Analysis of Pattern Generalization Problems of Korean Mathematics Textbook

Lee, Chong Hee,Lee, Soo Youn 이화여자대학교 사범대학 교과교육연구소 2013 교과교육학연구 Vol.17 No.4

The purpose of this study is to better understand the pattern generalization problems posed in the current school curricula of Korea. Twelve of most recently published elementary school (1st to 6th grade) mathematics textbooks and twelve Middle school (7th to 9th grade) mathematics textbooks (a total of 24 mathematic textbooks) were selected for the analysis. First, the different types and characteristics of pattern generalization problems based on previous research were categorized. Within these categories, we analyzed which pattern problems were emphasized in the school curriculum. The results indicate that ‘relating problems’ were mainly introduced in elementary school textbooks. ‘Searching for the same relationship’ and ‘procedure problems’ increased across the grades. ‘Pattern searching problems’ decreased across the grades, while ‘result searching’ and ‘pattern extension problems’were rarely introduced. ‘Justification problems’ were inconsistently emphasized across the grades. With respect to the situational characteristics of the pattern generalization problems, ‘factual pattern generalization problems’ were consistently introduced across the grades, while ‘contextual pattern generalization problems’and ‘symbolic pattern generalization problems’ were introduced only to a limited extent. Regarding the various types of pattern problems, only limited types of problems were proposed in both the elementary and middle school mathematic textbooks. From this study, we hope to address how the pattern generalization problems in the Korean mathematics curriculum lack pattern exercises in the curriculum core. We also hope to provide data which could lead to the development of a variety of pattern generalization problems in Korean mathematics textbooks in the future. 본 연구의 목적은 우리나라 초·중학 교수학교과서에 제시되어 있는 패턴일반화 문제의 특성과 유형을 살펴보는데 있다. 초등학교 교과서는 2007 개정 교육과정에 의한 공통 교육과정에 해당하는 수학 및 수학 익힘책 살펴보았으며, 중학교 교과서는 2009 개정 교육과정에 의한 중학교 수학 교과서 4종을 학년별로 선택하여 조사하였다. 패턴일반화 문제의 특성은 Ellis(2007)와 Radford(2006)의 연구를 바탕으로 크게 경험적 특성과 상황적 특성으로 나누어 살펴보았다. 패턴 문제의 유형은 기존 패턴 연구들에 제시되어 있는 다양한 패턴 문제들을 종합하여 그 유형을 체계적으로 재구성하여 조사하였다. 연구결과 우리나라 초·중학교 수학 교과서에 제시되어 있는 패턴일반화 문제들의 경험적 특성은 그 연계성이 부족하였으며 패턴일반화 과정에 있어 학생들이 자신의 생각을 정당화할 수 있는 문제들이 강조되지 못하고 있음을 알 수 있었다. 패턴일반화 문제의 상황적 특성 또한 그 연계성이 부족했다. 구체적 단계의 패턴으로부터 상징적 단계의 패턴에 이르기까지의 과정에 있어 패턴간의 관계와 일반화되어 나가는 상황을 해석하는 맥락적 패턴일반화 문제가 사실적 패턴일반화 문제에 비하여 극히 적게 제시되고 있었으며, 상징적 패턴일반화 문제는 중학교 1학년 문자와 식단원을 통해 갑자기 강조되는 성격을 보여주었다. 마지막으로 패턴일반화 문제의 유형은 제한적으로 나타나고 있었는데 특히 모호한 패턴 문제와 같은 창의적이고 대안적인지가 가능한 패턴 문제들은 찾아볼 수 없었다. 본 연구를 통해 좀 더 다양한 특성과 유형의 패턴일반화 문제를 개발하여 수학 교과과정에 있어 패턴 학습의 역할이 더욱 강조되어야 할 필요성에 대해 생각해 볼 수 있다. 또한 단순히 규칙을 찾는 활동을 넘어서 패턴 학습을 수학적 사고 활동과 일반화학습의 핵심 주제로 자리잡기 위한 더 많은 연구와 관심이 필요함을 제언한다.

