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- 학과정보 : 수학부 (검색결과 144 건)
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THE GAUSS MAPS ON RULED SUBMANIFOLDS AND THEIR APPLICATIONS : 선직다양체 상의 가우스 사상과 그 응용
선직다양체 상의 가우스 사상과 그 응용 정 선 미 경북대학교 대학원 수학부 기하학전공 (지도교수 김영호) (초 록) 리만기하학의 주된 연구대상인 리만다양체는 많은 수학자들에 의해 다양한 수학적 측면에서 다루어져왔다. 특히, 1970년대 소개된 유한형(finite type) 개념은 대수적인 시각으로 다양체에 접근하며 유클리드공간 상의 다양체를 연구하고 분류하는 하나의 중요한 수단이 되었다. 이 개념은 유사-유클리드공간 상의 다양체 및 다양체 상에서 정의되는 함수에게까지 확장되어, 현재까지 많은 연구결과를 낳고 있다. 본 논문에서는, 다양체 상의 라플라스 연산 ⧍과 가우스 사상 G에 대해 주어진 조건을 만족하는 선직다양체(ruled submanifold)를 연구한다. 먼저, 민코우스키공간에서 을 만족하는 가우스 사상, 즉 유한형 가우스 사상을 가지는 선직다양체를 연구하고, 유클리드공간에서 (는 함수, 는 상수벡터)의 조건을 만족하는 가우스 사상을 가지는 선직다양체를 분류한다. 제2장에서는 민코우스키공간에서, 각각 비퇴화적(non-degenerate) ruling을 가지는 선직다양체와 퇴화적(degenerate) ruling을 가지는 선직다양체로 나누어, 조화 가우스 사상을 가지는 선직다양체를 완전히 분류하였다. 특히, 퇴화적 ruling을 가지는 선직다양체의 새로운 예를 제시하며, 퇴화적 ruling을 가지는 선직다양체의 경우, 선직다양체의 가우스 사상과 그 다양체의 극소성 사이의 관계를 규명하였다. 제3장에서는 2장에서의 내용을 기반으로 하여 유한형 가우스 사상을 가지는 선직다양체를 분류하였다. 또한, 선직다양체의 ruling이 퇴화적일 경우, 유한형 선직다양체의 몰입사상과 유한형 가우스 사상을 가지는 선직다양체의 몰입사상 사이의 관계를 정립하였다. 제4장에서는 유클리드공간 상에서 점별 1차형(pointwise 1-type) 가우스 사상 즉, 을 만족하는 가우스 사상을 가지는 선직다양체를 연구하였다. 그 과정에서 선직다양체의 극소성와 동치인 조건을 찾을 수 있었고, 새로운 형태의 선직다양체를 정의하며 점별 1차형 가우스 사상을 가지는 선직다양체를 완전히 분류하였다.
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Mathematical measurement of wall shear stress in blood flow : 혈액유동의 벽면전단응력 측정 방법에 대한 수학적 적용
혈관 질환의 발생과 진행에 있어 혈류역학(Hemodynamics)적 요소들의 영향력에 관한 연구가 꾸준히 진행되어 왔다. 그 중에서 벽면전단응력(wall shear stress)은 혈유동의 이상 징후를 예측 하는데 도움을 주며, 질병의 진단과 예방에 중요한 인자로 알려져 있다. 하지만 혈유동은 그 형태가 매우 복잡하고 생체 내에서 일어나므로 벽면전단응력뿐만 아니라 속도나 압력 등의 역학적 요소들을 직접 측정하기는 매우 어렵다. 본 논문은 MRI를 이용한 속도 측정과 이로부터 얻어진 데이터를 기반으로 하여 수학적으로 벽면전단응력을 측정할 수 있는 기법을 개발하는 것을 목표로 하였다. 혈액유동에서 벽면전단응력은 혈관벽이 혈류로 인해 유동 방향으로 받는 힘을 말하는데 혈액의 점성계수에 벽면전단율(wall shear rate)을 곱해서 구할 수 있다. 여기서 벽면전단율이란 벽면과 수직한 방향에 대한 속도변화율로 정의되며, 이를 측정하기 위해서는 혈류의 속도 정보가 필요하다. 본 연구에서는 MRI의 Phase Contrast 기법을 이용하여 혈관을 촬영하고, 획득된 영상으로부터 측정 대상의 픽셀(pixel) 단위로 속도를 계산 할 수 있는 프로그램을 사용하여 속도 데이터를 얻는다. 다양한 크기와 모양의 혈관에서 얻어진 속도 데이터는 픽셀 별 정사각형 형태로 분할된 구조를 가지며, 속도 측정을 원하는 부위의 픽셀 개수는 혈관의 종류와 촬영 때 마다 다르게 나타나게 된다. 이러한 데이터 구조에 적합한 수학적 기법인 라그랑즈 보간법을 이용하여 전단응력을 측정하고자 하는 벽면으로부터 혈관의 중심방향으로의 속도 값에 대한 다항식을 구할 수 있다. 이 다항식의 벽면 좌표에서의 기울기가 벽면전단율이며, 이 값에 혈액의 점성계수를 곱하여 벽면전단응력을 계산한다.
