고 하자. 이 때 T가 T^*T≥TT^* 를 만족하면 아정규작용소라고하고 T가 정규부분확장을 가지면 부분정규작용소라고 한다. 이 작용소 T의 아정규성과 부분정규성 사이의 작용소 클래스의 틈을 연구하는 것이 작용소의 틈이론(Gap theory)이다. 이 작용소 틈이론의 연구에서 무게변환 작용소의 평편성 문제는 매우 중요하다. 특히 1966년 Stampfli는 스틸체스 모멘트 행렬을 이용하여 무게변환부분정규작용소의 평편성 문제를 연구하였는데 이 연구는 최근 10여년 동안 평편성문제의 중요한 아이디어를 제공하고 있다. 본 논문에서는 스틸체스 모멘트 행렬보다 약한 성질을 가지는 햄버거 모멘트 행렬을 이용하여 H(n)-성질이라는 새로운 개념을 정의하고 행렬의 양의 성질을 조사하는 Nested Determinant Test를 이용하여 무게변환 작용소의 평편성 문제를 연구하였다. 본 논문의 중요 결과로서 만약 n≥2이고 무게변환 작용소 Wα 가 H(n)-성질을 만족하며 Wα의 무게수열α={α_n}의 α_2k+2과 α_2k+3이 같을 때 α_2k+1부터 α_2k+n+1 사이의 모든 항의 무게 값이 같다는 사실을 증명하였다. 또한 무게변환작용소 Wα가 H(∞)-성질을 만족할 때 α_2k+2과 α_2k+3이 같으면, α_2k+1부터 모든 항의 무게 값이 같다는 사실을 증명하였다. 이결과로 부터 1966년 Stampfli의 평편성에 관한 결과가 쉽게 유도된다.
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이류 (혹은 대류) 및 확산 현상을 기술하는 비선형 시간종속 수치 모델은 공기역학(aerodynamic), 물리 화학(physical chemistry) 및 수리 생물학(mathematical biology) 등을 포함하는 이공분야에서 광범위하게 등장한다. 대표적인 모델은 버거스(Burgers) 방정식, 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식 등이 있다.이 논문에서는 다양한 방정식들 중 해들이 서로의 이류항에 주는 영향으로 인해 강한 비선형 결합이 나타는 결합된 버거스 방정식(coupled Burgers)을 수치적으로 해결하기 위한 세미-라그랑주(semi-Lagrangian) 방법론의 연구개발을 다루고 있다. 이러한 비선형 결합은 천수(shallow water) 방정식, 보스니크-버거스(Boussinesq-Burgers) 방정식 및 분산 장파(dispersive long wave) 방정식 등에서 관찰 할 수 있으며 결합된 버거스 방정식에 대한 연구는 이들 연구를 위한 초석이 될 것이다. 일반적인 지배방정식에 대한 세미-라그랑주(semi-Lagrangian) 방법은 특성 곡선을 따라 유효한 전미분 형태를 가지는 선형 라그랑주 형태로 치환하지만 결합된 버거스 방정식은 치환된 라그랑주 형태가 비선형성을 유지하고 있어 해결하는데 어려움이 있다. 결합된 버거스 방정식 원형이 지니는 비선형성 혹은 세미-라그랑주 방법에 의해 치환된 라그랑주 형태가 지니고 있는 비선형성을 해결하기 위한 외삽법(extrapolation)과 같은 양해법(explicit method)을 이용한 접근은 수치해의 비물리적 진동이 발생하는 등 수치적 안정성을 보장하지 못 한다. 또한, 격자점의 수에 비례하는 정의되는 특성 곡선의 수와 특성 곡선을 기술하는 코시(Cauchy) 문제가 가지고 있는 자기부합적 성질(self-consistency)로 인해 소요되는 많은 양의 전산비용은 세미-라그랑주 방법의 고질적인 문제점이다. 이 논문에서는 상기의 문제점들을 극복하기 위하여 결합된 버거스 방정식의 풀이를 위한 새로운 세미-라그랑주 방법 2가지를 제시한다. 첫 번째 세미-라그랑주 방법은 반복법을 통해 수치정 안정성을 강화하고, 반복법으로 가중되는 전산비용을 상쇄하기 위한 보조 전략을 적용하였다. 결과적으로 이 방법은 수치해에서 발생하는 비물리적 진동을 안정적으로 예방 할 수 있었고 이를 위한 전산비용을 절감하는 성과를 거두었다. 두 번째 세미-라그랑주 방법은 두 개의 해가 따르는 특성 곡선을 하나로 통합함으로써, 코시 문제의 풀이에 소요되는 전산비용을 경감시켰다. 또한, 통합 특성 곡선의 다원화하고 그들 간 자체 경쟁을 통해 수치해의 정확도와 안정성을 보장하는 특성 곡선을 선별하였다. 위의 방법으로 얻어진 세미-라그랑주 방법들은 각자 강화된 특성에 대한 검증을 수치 실험을 통해 보여주었다.
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