Isotomic and Isogonal Conjugates Tangent Lines of Lines at Vertices of Triangle

서민영,안영준 조선대학교 기초과학연구원 2017 조선자연과학논문집 Vol.10 No.1

In this paper we consider the two tangent lines of isogonal and isotomic conjugates of the line at both vertices of a given triangle. We find the necessary and sufficient condition for the two tangent lines of isogonal or isotomic conjugates of the line at both vertices and the median line to be concurrent. We also prove that every line whose isogonal conjugate tangent lines at both vertices are concurrent with the median line intersects at a unique point. Moreover, we show that the three intersection points correspond to the vertices of triangle are collinear.

Isotomic and Isogonal Conjugates Tangent Lines of Lines at Vertices of Triangle

Seo, Min Young,Ahn, Young Joon The Basic Science Institute Chosun University 2017 조선자연과학논문집 Vol.10 No.1

In this paper we consider the two tangent lines of isogonal and isotomic conjugates of the line at both vertices of a given triangle. We find the necessary and sufficient condition for the two tangent lines of isogonal or isotomic conjugates of the line at both vertices and the median line to be concurrent. We also prove that every line whose isogonal conjugate tangent lines at both vertices are concurrent with the median line intersects at a unique point. Moreover, we show that the three intersection points correspond to the vertices of triangle are collinear.

근사개념 지도를 위한 관련 지식의 교수학적 고찰

정영우,이목화,김부윤 한국수학교육학회 2012 수학교육논문집 Vol.26 No.1

미적분학에서 "근사(approximation)"는 핵심 개념 가운데 하나인데, 이를 설명하기 위한 기본 개념은 "접선(tangent)"이며, 접선은 특별한 조건을 가지는 "직선(line)"이다. 본 연구에서는 미적분학의 이론적 기초가 되는 이들 수학적 지식에 대해 중등학교 기하지도 관점에 기초하여 교수학적 고찰을 하고, 이와 관련하여 개연성 있는 지도를 위한 주안점과 지도 방안을 제안한다. 이를 위해 유클리드 기하학에서의 점, 선, 원, 직선, 접선, 근사에 대해 알아보고, 이를 해석 기하학으로 번역하는 과정을 통해 대수적 조작을 위한 수학적 지식들을 유의미하게 유도한다. 그리고 현대수학의 관점으로 이를 발전시켜 근사를 위한 수학적 지식들의 유선(流線, stream line)을 구성한다. 또한 이를 바탕으로 직선, 접선 그리고 근사에 관한 학교수학의 내용을 고찰하여 지도의 주안점과 지도 방안을 모색한다. 이러한 연구는 교사들에게 교수학적 내용지식을 주며, 이들 수학적 지식을 개연성 있게 지도할 수 있는 수업모델 개발에 대한 기초를 제공한다. 나아가 학생들에게 수학이 계통적 학문이라는 것과 학교수학이 뚜렷한 목적성 아래 구성된 활동이라는 것을 인식하게 한다. "Approximation" is one of central conceptions in calculus. A basic conception for explaining "approximation" is "tangent", and "tangent" is a "line" with special condition. In this study, we will study pedagogically these mathematical knowledge on the ground of a viewpoint on the teaching of secondary geometry, and in connection with these we will suggest the teaching program and the chief end for the probable teaching. For this, we will examine point, line, circle, straight line, tangent line, approximation, and drive meaningfully mathematical knowledge for algebraic operation through the process translating from the above into analytic geometry. And we will construct the stream line of mathematical knowledge for approximation from a view of modern mathematics. This study help mathematics teachers to promote the pedagogical content knowledge, and to provide the basis for development of teaching model guiding the mathematical knowledge. Moreover, this study help students to recognize that mathematics is a systematic discipline and school mathematics are activities constructed under a fixed purpose.

수학적 모델링 과정에서 접선 개념의 재구성을 통한 미분계수의 재발명과 수학적 개념 변화

강향임 대한수학교육학회 2012 학교수학 Vol.14 No.4

This paper reports the process two 11th grade students went through in reinventing derivatives on their own via a context problem involving the concept of velocity. In the reinvention process, one of the students conceived a tangent line as the limit of a secant line, and then the other student explained to a peer that the slope of a tangent line was the geometric mean of derivative. The students also used technology to concentrate on essential thinking to search for mathematical concepts and help visually understand them. The purpose of this study was to provide meaningful implications to school practices by describing students’ process of reinvention of derivatives. This study revealed certain characteristics of the students’ reinvention process of derivatives and changes in the students’ thinking process. 본 연구의 목적은 학생들이 수학적 모델링 활동을 통해 미분계수를 재발명하는 과정을 분석하여 학교현장의 미분계수 지도에 의미 있는 시사점을 제공하는 것이다. 이를 위해 고등학교 2학년 문과 학생 2명을 대상으로 모델링 과정과 그 과정을 통해 나타나는 수학적 개념 변화를 분석하였다. 그 결과, 학생들은 할선의 극한으로 접선을 재구성하고 접선의 기울기와 순간속도를 연결하기 위해 미분계수를 재발명하였다. 이 과정을 통해 학생들의 접선 개념과 시간-속도 그래프에 대한 개념이 변화되었음을 확인하였다. 본 연구의 모델링 과정에서는 학생들의 시각적인 이해를 돕고, 수학적인 개념을 탐구하는 본질적인 사고에 집중할 수 있도록 테크놀로지를 활용하였다.

