피보나치 수열의 일반화에 관한 고찰

양영오,김태호,Yang, Young-Oh,Kim, Tae-Ho 한국수학사학회 2008 Journal for history of mathematics Vol.21 No.4

본 연구에서는 유명한 피보나치 수열을 일반화하는 g-피보나치 수열 $\{g_n\}$={a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b,...}의 여러 가지 성질과 특성을 조사한다. 특히, g-피보나치 수열의 합에 관한 항등식과 제 n항 $g_n$(비네의 공식의 일반화)을 구체적으로 구한다. 또한 피보나치 수열에 관한 카타란의 항등식의 일반화된 항등식과 A. Tagiuri의 항등식을 구하고 $g_n$과 파스칼 삼각형과의 관계식과 g-피보나치 수 $g_n$이 얼마나 빨리 커지는가를 조사한다. 아울러 g-피보나치 수열의 초항과 둘째 항이 서로 소일 때 연속하는 두 항은 서로 소이며, 연속하는 두 항의 비율 $\{\frac{g_{n+1}}{g_n}\}$은 황금비 $\frac{1+\sqrt5}2$ 수렴함을 밝히고자한다. In this paper we investigate several properties and characteristics of the generalized Fibonacci sequence $\{g_n\}$={a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b,...}. This concept is a generalization of the famous Fibonacci sequence. In particular we find the identities of sums and the nth term $g_n$ in detail. Also we find the generalizations of the Catalan's identity and A. Tagiuri's identity about the Fibonacci sequence, and investigate the relation between $g_n$ and Pascal's triangle, and how fast $g_n$ increases. Furthermore, we show that $g_n$ and $g_{n+1}$ are relatively prime if a b are relatively prime, and that the sequence $\{\frac{g_{n+1}}{g_n}\}$ of the ratios of consecutive terms converges to the golden ratio $\frac{1+\sqrt5}2$.

일반화된 피보나치수열의 탐구를 위한 예비중등교사용 교수단원의 설계

김진환,박교식 대한수학교육학회 2009 학교수학 Vol.11 No.2

In this paper, we have designed a teaching unit for the learning mathematising of secondary pre-service teachers by exploring generalized fibonacci sequences. First, we have found useful formulas for general terms of generalized fibonacci sequences which are expressed as combinatoric notations. Second, by using these formulas and CAS graphing calculator, we can help secondary pre-service teachers to conjecture and discuss the limit of the sequence given by the rations of two adjacent terms of an m-step fibonacci sequence. These processes can remind secondary pre-service teachers of a series of some mathematical principles. 이 연구에서는 예비중등교사들이 수학화를 실제적으로 경험하도록 일반화된 피보나치수열의 일반항을 구하는데 유용한 공식을 찾고, 연속하는 두 항의 비율에 대한 극한을 탐구하는 교수단원을 설계한다. 예비중등교사들은 이 교수단원을 통해 자연수 n의형 k-분할의 수(n, m; k)를 조합으로 표현하는 과정을 탐구함으로써 일반화된 피보나치수열의 각 항을 구하는 공식을 찾을 수 있다. 이러한 공식을 CAS형 그래핑 계산기에 직접 넣어 구체적인 피보나치수를 구할 수 있고, 일반화된 피보나치수열의 연속하는 두 항의 비율로 얻어지는 수열이 수렴한다는 추측을 할 수 있게 해 준다. 이러한 사실을 바탕으로 일반형의 피보나치수열의 연속하는 항의 비율로 만든 수열의 극한에 대해 논한다. 이 교수단원을 통해 예비중등교사들은 중복조합, 조합, 포함과 배제의 원리, 연속함수의 중간값의 정리, 이차방정식 및 삼차방정식의 해법을 되새기고 이를 활용하여 수학을 발명하는 경험을 할 수 있다.