초등학교 4학년 학생들의 기하 패턴에 대한 이해 실태 조사

김리나,이수진,방정숙 한국초등수학교육학회 2022 한국초등수학교육학회지 Vol.26 No.4

The purpose of this study was to analyze fourth-grade students’ understanding of geometric patterns. For this purpose, six pattern types were extracted from an analysis of various geometric patterns presented in 10 government-authorized textbooks and related previous studies. A written assessment was developed according to the six pattern types based on Radford's levels of pattern generalization. The participants of this study were 258 fourth-grade students. The results of this study showed that students’ understanding of geometric patterns differed depending on the pattern types. Specifically, the correct answer rates decreased when rotating patterns were combined into repeated patterns or growing patterns. Students revealed more difficulties in recognizing the commonality of the given patterns than in finding the specific answer for the subsequent term. It was noticeable that the levels of pattern generalization tended to increase when students were asked to describe a generalized rule compared to describing a rule for finding a specific far value. Contextual generalization was the most popular regardless of the pattern types. Based on these results, this study provided implications to teach patterns to elementary school students. 본 연구의 목적은 초등학교 4학년 학생들의 기하 패턴에 대한 이해 실태를 조사하는 것이다. 이를 위해 10종의 검정 교과서와 선행 연구에서 제시하는 다양한 기하 패턴을 분석한 결과를 토대로 6개의 패턴 유형을 추출하였다. 또한 Radford의 패턴 일반화 수준에 대한 이론을 바탕으로 문항을 구성하였다. 초등학교 4학년 학생 258명의 자료를 수집하여 분석한 결과, 기하 패턴에 대한 학생들의 이해는 패턴 유형에 따라 차이가 있었는데, 특히 반복 패턴이나 증가 패턴에 회전 패턴이 포함되는 경우 정답률이 낮았다. 각 패턴 유형별로 살펴보면, 모양의 배열에서 패턴의 공통성을 찾는 문항의 정답률이 가까운 항을 찾는 문항의 정답률보다 낮았다. 또한 특정한 항을 찾기 위한 규칙을 서술할 때보다 몇째를 찾기 위한 규칙을 서술할 때 패턴 일반화의 수준이 상승하는 경향이 있었다. 학생들의 패턴 일반화 수준은 찾은 규칙을 언어적으로 표현하는 맥락적 일반화 수준이 가장 많이 나타났다. 본 연구는 이러한 결과들을 토대로 패턴 지도 방안에 대한 시사점을 제공하였다.

R*-Tree와 Grid를 이용한 이동 객체의 위치 일반화 기법

고현(Ko Hyun),김광종(Kim Kwang Jong),이연식(Lee Yon Sik) 한국컴퓨터정보학회 2007 韓國컴퓨터情報學會論文誌 Vol.12 No.2

패턴 탐사에 관한 기존의 연구들[1,2,3,4,5,6,11,12,13]은 이동 객체의 위치 이력 데이터 집합에 대한 위치 일반화 접근법을 사용하지 않거나 사용해도 특정 공간상의 이동 패턴들 중 단순히 시공간 제약이 없는 빈발패턴만을 추출하므로, 특정 지점들 간의 최적 이동 경로나 스케줄링 경로와 같은 시공간 제약을 갖는 빈발 패턴탐사에는 적용하기 어렵다. 또한 패턴 탐사의 수행에 있어 기존의 기법들은 데이터베이스에 대한 반복 접근을 줄이기 위해 메모리 상에 패턴 트리를 생성하여 사용하므로 보다 많은 메모리 공간을 소요하게 된다. 따라서 이러한 기존 탐사 기법들의 문제점들을 해결하기 위한 보다 효율적인 패턴 탐사 기법이 필요한 실정이다. 효율적 탐사 기법을 개발하기 위하여 본 논문에서는 방대한 이동 객체의 이력 데이터 집합에 대한 탐사 수행 시간 및 탐사에 필요한 메모리 공간을 최소화하기 위해서 상세 수준의 데이터들을 의미있는 공간영역 정보로 변환하는 새로운 위치 일반화 방법을 제안한다. 제안된 방법은 패턴 탐사의 전처리 과정에서 R*-Tree와 영역 Grid 해쉬테이블(AGHT:Area Grid Hash Table)을 기반으로 이동 객체의 위치 속성들을 2차원 공간영역으로 일반화하여 이동 시퀀스를 생성함으로써 효율적인 이동 객체의 공간 이동 패턴 마이닝을 유도할 수 있다. The existing pattern mining methods[1,2,3,4,5,6,11,12,13] do not use location generalization method on the set of location history data of moving object, but even so they simply do extract only frequent patterns which have no spatio-temporal constraint in moving patterns on specific space. Therefore, it is difficult for those methods to apply to frequent pattern mining which has spatio-temporal constraint such as optimal moving or scheduling paths among the specific points, And also, those methods are required more large memory space due to using pattern tree on memory for reducing repeated scan database. Therefore, more effective pattern mining technique is required for solving these problems. In this paper, in order to develop more effective pattern mining technique, we propose new location generalization method that converts data of detailed level into meaningful spatial information for reducing the processing time for pattern mining of a massive history data set of moving object and space saving. The proposed method can lead the efficient spatial moving pattern mining of moving object using by creating moving sequences through generalizing the location attributes of moving object into 2D spatial area based on R*-Tree and Area Grid Hash Table(AGHT) in preprocessing stage of pattern mining.