Isotomic and Isogonal Conjugates Tangent Lines of Lines at Vertices of Triangle

Min Young Seo,Young Joon Ahn 조선대학교 기초과학연구원 2017 조선자연과학논문집 Vol.10 No.1

기하학적 방법을 통한 이차곡선 접선의 작도에 관한 연구

허남구 한국과학영재교육학회 2014 과학영재교육 Vol.6 No.3

School mathematics emphasize that students express the quadratic curves as equation and manipulate it algebraically. Without geometrical learning, students are difficult to understand the geometrical property of quadratic curves. Many researchers suggest a geometric construction for students to explore the quadratic curves. But it is difficult to find a research concerning the geometrical method for teaching a tangent line of the quadratic curves. In this paper, we suggest a construction of tangent line of quadratic curves through geometric method. 고등학교 기하 영역에서 이차곡선은 중요하게 다루어지고 있다. 실제 교수∙학습 상황에서는 대수적인 방법과 해석적인 접근만을 통해 지도하고 있어 학생들은 기하학적 의미를 제대로 파악하지 못하고 있다. 이러한 문제를 극복하고자 기하학적 작도를 활용한 이차곡선을 지도하는 방법에 대한 연구가 활발히 이루어졌다. 하지만기하학적 작도를 활용하여 이차곡선의 접선을 작도하는 연구를 찾는 것은 쉽지 않다. 이 논문은 기하학적 작도를통하여 이차곡선의 접선을 작도하는 방법과 증명을 제시한다.

역동기하를 활용한 이차곡선의 접선 탐구와 문제해결

김현정,조민식 학습자중심교과교육학회 2023 학습자중심교과교육연구 Vol.23 No.1

Objectives The purpose of this study is to explore methods of effective teaching the tangent line of quadratic curves in a dynamic geometric environment. Methods The exploratory software GeoGebra was used as a dynamic geometric environment, and the activity worksheets for exploring the geometric properties of the tangent line to quadratic curves were developed. The changes in students’ perspective of geometry appeared were examined and their influences were analyzed. Results The results show that the dynamic geometric environment is significant as a means for students to think geometrically by intuitive observation and explore the inherent properties of the tangent line to quadratic curves. Teaching from the perspective of geometry made students change their views that they need to memorize formulas and be familiar with the types of problems to learn quadratic curves. There is a positive response about changes in students understanding the problem situations and leading the solving process. Conclusions The result of this study provides some useful implications to geometry education that harmonize perspectives of analytic geometry and synthetic geometry. 목적 본 연구의 목적은 해석기하적 계산에 치중된 이차곡선의 학습을 개선하기 위해 역동기하 환경을 활용하여 이차곡선의 접선지도방안을 모색하는 것이다. 방법 이를 위하여 고등학교 2학년 학생 4명을 대상으로 질적 사례 연구 방법을 적용하였다. 역동기하 소프트웨어 GeoGebra를활용하여 이차곡선의 접선이 가진 고유한 기하적 성질을 탐구할 수 있는 활동지를 개발하였고, 역동기하 환경에서 이차곡선을 학습할 때 나타나는 학생들의 기하적 관점의 변화와 기하적 관점에서의 이차곡선의 접선 탐구가 문제 해결에 미치는 긍정적인 영향을분석하였다. 결과 역동기하 환경은 직관적 관찰을 수월하게 하여 이차곡선을 기하적 대상으로 바라보는 관점의 변화를 이끌었다. 기하적 관점의변화는 이차곡선의 접선이 가진 고유의 성질을 광학적 성질과 연결하여 실생활 속 이차곡선의 원리를 수월하게 이해하게 하는 등학생들의 기하적 사고를 촉진하는 수단으로 유의미함을 확인하였다. 기하적 관점에서의 탐구는 공식을 암기하고 문제 유형을 연습하는 방식에서 벗어나 기하적 성질을 관찰하여 문제 상황을 이해하고 해결 과정을 이끌어 나가려는 긍정적인 변화를 가져왔다. 결론 본 연구의 결과는 전통적인 해석기하적 관점과 탐구 활동으로 촉진되는 기하적 관점의 조화를 이루는 이차곡선 지도방안에시사점을 줄 수 있을 것으로 사료된다.

Some Characterizations of Parabolas

Kim, Dong-Soo,Park, Jong Ho,Kim, Young Ho Department of Mathematics 2013 Kyungpook mathematical journal Vol.53 No.1

We study some properties of tangent lines of parabolas. As a result, we establish some characterizations of parabolas.

A CHARACTERIZATION OF CONIC SECTIONS

Kim, Dong-Soo,Kang, Seung-Hee The Honam Mathematical Society 2011 호남수학학술지 Vol.33 No.3

We study some properties of tangent lines of conic sections. As a result, we establish a characterization of conic sections.

A CHARACTERIZATION OF CONIC SECTIONS

김동수,강승희 호남수학회 2011 호남수학학술지 Vol.33 No.3

We study some properties of tangent lines of conic sections. As a result, we establish a characterization of conic sections.