피보나치수열과 황금비에 관한 고찰

박봉구 호남대학교 산업기술연구소 2012 녹색산업연구 Vol.18 No.2

황금비(Golden Ratio)는 자연이나 예술작품의 형태미를 규정하고 있는 각 종 비례 중에서 가장 이상적인 비율로 알려지고 있다. 황금비가 기하학의 명제로 처음 제기된 것은 기원전 300년경에 유클리드(Euclid, 330?-275?)의 원론 제Ⅳ권에서이다. 피보나치수열(Fibonacci Sequence)은 이웃하는 항끼리의 비가 황금비에 수렴한다. 본 논문에서는 피보나치수열과 황금비의 관계를 살펴보고, 피보나치수열을 이루는 자연현상과 황금비의 응용을 조사・분석하였다. 주요어: 피보나치수, 피보나치수열, 황금비, 황금분할, 황금직사각형 In this paper we survey the relation between Fibonacci Sequence and Golden Ratio, and show that Fibonacci Sequence and Golden Ratio exist in plants, animals, works of art and human bodies. Especially We investigate that human beings have been applying Fibonacci Sequence and Golden Ratio to architecture, works of art and articles of life from ancient times. Key words : Fibonacci Number, Fibonacci Sequence, Golden Ratio, Golden Section, Golden Rectangle.

유한한 수명을 갖는 토끼에 의해 생성되는 피보나치 수열의 점화식

노주석(Noh, Jooseok),김유라(Kim, Yoora) 한국과학영재교육학회 2018 과학영재교육 Vol.10 No.1

The paper is based on the research from a university science education institute for the gifted, and aims at developing an interdisciplinary science educational program for the gifted middle school students. Fibonacci sequence generates numbers in a manner that every number after the first two is the sum of the two preceding ones. The Fibonacci sequence has been widely used in biology as a mathematical model for describing the reproduction of a pair of rabbits. The traditional Fibonacci sequence assumes rabbits with an infinite lifespan so that the rabbits can live forever. Considering a finite lifespan in the Fibonacci sequence can enhance biological applicability in practice. In this paper, we take a finite lifespan into account in the reproduction of rabbits and analyze the number of pairs of baby rabbits as well as adult rabbits when the rabbits have a lifespan of 4. 본 연구는 대학교 부설 과학영재교육원에서 수행한 결과를 바탕으로 하며, 중학생을 대상으로 하는 융복합 과학영재교육 프로그램 개발에 응용되는 것을 목적으로 한다. 피보나치 수열이란 앞의 두 수의 합이 바로 뒤의 수가 되는 수의 열이다. 피보나치 수열은 토끼 한 쌍의 번식 과정을 표현하는 수학적 모델로서 생물학에서 광범위하게 사용된다. 종래의 피보나치 수열은 토끼의 수명이 무한하여 죽지 않는다는 가정을 두고 있다. 유한한 수명을 갖는 토끼를 고려하면 토끼의 번식 과정을 보다 정확히 모델링 할 수 있다. 본 논문에서는 수명이 4인 토끼 한 쌍에 의해 생성되는 피보나치 수열을 연구하였다.