초등학교 1학년 학생들의 수학적 패턴 인식과 사고 과정 분석

최병훈,방정숙 대한수학교육학회 2011 수학교육학연구 Vol.21 No.1

This study aimed to examine first graders’ recognition and thinking about mathematical patterns. To attain the goal, this paper analyzed 116 students’ response with regard to repeating, growing, and changing patterns represented in both picture and number, and also analyzed four students' thinking process of the patterns through interview. It was found that students showed high recognition in repeating, growing, and changing patterns in order. Whereas there was no significant difference between picture and number representation in both repeating and growing patterns, pictures gained a bit higher scores than numbers in changing patterns. Also, according to the result of examining the thinking process by the patterns, students tended to consider the patterns as a bundle and tried to solve problems with counting strategies. The result of this paper provides an empirical foundation on how first graders recognize and think of various patterns. 본 논문의 목적은 초등학교 1학년 학생들의 수학적 패턴 인식과 사고 과정을 살펴보는 것이다. 이를 위해 반복, 증가, 변형 패턴을 각각 그림과 숫자형태로 구별하여 116명 학생들의 패턴 인식 경향을 분석하였고, 4명의 학생들과 면담을 통해 패턴 인식과 관련된 사고 과정을 분석하였다. 패턴 인식에 관한 연구결과 학생들은 반복, 증가, 변형패턴 순으로 인식이 높았다. 또한 반복과 증가패턴에서는 그림과 숫자 형태간에 유의미한 차이가 없었으나, 변형패턴에서는 그림 형태에서 더 높은 점수를 얻었다. 패턴에 따른 사고과정을 분석한 결과 학생들은 패턴을 하나의 묶음으로 생각하는 경향이 있었고, 세기 전략을 통해 문제를 해결하고자 하였다. 이와 같은 연구 결과를 통해 본 논문은 1학년 학생들이 패턴을 어떻게 인식하고 사고하는지에 대한 경험적 근거를 제공한다.