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Tropical geometry and (co)amoeba : Tropical geometry and (co)amoeba
본 학위논문은 열대 기하학과 그 기하에 대응되는 (보)아메바에 관한 연구이다. 먼저 열대 기하의 다양체를 정의하는 방법과 그 다양체를 정의하기 위한 다면 기하의 기초 성질, 그리고 열대 반환을 소개한다. 열대 다양체와 대수 다양체는 매우 유사한 성질을 지닌다. 그 관계를 규명하기 위해서 카플라노프 정리를 적용하여 열대 초곡면과 그에 대응되는 다면 다양체의 관계에 대해 보이고, 비에리와 그로브즈에 의해 정의된 방법론을 사용해 열대초곡면의 성질을 일반적인 열대다양체로 확장함으로서 대수다양체와 열대다양체의 유사성을 규명한다. 마지막으로 (보)아메바를 정의하고, 복소 다양체와 열대 다양체의 관계를 아메바의 극한으로 설명하는 미칼킨의 정리를 소개하면서 연구를 마무리한다.
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Slow passage through resonance : 슬로우 패세지(slow passage) 문제에서 공명(resonance)연구
동역학계(Dynamical system)의 변수가 시간에 의존하여 천천히 변하는 슬로우 패세지(slow passage) 문제는 활발히 연구되고 있는 분야이다. 일반적으로 이러한 동역학계에서 임계값(critical value)을 지나서 동역학 현상이 발생하는 지연 효과(delay effect)와 기억 효과(memory effect)가 이미 알려져 있다. 본 논문에서는 슬로우 패세지를 적용한 공명(resonance)을 연구하였다. 연구결과로서 임계값 이전에 공명 현상이 발생하게 되는 이른 효과(early effect)를 발견하였고, 이 현상은 초기 진동수(initial frequency)와 슬로우 패세지를 적용하지 않은 원래 공명모델의 공명진동수(resonant frequency)의 중간점에서 발생한다는 것을 수치적인 모의실험과 이를 뒷받침하는 미분 방정식의 풀이를 통한 수학적 해석으로 증명하였다.
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Backward semi-Lagrangian 수치기법(BSLM)은 비선형 이류-확산 방정식을 해결하는데 자주 쓰인다. 이 기법은 다른 수치기법 대비 시간 분할 간격을 더 넓게 설정할 수 있다는 장점을 가진다. 비선형 이류-확산 방정식은 BSLM에 의해 특성곡선을 설정한 후 두 가지 문제로 분리된다. 첫 째, 특성곡선에 대한 비선형 초기치문제. 둘 째, 시간에 대한 전미분에 관한 선형 확산방정식. 우선 선형확산방정식의 시간에 대한 전미분에 대해 후방차분법(BDF), 그리고 확산항에 대해 유한차분법(FDM) 등을 이용해 각각 시간과 공간에 대해 이산화 한다. 이 과정에서 특성곡선의 값을 비선형 초기치 문제를 풀어 찾고 그 위에서의 함수값 또한 찾는다. 이 값들은 각 시간 단계에서 모든내부점에 대해 요구된다. 따라서 이들을 효율적으로 계산하는 방법을 찾는 것이 BSLM의 핵심 과제이다. 우리는 초기치 문제를 해결하기 위해 오차 보정 이론(ECM)을 적용하며, 함수값을 찾기 위해 내삽법을 사용한다. 오차보정 이론에도 내삽법이 필요하므로, 사용하는 수치기법의 차수에 따라 내삽법이 많이 사용됨을 알 수 있다. 따라서 이 논문에서는 1차원 버거스 문제에 대해 라그랑주 내삽법, BDF2, ECM2 등을 이용하고, 매 시간 단계에서 5회씩 등장하는 내삽법을 효율적으로 적용하는 알고리즘을 제시 할 것이다. 이를 위해 라그랑주 내삽법을 Newton divided difference(NDD)를 사용해 중첩 형태로 변환하고, 중복되는 NDD의 계산을 없앤다. 그리고 알고리즘의 효율을 세 가지 예제에 적용해 총 연산 속도가 2배 이상 빨라진 것을 확인할 것이다.
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본 논문에서는 아말감 대수의 기본적인 성질들과 이를 바탕으로 아말감 대수들로 구성된 확대 환 이 갖는 성질들에 대해서 소개했다. 아말감 대수는 기본적으로 환의 공리를 만족시키는데 이들 사 이에 있는 환들은 항상 아말감 대수로 표현되며 이런 환들의 개수와 각각의 포함관계에 대해서 연 구했다. 또한 확대 환의 최소성과 정수성을 연구했다. 구체적으로 주어진 환을 포함관계가 있는 두 개의 bowtie 환으로 확장했을 때 이 확대 환이 최소확대 환이 되는 동치 조건을 알게 되었다. 그리고 주어진 확대 환이 integrality와 관련된 잘 알려진 성질인 LOP, INP, GUP, GDP 등을 가지 는 동치 조건에 대해서도 알게 되었다.