예비중등교사의 수학화 학습을 위한 교수단원의 설계: 분할모델과 일반화된 피보나치 수열 사이의 관계 탐구

김진환,박교식 대한수학교육학회 2008 수학교육학연구 Vol.18 No.3

In this paper, we designed a teaching unit for the learning mathematization of secondary pre-service teachers through exploring the relationship between partition models and generalized fibonacci sequences. We first suggested some problems which guide pre-service teachers to make phainomenon for organizing nooumenon. Pre-service teachers should find patterns from partitions for various partition models by solving the problems and also form formulas from the patterns. A series of these processes organize nooumenon. Futhermore they should relate the formulas to generalized fibonacci sequences. Finding these relationships is a new mathematical material. Based on developing these mathematical materials, pre-service teachers can be experienced mathematising as real practices. 이 연구에서는 예비중등교사들의 수학화 학습을 위해 분할모델과 일반화된 피보나치 수열 사이의 관계를 탐구하는 교수단원을 설계한다. 이 교수단원에서는 먼저 예비중등교사들이 조직해야 할 현상을 탐구문제의 형태로 제공한다. 그들은 이 탐구문제를 해결하면서, 그것을 조직하는 본질 즉, 분할의 수에 대한 패턴을 찾게 된다. 이 과정에서 점차 커지는 분할될 수의 집합에 따라 분할모델의 유형도 다양해 진다. 이러한 분할모델에 대한 분할의 수를 구하고, 이 수들 사이의 패턴을 찾아 공식을 만들고, 이 공식들이 일반화된 피보나치 수열과 관계가 있음을 찾는다. 분할모델과 피보나치 수열 사이의 이러한 관계는 이전에 알려지지 않은 소재인 만큼, 그것은 예비중등교사들로 하여금 수학화를 가상적으로 연습하게 하는 것이 아니라, 실제처럼 연습할 수 있게 한다.

A Study on the Golden Ratio and Symbolism Found in Rhythmic and Harmonic Materials in Sofia Gubaidulina’s Work : Based on Gubaidulina’s Original Compositional Sketch of Quasi Hoquetus for Viola, Bassoon and Piano (1984)

Sookyung Sul 이화여자대학교 음악연구소 2018 이화음악논집 Vol.22 No.4

Composed by Sofia Gubaidulina (1931- ) in 1984, Quasi Hoquetus for Viola, Bassoon, and Piano is one of her earlier piece to which she applied number series. Gubaidulina employs the Fibonacci series as the primary factor to draw up the number of attacks and forms in Quasi Hoquetus. Furthermore, she diversifies the ways of applying the Golden ratio (1:1.618) and the symmetrical ratio of 1:1. As the author of this paper, I visited the Paul Sacher Foundation in Switzerland reserving Gubaidulina’s compositional manuscript of Quasi Hoquetus, delved into the 1-page pre-compositional plan and analyzed it in light of the score. Noting that Gubaidulina has utilized an original method of composition based on the ‘Rhythm of Form’ using a certain series to determine the number of attacks and forms in her pieces since 1984, this paper elucidates how she used both Golden ratio and number series to organize her harmonic narratives as well as form and rhythm, with intent to explore her compositional method of originality using numbers. 소피아 구바이둘리나(Sofia Gubaidulina, 1931- )의 비올라, 바순, 피아노를 위한 《콰지 호케투스》(Quasi Hoquetus for Viola, Bassoon and Piano)는 1984년에 작곡된 작품으로 구바이둘리나가 수열을 작품에 적용하기 시작한 초기 작품 중 하나이다. 이 작품은 피보나치 수열이 곡의 리듬 개수 및 형식을 구성하는 주요 요인으로 사용된다. 또한, 피보나치 수열 자체에도 내포된 황금 비율이 이 작품 내에서도 다양한 방법으로 적용되어 나타나며, 비대칭적 비율인 황금비율과 동시에, 대칭 비율인 1:1 비율도 함께 특징적으로 사용된다. 이 논문의 연구를 위해, 구바이둘리나의 《콰지 호케투스》에 관한 작곡 계획이 필사본으로 남겨져 있는 스위스의 파울 자허 파운데이션(Paul Sacher Foundation)을 방문하여 한 페이지 분량의 작곡 계획을 연구한 후, 이를 악보에 적용시켜 분석하였다. 구바이둘리나는 1984년 이래로, 특정 수열로 리듬 개수 및 형식을 결정하는 ‘리듬형식’을 그녀의 작품에서의 독창적 작법으로 사용하였는데, 이 논문은 수열의 사용으로 구성되는 형식 및 리듬 뿐 아니라, 화성적 어법을 구성하는데도 황금비율 및 1:1 비율이 어떻게 사용되었는지 밝힘으로써, 구바이둘리나의 수를 사용한 독창적 작법에 관하여 고찰해 보고자 한다.

