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Existence, multiplicity and regularity of solutions for the fractional $p$-Laplacian equation
김연호 대한수학회 2020 대한수학회지 Vol.57 No.6
We are concerned with the following elliptic equations: \begin{equation*} \begin{cases} (-\Delta)_p^su=\lambda f(x,u) \quad \textmd{in} \ \ \Omega,\\ u= 0\quad \text{on}\ \ \mathbb{R}^N\backslash\Omega, \end{cases} \end{equation*} where $\lambda$ are real parameters, $(-\Delta)_p^s$ is the fractional $p$-Laplacian operator, $0<s<1<p<+\infty$, $sp<N$, and $f:\Omega\times\mathbb R \to \mathbb R$ satisfies a Carath\'eodory condition. By applying abstract critical point results, we establish an estimate of the positive interval of the parameters $\lambda$ for which our problem admits at least one or two nontrivial weak solutions when the nonlinearity $f$ has the subcritical growth condition. In addition, under adequate conditions, we establish an apriori estimate in $L^{\infty}(\Omega)$ of any possible weak solution by applying the bootstrap argument.
개별요소법을 활용한 지하 동공의 위치와 형상별 위험도 평가
김연호,박성완 한국도로학회 2016 한국도로학회 학술발표회 논문집 Vol.2016 No.06
도로 하부에 동공이 발생하게 되면 지반재료의 거동이 크게 변화하게 된다. 최근, 동공은 GPR장치를 활용하여 탐지가 가능하며 탐지된 동공은 그 위험도에 따라 적당한 보수 대책을 마련하게 된다. 지하의 동공은 다양한 위치에 다양한 모양으로 생성될 수 있으며 이에 따른 강도 저하가 발생하는데 특히 위치 및 형상에 따라 도로함몰에 미치는 위험도가 다르다. 따라서 도로 하부에 발생한 다양한 동공의 위험도를 평가하기 위한 많은 연구가 실내시험 및 수치해석을 통해 수행되었다. Hewage and Renuka(2012)는 시료 내에 글루코스 블록을 통해 동공을 모사한 삼축압축 시험을 수행 하여 동공이 발생한 지반재료의 공학적 거동을 파악하였다. 그러나 글루코스 블록을 통하여 모사된 동공 은 물에 용해되는 과정을 거치며 초기 블록의 모양과는 다르게 형성되기에 다양한 위치, 모양을 구현하는 데 한계점이 있다. 따라서 이러한 실내 시험의 어려움 때문에 본 연구에서는 수치 해석적 방법을 이용하 여 동공의 위치와 형상이 지반재료의 강도와 변형에 미치는 영향을 알아보았다. 연구에 사용한 해석방법 은 개별요소법(Discrete Element Method)으로 시간의 흐름에 따라 개별 입자의 이동이 발생하여 동공의 변화에 따른 연속적인 해석이 가능하다. 본 연구에서는 동공의 위치 및 형상을 모사한 삼축압축 모델 테 스트를 진행하였다. 한편, 박형민 등(2016)은 DEM기반의 PFC-2D 프로그램을 이용하여 입도분포곡선을 반영한 삼축시험 모델링 해석을 수행하였으며 실내시험 데이터와 비교한 결과 그 타당성을 입증하였다. 이를 바탕으로 특 정 시료에 대한 입도분포 알고리즘을 적용하여 동공의 위치와 구속압 조건, 형상에 대한 영향을 알아보기 위한 수치해석을 진행하였다. 동공의 위치에 따른 영향을 알아보기 위하여 모델링 된 시료에 상, 중, 그리고 하부에 동공을 생성하여 해석을 수행한 결과 동공이 시료의 윗부분에 위치할수록 낮은 축차응력 수치를 보였다. 또한, 실제 동공 이 존재하는 지반 조건을 깊이 별로 모사하기 위하여 시료 내 동공은 동일한 위치에 생성한 후 지반의 깊 이를 구속압으로 표현해 각각 약 1m, 2m, 3m 깊이에 해당하는 구속압 조건에서 해석을 수행하였다. 결 과 동공이 깊은 깊이(75kPa구속압)에 위치한 경우 동공 발생으로 인해 감소한 강도가 얕은 깊이일 때 보 다 낮은 변형률에서 다시 회복되어 증가하는 현상을 확인 할 수 있었다. 또한 지반 내에서 동공은 여러 형태로 생성 될 수 있기 때문에 동공의 면적과 중심점은 동일한 조건에서 동공의 형상을 변화하여 해석을 수행하였으며 그 결과 동공의 초기 강도는 높이보다 폭에 의해 더 큰 영향을 받으며 더 큰 부피 변화를 수반하는 것을 확인 할 수 있었다. 본 연구의 결과를 토대로 도로 하부의 동공을 탐지한 경우 동공의 형상과 위치에 따라 위험도를 평가 하여 그에 따른 관리 대책을 수립 할 수 있을 것으로 기대한다.
김연호 대한수학회 2018 대한수학회지 Vol.55 No.5
We are concerned with elliptic equations in $\mathbb R^N$, driven by a non-local integro-differential operator, which involves the fractional Laplacian. The main aim of this paper is to prove the existence of small solutions for our problem with negative energy in the sense that the sequence of solutions converges to $0$ in the $L^{\infty}$-norm by employing the regularity type result on the $L^{\infty}$-boundedness of solutions and the modified functional method.