<수학적 논증을 강조한 초등 수업 연구> -황지남(2022), 한국교원대학교 대학원 박사학위 논문-

황지남 한국수학교육학회 2022 뉴스레터 Vol.38 No.5

초등학교 5학년 학생들의 수학적 논증을 강조한 수업의 실제

황지남 한국수학교육학회 2023 初等 數學敎育 Vol.26 No.4

In this study, we designed and implemented a instruction emphasizing mathematical argument for fifth-grade students and analyzed the teaching practices. Through a literature review related to instruction emphasizing mathematical argument, we organized a teaching model of five phases that explain why the general claim that the sum of consecutive odd numbers equals a square number is true: 1) noticing patterns, 2) articulating conjectures, 3) representing through visual model, 4) arguing based on representation, 5) comparing and contrasting. Then, we analyzed the argumentation stream by phases to observe how the instruction emphasizing mathematical argument is implemented in the elementary classroom. Based on the results of this study, we discuss the implications of teaching a mathematical argument in elementary school.

초등수학영재의 수학적 정당화를 위한 칠교판 활용방안 연구

황지남 한국초등수학교육학회 2015 한국초등수학교육학회지 Vol.19 No.4

본 논문은 칠교판의 일곱 조각을 모두 사용하여 만들 수 있는 볼록다각형의 개수를 탐구 주제로 한다. 본 탐구 주제는 현재 두 가지 방법을 통해 증명이 되었다. 한 가지 방법은 피크의 정리(Pick's theorem)를 이용한 방법이고, 다른 한 가지는 和々草의 방법(2007)이다. 하지만 두 방법은 초등교육과정 수준을 벗어난 내용을 포함하고 있기 때문에 초등에서 다루기에는 무리가 있다. 이 논문에서는 초등수준에서 적용이 가능한 증명 방법인 단위넓이를 이용한 방법과 최소넓이를 이용한 방법을 대안으로 제시한다. 그리고 새롭게 제시한 증명 방법이 초등수학영재에게 실제 적용 가능한지를 알아보기 위해 총 4차시에 걸친 수업 프로그램을 구성하였고, 이를 A초등학교 5학년 학교단위 영재학급 학생 5명을 대상으로 적용하였다. 그 결과 5학년 초등수학영재 수준에서 칠교판으로 만들 수 있는 볼록다각형의 개수를 정당화하는 것은 가능함을 보였다. The inquiry subject of this paper is the number of convex polygons one can form by attaching the seven pieces of a tangram. This was identified by two mathematical proofs. One is by using Pick's Theorem and the other is 和々草's method, but they are difficult for elementary students because they are part of the middle school curriculum. This paper suggests new methods, by using unit area and the minimum area which can be applied at the elementary level. Development of programs for the mathematically gifted elementary students can be composed of 4 class times to see if they can prove it by using new methods. Five mathematically gifted 5th grade students, who belonged to the gifted class in an elementary school participated in this program. The research results showed that the students can justify the number of convex polygons by attaching edgewise seven pieces of tangrams.

초등수학영재를 위한 스핑크스 퍼즐 프로그램 개발과 적용사례

황지남 韓國英才學會 2017 영재교육연구 Vol.27 No.1

In terms of making more various geometrical figures than existing Tangram, Sphinx Puzzle has been used as a material for the gifted education. The main research subject of this paper is to verify how many convex polygons can be made by all pieces of a Sphinx Puzzle. There are several previous researches which dealt with this research subject, but they did not account for the clear reasons on the elementary level. In this thesis, I suggest using unit area and minimum area which can be proved on the elementary levels to account for this research subject. Also, I composed the program for the mathematically gifted elementary students, regarding the subject. I figured out whether they can make the mathematical justifications. I applied this program for three 6th grade students who are in the gifted class of the G district office of education. As a consequence, I found that it is possible for some mathematically gifted elementary students to justify that the number of convex polygons that can be made by a Sphinx Puzzle is at best 27 on elementary level. 스핑크스 퍼즐은 기존 칠교판에 비하여 수학적 도형을 다양하게 만들 수 있다는 점에서 영재교육의 소재로 활용되어 왔다. 본 연구에서는 스핑크스 퍼즐의 모든 조각을 사용하여 만들 수 있는 볼록다각형의 개수를 프로그램 탐구 과제로 삼는다. 이는 이전 연구에서 여러 차례 탐구 주제로 다루어져 왔으나, 현재 그 명확한 이유를 설명하지 못하고 있다. 이 논문에서는 초등영재 수준에서 증명이 가능한 최소넓이를 이용한 방법과 단위넓이를 이용한 방법을 새롭게 제안한다. 그리고 초등수학영재가 새로운 증명 방법으로 탐구 주제를 실제 정당화할 수 있는지 확인한다. 따라서 총 4차시 수업 프로그램을 구성하고 적용하였다. G교육지원청 영재교육원 6학년반 소속 학생 3명을 대상으로 수업 프로그램을 적용한 결과, 스핑크스 퍼즐로 만들 수 있는 볼록다각형이 27개임을 정당화하는 것은 가능함을 보였다.

