산술기하평균 부등식에 대한 교사의 MKT 분석

신수정 한국교원대학교 대학원 2016 국내석사

본 연구의 목적은 산술기하평균 부등식에 대한 현직교사의 MKT 분석이다. 산술기하평균 부등식을 활용한 최대최소문제는 정답률이 낮은 문항 중 하나로 본 연구에서는 교사의 수학교수에 관한 지식(Mathematical Knowledge for Teaching : MKT)을 분석하여 학생과 교사의 학습에 도움이 되는 교수학습 프로그램개발에 도움이 되고자한다. 본 연구에서는 Ball의 MKT분석틀을 활용하여 MKT 하위 요소들을 파악할 수 있는 과제를 수학교사에게 제시한 후 그 응답의 유형을 분류하고 정답자와 오답자의 응답을 정리하고 분석하였다. 또한 산술기하평균 부등식에 대한 교사들의 실태를 파악하여 최대 · 최소 교육에 시사점을 제공하고자 한다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 산술기하평균 부등식을 활용한 최대 · 최소를 가르치기 위한 ‘ 교과 내용 지식 (SMK) ’ 을 묻는 문항에서 나타나는 현직교사의 응답은 어떠한가? 2. 산술기하평균 부등식을 활용한 최대 · 최소를 가르치기 위한 ‘ 교수학적 내용 지식 (PCK) ’ 을 묻는 문항에서 나타나는 현직교사의 응답은 어떠한가? 위의 연구 문제를 해결하기 위하여 선행연구 및 문헌연구를 통해 총 6가지 문항으로 설문지를 구성하였으며, 예비실험과 전문가의 검토 과정을 거쳐 타당도와 신뢰도를 입증하였다. 연구의 대상은 2015년 한국교원대학교 교육대학원 수업을 수강 중인 교사 70명을 대상으로 설문조사를 실시하였으며, 회수된 설문지 중 응답이 50% 이상인 45명의 설문지를 분석하였다. 또한 분석과정에서 특이한 점이 발견되거나 교사의 응답이 모호한 경우 따로 면담을 실시하여 좀 더 정확하게 분석하고자 노력하였다. 결과를 요약하면 현직교사들은 산술기하평균 부등식을 활용한 최대최소에 대한 CCK를 묻는 문항에서의 정답률은 높은 편이었지만 SCK를 묻는 문항에서는 정답률이 낮았다. 교사들이 등호가 성립할 때 최솟값을 갖는다고 생각하는 경향이 있었고 이러한 점이 정답률이 낮은 원인으로 분석된다. 또한 허수에 대한 이해, 삼 항에 대한 산술기하평균 부등식을 활용하지 않고 두 항에 대한 산술기하평균 부등식만을 활용하여 문제를 해결하는 것은 기존의 방법과 차별적이고 새로운 문항으로 개발될 가치가 있는 요소였다. 교육경험에 대한 조사에서 대부분의 교사들이 고등학생 때와 학생들을 지도하면서 산술기하평균 부등식을 접하였다고 응답하였고 이러한 결과는 교사들이 개인적으로 학생을 지도하면서 학생의 오류를 경험하지 못한다면 산술기하평균 부등식에 대한 오류를 알 수 없다는 것을 의미한다. 마지막 문항에서 교사들에게 교사를 위한 교수학습프로그램이 개발된다면 어떠한 형태였으면 하는지를 물었고 분석결과 교사들은 학생들이 자주 범하는 오류를 영역별로 정리한 책의 발행이 있었으면 좋겠다는 의견과 교사용 지도서에 오류를 넣었으면 좋겠다는 의견이었다. 교사연수에 대해서는 교사들이 성실하게 임하지 않을 것이기에 하지 않는 것이 좋다고 부정적으로 답하였다. 또한 분석 결과로부터 다음과 같은 시사점을 얻었다. 개발된 설문을 통해 교사들의 지도에 대한 생각들을 자유롭게 서술하게 하였지만 구체적으로 어떠한 예를 들어 설명할 것인지 또는 어떠한 증명을 들어 학생들을 지도할 것인지 묻지 않아 방식만을 제시한 답변들이 많아 교사들의 지식을 일반화하는 것에는 다소 무리가 있다.