초등학교 4,5,6학년 영재학급 학생의 패턴 일반화를 위한 해결 전략 비교

최병훈,방정숙 대한수학교육학회 2012 수학교육학연구 Vol.22 No.4

The main purpose of this study was to explore the process of generalization generated by mathematically gifted students. Specifically, this study probed how fourth, fifth, and sixth graders might generalize geometric patterns and represent such generalization. The subjects of this study were a total of 30 students from gifted classes of one elementary school in Korea. The results of this study showed that on the question of the launch stage, students used a lot of recursive strategies that built mainly on a few specific numbers in the given pattern in order to decide the number of successive differences. On the question of the towards a working generalization stage, however, upper graders tend to use a contextual strategy of looking for a pattern or making an equation based on the given information. The more difficult task, more students used recursive strategies or concrete strategies such as drawing or skip-counting. On the question of the towards an explicit generalization stage, students tended to describe patterns linguistically. However, upper graders used more frequently algebraic representations (symbols or formulas) than lower graders did. This tendency was consistent with regard to the question of the towards a justification stage. This result implies that mathematically gifted students use similar strategies in the process of generalizing a geometric pattern but upper graders prefer to use algebraic representations to demonstrate their thinking process more concisely. As this study examines the strategies students use to generalize a geometric pattern, it can provoke discussion on what kinds of prompts may be useful to promote a generalization ability of gifted students and what sorts of teaching strategies are possible to move from linguistic representations to algebraic representations 본 연구의 목적은 학년에 따라 수학영재학급 학생들이 패턴 일반화 과정에서 사용하는 전략의 차이와 일반화 표현 방법을 알아보는 것이다. 연구를 위해 단위학교 영재학급 4~6학년 30명을 대상으로 도형과 관련한 4개의 과제에 대한 해결 전략을 살펴보았다. 연구결과, 일반화를 시작하는 단계의 문항에서 학생들은 패턴의 앞 뒤 수를 이용하여 문제를 해결하는 순환적인 관계인식 전략으로 문제를 해결하는 경우가 많았고 일반화를 형성하는 단계의 문항에서는 학년이 높아질수록 주어진 정보로 규칙이나 식을 만들어 해결하려는 상황적 인식 전략을 사용한다는 것을 알 수 있었다. 그러나 난이수준이 높은 문항일수록 학생들은 그리거나 뛰어 세기 등의 구체화를 통한 인식 전략이나 순환적인 관계 인식 전략을 선호하는 경향이 있었다. 일반화를 명확하게 하는 단계의 문항에서 학생들은 패턴을 언어로 기술하는 경향이 많았으며 높은 학년일수록 패턴을 대수적 표현(기호 또는 수식)으로 기술하려고 하였다. 정당화 단계의 문항에서 학년이 높을수록 일반화된 식으로 표현하는 비율이 높았다. 연구 결과를 통해 패턴을 찾는 과제에서 영재학급 학생들이 일반화를 하기 위한 전략의 차이를 알고 지도하는데 도움을 줄 수 있는 시사점을 제공하고자 한다.

패턴의 유형에 따른 학생들의 일반화 방법 조사 - 초등학교 6학년 학생들을 중심으로-

이명기,나귀수 대한수학교육학회 2012 학교수학 Vol.14 No.3

본 연구는 증가패턴의 유형에 따른 6학년 학생들의 일반화 방법의 특징을 조사하는 데에 그 목적이 있다. 본 연구에서는 ax, x+a, ax+c, ax2, ax2+c 유형과 관련된 총 6개의 문항들로 검사지를 구성하였으며, 이 검사지를 활용하여 초등학교 6학년 학생 290명의 일반화 방법을 조사하였다. 본 연구의 결과로서 대수적 일반화와 관련하여 학생들은 ax 유형에서 가장 높은 대수적 일반화 수행 정도를 나타냈고, 그 다음으로는 ax2, x+a, ax+c, ax2+c의 순서로 낮은 수행 정도를 나타냈다. 또한 학생들의 일반화 수행 정도는 동일한 패턴 유형이라고 하더라도 패턴의 맥락에 따라 큰 차이가 나는 것으로 확인되었는 바, 학생들의 패턴 일반화 활동을 더욱 풍부하게 하기 위해서는 가능하면 다양한 맥락의 패턴을 학생들에게 제공하는 것이 바람직하다고 할 수 있다. This research intends to examine how 6th graders (age 12) generalize various increasing patterns. In this research, 6 problems corresponding to the ax, x+a, ax+c, ax2, and ax2+c patterns were given to 290 students. Students' generalization methods were analysed by the generalization level suggested by Radford(2006), such as arithmetic and algebraic (factual, contextual, and symbolic) generalization. As the results of the study, we identified that students revealed the most high performance in the ax pattern in the aspect of the algebraic generalization, and lower performance in the ax2, x+a, ax+c, ax2+c in order. Also we identified that students' generalization methods differed in the same increasing patterns. This imply that we need to provide students with the pattern generalization activities in various contexts.