황금분할과 피보나치수열을 활용한 초등음악과 ‘음악 만들기’ 활동 수업자료 개발

곽현규 한국음악교육공학회 2017 음악교육공학 Vol.- No.32

2015 개정 초등 음악과 교육과정에서 제시한 6개의 역량 중 음악적 창의․융합 사고 역량은 음악 분야의 전문 지식과 소양을 토대로 새롭고 독창적인 아이디어를 산출해 내고, 자신이 학습하거나 경험한 음악 정보들을 다양한 현상에 융합적으로 활용할 수 있는 역량을 말한다. 이러한 역량을 키워주기 위해서는 새로운 교수ㆍ학습 방법뿐만 아니라 수업자료가 개발되어야 한다. 따라서 본 연구에서는 초등 음악과 ‘표현’ 영역 중 음악 만들기 활동에 적용하기 위해 황금분할과 피보나치수열을 활용한 수업자료를 개발하였다. 이를 위해 이론적 배경에서는 음악과 수학의 관련성을 살펴보았으며 황금분할과 피보나치수열을 활용한 음악의 예를 제시하였다. 수학적 개념을 적용한 음악 만들기 수업자료 개발은 음악학습에 흥미와 자신감을 잃은 학생들이 보다 쉽게 접근할 수 있도록 돕고, 음악 만들기 수업 활동을 지도하는데 어려움을 느끼고 있는 교사들에게는 조금이나마 해법의 대안이 되길 바란다. Among 6 capabilities suggested in the 2015 revised elementary school music curriculum, musical creativityㆍconvergence thinking capability means the capability to make new and creative idea based on specialized knowledge and refinement in music field and to utilize musical information learnt or experienced by oneself in a convergent manner on various phenomena. It is required to develop not only new teachingㆍlearning method but also teaching materials in order to foster such capability. Therefore, this study developed teaching materials using Fibonacci sequence in order to apply to “music making activities“ in the 'expression' field of the elementary school music curriculum. For this, investigation of relationships between music and mathematics was conducted from the aspect of theoretical background and examples of music were suggested using Golden section and Fibonacci sequence. It is expected that development of music making activities teaching materials to which mathematical conception was applied will be helpful for students without interest and confidence in music study to easily approach the study and also will be a small alternative to teachers who feel burden of guiding music making activities.

소피아 구바이둘리나의 작품에 나타난 리듬형식(Rhythm of Form)에 관한 연구- 구바이둘리나의 <비올라, 바순, 피아노를 위한 콰지 호케투스(Quasi Hoquetus for Viola, Bassoon, and Piano)>(1984)에 사용된수열분석을 중심으로

설수경 한국예술종합학교 한국예술연구소 2019 한국예술연구 Vol.- No.23

Sofia Gubaidulina is a notable woman composer in comtemporary music who created her own compositional method. Her music is characterized by unusual combinations of instruments, the use of symbolic features in her work to show her religious beliefs, and the use of various numerical sequences such as the Fibonacci series and the Golden ratio in her music. Gubaidulina believes that rhythm is the most important musical element in composition, and uses various number sequences to develop rhythmic ideas and decide the ovrall structure of her pieces, an approach that she calls the ‘Rhythm of Form.’ This paper will analyze Gubaidulina’s Quasi Hoquetus composed in 1984, based on her compositional sketch and will uncover how Gubaidulina applies numerical sequences to build rhythmic ideas and form to gain insight into various compositional methods. 소피아 구바이둘리나(Sofia Gubaidulina, 1931-)는 현대 음악계에서 자신만의 음악 세계를 확실하게 구축한 저명한 여성 작곡가이다. 그녀의 음악은 비관습적인 악기 구성, 음악 내에 상징적으로 배치한 그녀의 종교적 신념, 음악 내의 수열 및 황금 비율의 사용 등의 특징을 갖는다. 특히, 구바이둘리나는 리듬을 음악을구성하는데 가장 중요한 요소로 생각하였고, 피보나치 수열을 포함한 다양한 수열을 작품의 리듬 및 전체적인 형식을 구성하는데 사용하였으며 이러한 작법을 리듬 형식(Rhythm of Form)이라 불렀다. 본 논문은 1984년에 작곡된 <콰지 호케투스(Quasi Hoquetus)>를 구바이둘리나의 작곡 노트를 토대로 분석하여, 그녀가 수열을 어떻게 리듬 및 형식을 구성하는데 사용하였는지 그 작법에 관하여 연구하여, 작품을 작곡하는 다양한 방식에 관하여 논하고자 한다.