산술평균과 기하평균의 대소 관계를 이용한 최대ㆍ최소 문제해결에서의 오답유형 분석 : 고등학교 1학년 학생을 대상으로

허진영 한국교원대학교 대학원 2010 국내석사

본 연구에서는 우리나라 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 산술평균과 기하평균의 대소 관계를 이용한 최대·최소 문제해결에서의 오답유형을 분석하고 보다 효과적인 교수·학습 지도와 학생들의 수학 학습에 도움을 주기 위한 지도 방안을 모색하고자 하였다. 위와 같은 연구 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 연구 내용을 설정하였다. 1. 산술평균과 기하평균의 대소 관계를 이용한 최대·최소 문제해결에서의 오답유형 분석 2. 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 대한 지도 방안의 모색 본 연구를 수행하기 위하여 연구자가 임의로 선정하여, 부산시에 소재한 P 고등학교와 Y 여자고등학교에서 각각 3개 학급과 2개 학급의 총 5개 학급의 고등학교 1학년 학생들을 대상으로 조사 연구하였다. 이렇게 하여 부산시에 소재한 P 고등학교 1학년 97명과 Y 여자고등학교 1학년 68명의 총 165명을 대상으로 본 검사를 실시한 후 학생들이 풀어놓은 검사지를 분석하였다. 본 연구의 결과 산술·기하 평균의 대소 관계를 이용하여 최댓값·최솟값과 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하는 문제해결 과정에서 다음과 같은 문제점이 나타났다. 첫째, 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab을 이용하여 최댓값이나 최솟값을 구하는 것에는 익숙하지만, 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하거나 부등식이 성립할 조건 a>0, b>0을 생각하는데 익숙하지 않은 학생들이 많았다. 이로 인해 최댓값이나 최솟값만 구하고 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 생각하지 않아 조건을 구하지 않거나 문제의 조건에 맞지 않는 음수까지 조건으로 답하는 학생들이 많았다. 둘째, 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하는 과정에서 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab의 등호가 성립할 조건 을 이용하여 최댓값·최솟값을 가질 조건을 구하지 않고 방정식 을 이용하여 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하려는 학생들이 많았다. 이로 인해 문제가 간단한 경우에는 방정식을 이용하여 문제를 성공적으로 해결하였으나 문제가 어려워 식이 복잡해지면 방정식을 풀지 못해 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하지 못하는 학생들이 많았다. 셋째, 주어진 문제에서 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab을 이용하지 않고 몇 개의 자연수를 식에 대입하여 최댓값·최솟값과 최댓값·최솟값을 가질 때의 조건을 구하려는 학생들이 있었다. 하지만 자연수를 대입하는 전략은 자연수가 아닌 유리수나 무리수 등에서 최댓값·최솟값을 가지면 사용할 수 없는 전략으로 자연수에서 최댓값이나 최솟값을 가지는 경우에는 자연수를 대입하여 문제를 해결하였지만 무리수에서 최댓값이나 최솟값을 가지는 문제에서는 문제를 해결하지 못하는 학생이 있었다. 넷째, 두 식의 곱에 대한 최솟값을 구하는 문제에서 곱해진 두 식에 각각 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab을 이용하여 문제를 해결하려는 학생들이 많았다. 하지만 이와 같은 문제 해결 방법은 곱해지는 두 식에서 등호가 성립할 조건이 동일한 경우에 한하여 사용가능한 전략으로 등호가 성립할 조건이 상이한 경우에는 사용할 수 없는 전략이다. 이를 해결하기 위한 지도 방안으로 다음을 제언하고자 한다. 첫째, 교사는 산술·기하 평균의 대소 관계를 지도할 때 부등식 a+b≥2√ab은 a>0, b>0라는 조건에서 성립한다는 것과 등호는 어떤 조건에서 성립하는지를 강조하여 설명하고 부등식의 증명과정에서 이러한 조건이 왜 필요한지를 강조하여 지도한다. 둘째, 교사는 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab에서 등호가 성립할 때 최댓값이나 최솟값을 갖는다는 것을 강조하고 구체적인 문제로 예를 들어 등호가 성립할 조건을 이용하는 방법과 방정식을 이용하는 방법으로 각각 풀어보고 비교해봄으로써 등호가 성립할 조건을 이용하는 것이 효과적임을 지도한다. 셋째, 교사는 산술·기하 평균의 대소 관계를 나타내는 부등식 a+b≥2√ab은 모든 양의 실수 에 대해 성립한다는 것을 강조하고 매우 큰 자연수 또는 자연수가 아닌 유리수나 무리수에서 최댓값이나 최솟값을 가지는 문제를 학생들에게 예로 제시하여 몇 개의 자연수를 대입하는 방법을 일반적으로 사용하기에는 무리가 있음을 이해시키고 산술·기하 평균의 대소 관계를 이용하도록 강조하여 지도한다. 