패턴 찾기 과제 수행에 나타난 중학생의 수학적 사고과정 탐색

류승혁(SeungHyuk Ryu),김구연(Gooyeon Kim) 학습자중심교과교육학회 2022 학습자중심교과교육연구 Vol.22 No.5

목적 중학생들이 패턴 찾기 문제해결 과제 수행에 있어서 어떻게 패턴을 파악하여 정당화하는지 중학생들의 수학적 사고과정을 탐색하고자 시도하였다. 방법 이를 위해서 중학교 2학년 학생 35명을 대상으로 검사를 실시하여 자료를 수집하고 분석하였다. 결과 패턴 찾기 과제 수행에서 보이는 학생들의 사고과정은 양상은 다음과 같다. 첫째, 학생들은 주로 세거나(counting) 나열하며 규칙을 파악한다. 둘째, 학생들은 근거를 제시하지 않고 수식을 세워 이를 활용하여 답을 찾는 경향을 드러낸다. 셋째, 패턴의 구조를 적절히 파악하는데 어려움을 겪는 것으로 보인다. 넷째, 학생들은 제시된 패턴 찾기 과제를 생소하게 인식하며, 대다수의 학생들은 패턴 찾기 과제를 학교에서 다루는 수학 문제와 다른 것으로 간주하고 수학 수업에서 다루는 문제에 비해 어려운 내용으로 인식하였다. 결론 학생들은 대수적 방법에 의존하여 패턴을 찾는데 패턴의 구조를 적절히 인식하지는 못하였다. 또한 학생들은 대체로 패턴을 찾아 정당화 하는 설명을 작성하도록 하는 과제 수행에 있어서 대부분의 학생들은 충분한 근거를 제시하지는 못하였다. Objectives This study explores how middle-school students identify patterns and justify the patterns identified. Methods For this, we developed a survey questionnaire that consisted of a set of pattern finding tasks and conducted a survey to 35 grade 8 students. Results From the data analysis, findings suggest as follows: a) the participants seemed to use counting or listing features in order to figure out a pattern, b) they showed tendencies to find out algebraic expressions such as equations without providing justifications, c) the middle school students appeared not to attempt to find out the structure of patterns given, finally d) the students recognized the pattern finding tasks in the survey as very unfamiliar, difficult and different tasks from ones they encounter in their mathematics classrooms. Conclusions The students seem to rely on algebraic manipulations without seeing structures of patterns given and unable to provide justifications for their claims.

패턴 일반화를 지도하는 초등 교사의 반응적 교수 관행에 대한 연구

선우진,방정숙 대한수학교육학회 2020 학교수학 Vol.22 No.2

A mathematics teacher needs to understand students’ mathematical thinking and to provide them with appropriate learning opportunities. This study explored how an elementary school teacher taught pattern generalization on the basis of what she identified regarding students’ various mathematical thinking during her lessons. In particular, the teacher’s responsive teaching practices were analyzed in relation to whether or not she had anticipated the student’s specific mathematical thinking before the actual instruction. Regarding a student’s mathematical thinking the teacher had anticipated in advance, she faithfully implemented the core instructional elements to be emphasized to teach pattern generalization. However, regarding a student’s mathematical thinking the teacher had not anticipated, the teacher first checked whether such thinking would be meaningful to teach pattern generalization and then used it in the subsequent classroom activities or improvised her initial teaching plan on spot on the basis of her professional knowledge. Building on these results, this paper discusses the characteristics and implications of responsive teaching practices to teach pattern generalization. 수학 교사는 학생들의 수학적 사고를 이해하고 그에 따른 적절한 학습 기회를 제공할 수 있어야 한다. 본 연구는 패턴 일반화를 다루는 초등학교 수학 수업에서 교사가 학생들의 다양한 수학적 사고를 확인한 후 어떻게 지도하였는지 분석하였다. 특히 교사가 사전에 예상했던 학생들의 사고를 수업에서 확인했을 때의 상황과 교사가 사전에 예상하지 못했던 학생들의 사고를 수업에서 확인했을 때의 상황으로 구분하여 교사의 반응적 교수 관행을 자세히 분석하였다. 연구 결과, 사전에 예상했던 수학적 사고에 대해서는 교사가 패턴 일반화에서 강조되는 주요 교수ㆍ학습 요소를 충실하게 따르는 교수 관행을 실행했다. 그러나 사전에 예상하지 못했던 수학적 사고에 대해서는 그 수학적 사고가 패턴 일반화를 지도하는 데 의미가 있는 반응인지 판단한 후 학생의 사고를 이후 교수 활동에 반영하거나, 교사의 전문 지식을 바탕으로 사전에 계획하지 않은 활동을 즉석에서 실행하기도 하였다. 연구 결과를 토대로 패턴 일반화를 지도하는 수업에서 드러나는 교사의 반응적 교수 관행의 특징에 대해 논의하였다.