수학적 추론과 연결성의 교수 · 학습을 위한 소재 연구 - 도형수, 파스칼 삼각형, 피보나치 수열을 중심으로-

손홍찬 대한수학교육학회 2010 학교수학 Vol.12 No.4

In this paper, we listed and reviewed some properties on polygonal numbers, pyramidal numbers and Pascal's triangle, and Fibonacci sequence. We discussed that the properties of gnomonic numbers, polygonal num- bers and pyramidal numbers are explained integratively by introducing the generalized k-dimensional pyra-midal numbers. And we also discussed that the properties of those numbers and relationships among generalized k-dimensional pyramidal numbers, Pas- cal's triangle and Fibonacci sequence are suitable for teaching and learning of mathematical reasoning and connections. 본 고에서는 평면이나 공간에서 정의된 도형수가 일반적으로 유한 차원에서 일반화될 때 저차원의 도형수인 그노몬수, 다각수 그리고 다각뿔수의 성질을 통합적으로 설명할 수 있음을 논하고, 도형수와 파스칼 삼각형, 피보나치 수열의 성질과 그들 사이의 관계를 알아봄으로써 이들에 대한 성질 탐구가 수학적 추론과 연결성을 지도하기 적합한 소재가 될 수 있음을 논한다.

피보나치 수열을 활용한 가변스텝 LMS 알고리즘

우홍체 한국융합신호처리학회 2018 융합신호처리학회 논문지 (JISPS) Vol.19 No.2

Adaptive signal processing is quite important in various signal and communication environments. In adaptive signal processing methods since the least mean square(LMS) algorithm is simple and robust, it is used everywhere. As the step is varied in the variable step(VS) LMS algorithm, the fast convergence speed and the small excess mean square error can be obtained. Various variable step LMS algorithms are researched for better performances. But in some of variable step LMS algorithms the computational complexity is quite large for better performances. The fixed step LMS algorithm with a low computational complexity merit and the variable step LMS algorithm with a fast convergence merit are combined in the proposed sporadic step algorithm. As the step is sporadically updated, the performances of the variable step LMS algorithm can be maintained in the low update rate using Fibonacci sequence. The performances of the proposed variable step LMS algorithm are proved in the adaptive equalizer. 다양한 신호처리 및 통신환경에서 적응신호처리는 매우 중요하다. 적응신호처리 방식 중에서 least mean square(LMS) 알고리즘은 단순하면서도 강인하기 때문에 널리 사용되고 있다. 가변스텝 LMS 알고리즘은 스텝을 가변하므로 빠른 수렴속도와 작은 초과자승오차를 얻을 수 있는 방식이다. 성능향상을 위하여 다양한 가변스텝 LMS 알고리즘이 연구되어 왔다. 하지만 성능향상을 위하여 가변스텝 LMS 알고리즘의 계산 복잡도는 일부 방식에서는 크게 높아지게 되었다. 계산 복잡도가 낮은 고정스텝 LMS 알고리즘과 빠른 수렴속도의 가변스텝 LMS 알고리즘의 장점을 같이 가질 수 있는 간헐적 스텝 갱신 알고리즘을 제안한다. 간헐적으로 스텝 갱신을 할 때 피보나치 수열을 사용하여 스텝 갱신 횟수를 상당히 낮추면서도 가변스텝 LMS 알고리즘의 성능을 유지할 수 있었다. 적응 등화기에 제안한 가변스텝 LMS 알고리즘을 적용하여 그 성능을 확인하였다.