넷째, 교사는 두 식의 곱에 대한 최솟값을 구하는 문제를 지도할 때 곱해지는 두 식에서 등호가 성립할 조건이 상이한 문제를 학생들에게 예로 들어 곱해진 두 식에 각각 부등식 a+b≥2√ab을 이용하는 방법을 일반적으로 사용하기에는 무리가 있음을 이해시키고 식을 전개한 후 산술·기하 평균의 대소 관계를 이용해 문제를 해결하도록 강조하여 지도한다. The purpose of this study is to investigate the 10th graders' activities to solve problems using the arithmetic-geometric mean inequality and to explore teaching methods which can improve students' problem-solving ability. To achieve this purpose, two research contents were attempted. (1) An analysis of the 10th graders' problem-solving activities using the arithmetic-geometric mean inequality. (2) A proposals of teaching methods for improvement of students' problem-solving ability using the arithmetic-geometric mean inequality. From the analysis of students' problem-solving activities, the results are as follow. (1) Many students ignored the condition a+b≥2√ab which is indispensable to the arithmetic-geometric mean inequality and the conditions in which problems have the maximum or minimum values, while they successfully found the maximum or minimum values using the arithmetic-geometric mean inequality. (2) Finding the conditions in which problems have the maximum or minimum values, many students used the equation a+b≥2√ab which drew them to go wrong in complex problems. (3) Not knowing that the problems which have the maximum or minimum values when variables are irrational couldn't be solved by method of substitution, some students tried to solve problems by the method of substitution. (4) Some students thought that the multiplication of two minimum values obtained from two formulas by using the arithmetic-geometric mean inequality respectively is the minimum value of the multiplication of two formulas. Based on the above results, the following teaching methods could be proposed. (1) Teaching the arithmetic-geometric mean inequality a+b/2≥√ab, teachers emphasize that the condition is indispensable to the arithmetic-geometric mean inequality and explain the meaning of the condition in which an equality is held. (2) By comparing the method which uses the condition a=b with the method which uses the equation a+b≥2√ab, teachers emphasize that the former method is easy and effective. (3) By exemplifying the problem which has the maximum (or minimum) value when variables are irrational, teachers explain that the method of substitution can't be used in a general way. (4) By illustrating an example that the minimum value of the multiplication of two formulas can't be obtained by multiplying two minimum values obtained from two formulas respectively, teachers explain that the method by expanding the multiplication of two formulas is general.