높은 상호간섭 환경의 광무선통신에서 일반화된 공간변조 방식의 효율적인 후보 활성화 패턴집합 생성방법

김정현(Jung-Hyun Kim),홍성훈(Sung-Hun Hong) 한국전자통신학회 2019 한국전자통신학회 논문지 Vol.14 No.5

In the GSM method for OWC-MIMO System, it is important to select an activation pattern set(: APS) for the performance optimization in the environment where mutual interference is high depending on the location of the transmitter and receiver. However, due to the high computational complexity, a high cost is paid in selecting the transmission APS. In this paper, we propose a method to reduce the candidate APS by pre-determining basic APS when generating candidate APS. The simulation results show that the proposed method has the same BER performance and reduce the computational complexity by 90% compared to the general GSM method in the high interfering environment. OWC-MIMO시스템에서 GSM변조기법은 송·수신기의 위치에 따라 상호 간섭이 큰 환경에서 성능 최적화를 위한 활성화 패턴집합을 선택하는 과정이 중요하다. 하지만, 높은 연산 복잡도로 인해 최적의 활성화 패턴 집합을 선택하는 과정에서 높은 비용을 지불한다. 본 논문에서는 전송 활성화 패턴집합 선택을 위한 후보 활성화 패턴집합 생성 시 기본 활성화 패턴집합을 미리 결정하는 방식을 통해 후보 활성화 패턴 집합의 수를 감소시키는 방법을 제안한다. 모의실험 결과, 제안된 방법은 높은 간섭 환경에서 일반적인 GSM변조기법과 비교할 때 동일한 BER성능과 약 90%정도 감소된 후보 활성화 패턴집합의 수를 가져 복잡도가 크게 감소함을 확인하였다.

패턴에 기초한 대수 문제해결에서 나타나는 중학생들의 일반화 전략 및 수학적 표현

정홍춘,이경화 한국교원대학교 교육연구원 2008 敎員敎育 Vol.24 No.4

The purpose of this study is to analyze the possibility and the method of 'Introduction of algebra based on patterns' arising as an alternative of conventional algebra education and to propose an issue to the education of algebra based on patterns. For our purpose, we analysed the generalization strategies and the mathematical representations of middle school students appearing on the problem solving of algebra based on patterns. Test results of the students are analyzed based on the generalization strategy of Lannin (2005) for the generalization strategies. Also, the representations of the students are examined based on the representations of Nakahara such as visual representation, linguistic representation, symbolic representation. Finally, whether one can formalize them with letters or not is analyzed by classifying into succeed. To find the solution of those research questions, we carried out paper and pencil test. After analysing the paper and pencil test, we found that the generalization strategies depended on various components of the problem and introducing 'Large numbers‘ into the problem and that students were not familiar with expressing mathematically. And they preferred linguistic representation. 본 연구의 목적은 현행 전통적인 대수 교육에 대한 대안으로 떠오르고 있는 ‘패턴에 기초한 대수 교육’의 의미와 방법을 살펴보고, 우리나라 학생들에게 적용한 결과를 바탕으로 패턴에 기초한 대수 교육으로의 관점 전환을 위한 기초 자료를 제시하는데 있다. 패턴에 기초한 대수 문제해결 과정은 일반화 전략을 개발하게 하고, 수학적인 표현 도구의 발달을 자연스럽게 이끌기 때문에 대수적인 감각을 향상시키는 데 유용한 것으로 알려져 있다. 이에 기초하여 이 연구에서도 분석의 주요 초점을 일반화 전략 및 수학적 표현 방법에 둘 것이다. 일반화 전략은 Lannin(2005)의 연구결과를 참고하여 분석했으며, 수학적 표현은 Nakahara의 표현 체계 중 시각적, 언어적, 기호적 표현을 바탕으로 분석하였다. 또한 문자를 이용하여 형식화할 수 있는지 여부까지 확인하였다.