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무게변환 작용소는 부분정규작용소와 모멘트문제의 관련성을 연구하는 대표적인 모델로서 최근에 많이 연구되고 있다. 특히 1987년 버거에 의해 발표된 무게변환 부분정규작용소에 의하여 생성되는 모멘트측도의 역확장문제가 최근 많이 연구되고 있다. 그리고 부분정규무게변환작용소의 역확장 작용소 또한 부분정규성을 가지면 그 첫째 무게의 값이 매우 중요하다. 본 논문에서는 이와 같은 무게값를 조사하고 부분정규자무게변환에 대응되는 측도의 원점에서 값을 계산하는 공식을 구하였다. 그리고 얻어진 공식을 이용하여 원점에서의 측도값을 구체적으로 계산하고 그 성질들을 조사하였다.
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Directed trees and rank-one perturbations of operators : 유향 트리와 작용소의 계수 1인 섭동
힐버트 공간 유계작용소의 연구는 20세기 초부터 연구되어진 분야로서 공학 및 물리학 등에서 많이 응용되어지고 있는 해석학의 중요한 분야이다. 특히, 1950년대 P. Halmos에 의하여 개발된 작용소의 아정규성은 작용소의 여러 분야에서 많이 연구되고 있는 주요 분야이다. 이후 다양한 형태의 아정규성이 개발되었는데 그 중에서 약 아정규성은 부분정규작용소, 아정규작용소 및 노르말노이드 작용소에 관련된 작용소 틈 이론의 연구에 매우 중요한 역할을 한다. 특히 작용소 틈 이론에서 p-아정규성, p-파라노르말성, 절대 p-파라노르말성은 유계작용소의 약 아정규성 구조를 규명하기 위하여 연구되어져 왔다. 그러나 이와 같은 약 아정규성을 가지는 구체적 작용소의 모델은 많이 알려져 있지 않다. 본 논문에서는 이러한 작용소들의 구체적인 모델을 개발하고 이들 작용소들의 약 아정규성의 특성을 규명하기 위하여 무게이동변환 작용소에서 rank가 1인 섭동 작용소를 생각하여 작용소 틈 이론의 분류문제를 해결하였다. 본 논문에서 개발된 작용소 모델은 p-파라노르말작용소와 절대 p-파라노르말작용소의 분류문제에서 나타나는 기존의 알려진 모델들보다 향상된 모델로써 임의의 p의 값에 대하여 p-아정규작용소, p-파라노르말작용소, 절대 p-파라노르말작용소를 모두 분류할 수 있는 모델이다. 특히 응용모델로서 그래프 이론을 접목시킨 무게방향트리에서 정의된 무게이동변환 작용소의 일반화된 형태인 합성작용소를 새롭게 정의하였으며 이들의 p-아정규성과 p-파라노르말성을 규명하였다. 뿐만 아니라 이와 같은 그래프 모델에서 p-아정규성을 만족하는 univeral 그래프를 새롭게 구성하였는데 이 그래프는 임의의 p-아정규인 그래프의 어떤 노드근방을 이 그래프의 노드근방의 특정 극한으로 표현할 수 있는 중요한 특성을 가지고 있다. 마지막으로 작용소론 연구에서 미해결 과제인 아정규작용소에서의 불변부분공간문제를 해결하기위한 초석으로써 아정규성을 가지는 rank 1인 섭동 정규 작용소의 행렬구조를 규명하였다.
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본 논문에서는 일차 쌍곡선 미분방정식을 풀기 위해 공간이산화 뿐만 아니라시간이산화에대해서도췌비쉐브선점법(Chebyshev Collocation)을 이용하여 오차보완법을 발전시켰다. 아이디어구현방법은다음과같다. 먼저, 구하려는 시간과 공간을 여러 개의 로컬 영역으로 나눈다. 두번째, 로컬영역마다 플랫폼(platform)을 정의하고, 주어진 일차 쌍곡선 미분방정식 에서 뺀후 선형 미분방정식형태의 오차방정식을 얻는다. 셋째, 오차방정식을 공간과 시간변수 모두에서 췌비쉐브 선점법(Chebyshev Collocation)을 사용하여 해를 구한다. 마지막으로 오차해와 플랫폼(platform)을 합하므로 서 최종적인 해를 구한다. 이 방법으로 얻어진 오차보완법은 공간과 시간변수 모두 4차 정확성을 가짐을 수치적실험을 통하여 보여주었다.
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Let $D$ be a graded domain and $Inv_{t}(D)$ (resp., $HInv_{t}(D)$) the set of $t$-invertible $t$-ideals of $D$ (resp., homogeneous $t$-invertible $t$-ideals of $D$). In this paper, we define the notion of gr-$t$-Schreier domain and $t$-Schreier monoid. Then we show that in an integrally closed graded domain, the concept of $t$-Schreier and gr-$t$-Schreier coincides. With this property, we also show that in an integrally closed semigroup ring, $D[\Gamma]$ is $t$-Schreier if and only if both $D$ and $\Gamma$ are $t$-Schreier. Also, we characterize interrelation between graded $t$-Schreier domains and graded pre-Schreier domains.
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