算術-幾何平均 不等式에 關한 硏究 : 多樣한 證明方法을 中心으로

권태율 東國大學校 敎育大學院 2000 국내석사

In inequality, there are Absolute Inequality and Conditional Inequality. The former is accepted in every case of the real number, and on the contrary, the latter is accepted conditionally to certain subsets. Absolute Inequality is widely known for Analysis, for example the proof of convergence or evaluation of errors etc. The study of Absolute Inequality has become fully-fledged along with the 『Inequalities』 written by Hardy, Littlewood, and Polya in 1934, afterwards Beckenbach and Bellen found some faults in 『Inequalities』 and made up for them in their version on 『Inequalities』 1961. Many scholars presented a lot of prooves with original ideas on the inequality of an arithmetic-geometric mean. Bullen, Mitrinovic', and Vasic' renewed and arranged them in 『Means and Their Inequalities』, 1987. Many of the prooves in this thesis are based on 『Means and Their Inequalities』. To consider various ways of proof regarding the arithmetic-geometric mean Inequality, this thesis covers as follows: In chapter II, polynomial's quality, basic inequality, and convex function In chapter III, lemmas and diverse prooves In chapter IV, several prooves of arithmetic-geometric mean inequality are dealt respectively.

산술평균과 기하평균에 관한 연속성 부등식의 연구

김종국 안동대학교 대학원 1994 국내석사

산술-기하평균 부등식의 응용

배태익 仁荷大學校 1993 국내석사

Cesaro 算術 平均을 이용한 信號分析

김대희 釜山外國語大學校 2000 국내석사

4밸브 가솔린 엔진 연소실내 LDV를 이용한 산술평균 및 Cycle-resolved 난류해석에 관한 연구

김용선 江原大學校 1993 국내석사

중등수학에서 산술-기하평균 부등식의 지도방안에 대한 고찰

허동은 인하대학교 교육대학원 2008 국내석사

본 논문은 산술-기하평균 부등식의 의의를 찾아보고 학생들이 스스로 산술-기하평균 부등식을 응용 및 활용하여 최대·최소값을 구하는 문제해결력을 신장할 수 있는 지도방안을 모색해보는 것이 목적이다. 구체적으로 산술-기하평균 부등식을 소개하고 증명 할 때, 유한개의 변수에서 국한에서 가르칠 것이 아니라 좀 더 일반적인 산술-기하평균 부등식의 n변수 확장정리를 아주 강조하며 그와 관련된 문제 상황을 많이 소개하고 지도해야 한다고 본다. 이는 바로 수학적 문제해결력의 신장과 직결되어 있다. 끝으로, 본 논문을 통해서 교사들이 부등식의 증명단원을 지도하는데 있어서 학생들에게 실제로 도움이 될 목표를 되찾아서 학생들의 수학적 문제해결력 신장에 큰 도움이 되도록 해주었으면 한다. The chapters on the AM-GM inequality's proof of the current school mathematics mainly focus on the brief introduction of the inequality and its proof. As a matter of fact, the insufficient teaching of the meaning of the AM-GM inequality make the learners feel confused when applying the problems. Through this study, it is expected that teachers will continue to use question-raising teaching methods by seeking practical goals for students regarding the teaching of the chapters for inequality proof and will make efforts to improve students' mathematical problem-solving ability.

표면 거칠기가 나사의 유효 지름 측정에 미치는 영향에 관한 연구

이병우 연세대학교 공학대학원 2006 국내석사

A screw is the essential part which is necessary in every industry, and its accuracy varies from ㎜ (unit) to ㎚.$$a$$aCurrently as the high-tech industries continue to develop, the capacity of screw measurement has been expanded, and the global trend indicates that its capacity in measurement should receive recognition internationally.$$a$$aThe main issue is to be able to measure the screw with precision and accuracy and calculate the measurement uncertainty in order to acquire proper reliability. Therefore, this study intends to analyze how the roughness of a screw''s surface affects the effective diameter measurement and the degree of its influence.$$a$$aThe experiments were performed with screws that are sold domestically and samples that are produced specially in order to measure the displacement. The detailed formula and a general elastic theory are described for measuring the effective diameter of the plug gauge of parallel thread.$$a$$aIn regard to the effective diameter, the force of the measurement has a small influence when the roughness is small, but it was found that the influence of the force is relatively big and the degree of change is irregular if the roughness is large.$$a$$aWhen measured with the reduced force when the value of the roughness is large, the influence due to the frequency of measurement turns out to be remarkably great. Accordingly, to measure the effective diameter and obtain the measurement uncertainty the degree of roughness, force of the measurement and frequency in measurement should be carefully considered.$$a$$aThrough this work, the method for accurate and precise measurement is identified in measuring the effective diameter of the plug gauge of the parallel thread. It is expected that this study will be useful for effective planning that is helpful to figure out the influence of the surface roughness in measuring the processing parts.$$a$$a 나사는 모든 산업에 필수적인 요소 부품으로 그 정밀도가 ㎜ 단위에서 ㎚ 단위까지 매우 다양하다. 현 사회 또한 첨단 제품을 쏟아내고 있는 실정으로 나사의 측정 능력도 대단히 발전되어 왔다. 그리고 이제는 측정 능력도 국제적으로 인정을 받아야 하는 글로벌 시대가 돌입된 것이다. 누가 얼마나 정확하고 정밀하게 측정하며, 신뢰성을 확보할 수 있도록 측정 불확도를 산출하느냐는 필수 사항으로 되어있다. 따라서 나사의 표면 거칠기가 유효지름 측정에 미치는 영향을 분석하여 영향량을 제시하고자 하였다.$$a$$a실험 시편을 국내에서 판매되는 것과 변화량을 추정하기 위하여 특별 제작한 시편으로 실험을 실시하였다. 그리고 평행 나사 플러그 게이지의 유효지름 측정을 위한 자세한 공식과 일반적인 탄성이론을 기술하였다. 유효지름에 대하여 거칠기가 작은 경우에서는 측정력에 의한 영향이 작고, 거칠기가 큰 경우에서는 측정력에 대한 영향이 상대적으로 크게 작용하며, 변화량이 일정하지 않음을 알 수 있었다. 또한 거칠기값이 큰 경우에 측정력을 작게하여 측정 할 때에는 측정횟수에 의한 영향이 현저히 크게 나타남을 알 수 있었다. 따라서 거칠기의 크기, 측정력, 측정횟수 등을 고려하여 유효지름의 측정값과 측정 불확도를 산출하여야 함을 알 수 있었다.$$a$$a이와 같은 실험을 통하여 평행 나사 플러그 게이지의 정확하고 정밀한 유효지름 측정값을 산출 할 수 있었으며, 또한 가공 부품의 측정에서 표면 거칠기가 미치는 영향에 대해서 많은 도움을 줄 수 있는 효과적인 방안으로 활용되기를 기대한다.$$a$$a

절대부등식에 관한 연구 : 산술·기하·조화평균을 중심으로

이노성 서강대학교 교육대학원 1999 국내석사