논증 연구의 동향 분석: 국외의 수학교육 학술지를 중심으로

황지남,이유진 한국수학교육학회 2024 수학교육 Vol.63 No.1

본 연구는 논증 학습을 강조한 NCTM의 권고안이 발표된 2000년을 시점으로 2023년 9월까지 약 24년간 국외 주요 수학교육 학술지에 등재된 101편의 논문을 대상으로 연구 동향을 분석하였다. 먼저 논증 연구의 전반적인 추이를 살펴보았으며, 다음으로 대표적인 연구주제를 분석하였다. 연구 결과, 주 연구 대상은 학생이지만 교사에 초점을 둔 연구도 많이 이루어지고 있었다. 또한, 초등학교보다는 중등학교를 대상으로 연구가 이루어지고 있었으며, 수업 상황에서의 논증을 살펴본 연구가 많았다. 더불어 논증 연구가 국외에서 점점 주목받는 주제로 다루어지고 있음을 확인하였다. 논증 연구의 대표적인 연구주제로는 ‘교수 활동’, ‘논증 구조’, ‘증명’, ‘학생 이해’, ‘학생 추론’이 있었다. 이와 같은 연구 결과를 토대로 논증에 대한 관점을 형식적 측면, 맥락적 측면, 목적적 측면의 세 가지로 구분하여 제시하였다. 나아가 국내 수학교육에 적합한 논증의 의미와 역할에 대한 시사점을 제안하였다.

토픽모델링을 활용한 국내외 수학적 추론 연구의 동향 분석

황지남,방정숙 대한수학교육학회 2020 수학교육학연구 Vol.30 No.4

In order to understand the research trends in mathematical reasoning since 2000, this study analyzed 262 papers published in seven KCI journals and 381 papers published in five SSCI journals via topic modeling. The overall research topics were compared and contrasted between domestic journals and international journals. A more detailed analysis was conducted by considering different publication periods. The results showed that the main domestic research topics included, in order, geometry proof, mathematical justification, problem solving, pattern generalization, proportional reasoning, and statistical reasoning, whereas the main international research topics included, in order, proof and argument, teacher education, geometric reasoning, pattern generalization, problem solving, and statistical reasoning. The results of this study also showed that gifted students represented the most popular research target of domestic studies, while the process of mathematical reasoning was the main focus of international studies. This paper closes with implications on research targets including teachers, attention to the mathematical reasoning process, diversity of research topics, and new research topics that may guide future research on mathematical reasoning. 본 연구는 2000년부터 2020년 6월까지 수학적 추론 연구의 동향을 파악하기 위하여 국내 7종, 국외 5종의 수학교육 전문 학술지에 등재된 643편의 논문을 대상으로 토픽모델링을 활용하였다. 먼저 전반적인 국내외 연구주제를 비교하고, 이후 시기별로 연구주제를 분석하였다. 연구 결과, 국내 연구주제는 기하증명, 정당화, 문제해결, 패턴 일반화, 비례 추론, 통계적 추론 순으로 나타났고, 국외 연구주제는 증명과 논증, 교사 교육, 기하 추론, 패턴 일반화, 문제해결, 통계적 추론 순으로 나타났다. 국내의 경우 영재 학생을 대상으로 하는 연구가 많고, 교사를 대상으로 하는 연구는 부족하였다. 국외의 경우는 수학적 추론의 과정에 중점을 둔 연구가 상대적으로 많은 것으로 나타났다. 이와 같은 연구 결과를 토대로, 연구대상의 확장, 수학적 추론의 과정에 대한 관심, 연구주제의 다변화, 최근에 새롭게 등장하는 연구주제 등과 관련하여 시사점을 제시하였다.

수학교육에서 논의하는 논증의 의미에 대하여

황지남(JiNam Hwang),홍진곤(JinKon Hong) 수학교육철학연구회 2024 수학교육철학연구 Vol.6 No.1

이 글에서는 수학교육에서 논의하는 논증의 의미를 크게 형식적, 맥락적, 목적적 관점으로 구분하여 살펴보았다. 국내외 수학교육 학술지에 등재된 논증 관련 논문을 세 가지 관점으로 살펴본 결과, 먼저 형식적 관점에서는 증명과 같은 연역적인 사고만을 논증으로 바라보는지, 연역 이외의 귀납적인 사고까지 논증으로 포함하는지, 직관, 권위, 대중적 합의와 같은 비형식적인 사고까지 논증으로 간주하는지에 따라 논증의 형식에 차이가 있었다. 다음으로 맥락적 관점에서는 논증의 주체가 개인에 국한된 것인지, 집단 내 상호작용을 통해 구성되는 것인지, 규범 및 관습에 영향을 받는 것인지에 따라 논증의 의미에 차이가 있었다. 마지막으로 목적적 관점에서는 전통적으로 논증은 설득에 목적을 두고 있지만, 최근에는 설득과 구분되는 개념으로 탐구에 목적을 둔 연구가 이루어지고 있었다. 이 연구에서는 논증을 바라보는 세 관점을 바탕으로 우리나라 교육과정에 참고가 될만한 논증의 의미를 구체적으로 논의하였다. In this paper, we examined argumentation in mathematics education from three main perspectives: formal, contextual, and purposeful. First, from a formal perspective, argumentation can be categorized into (a) proof, which relies on deductive thinking; (b) reasoning, which involves inductive thinking; and (c) informal thinking, which encompasses authority, perception, and popular consensus. Second, from a contextual perspective, the meaning of argumentation varied depending on whether it was personally constructed, embodied in social interactions, or culturally influenced. Third, from a purposeful perspective, argumentation is typically aimed at persuasion, but in recent years, research has focused on exploration as a distinct concept from persuasion. Based on the three perspectives of argumentation, this study specifically discussed the meaning of argumentation that can be referenced in mathematics curriculum.

정사각형 칠교판으로 만들 수 없는 볼록다각형에 대한 고찰

황지남(JiNam Hwang) 학습자중심교과교육학회 2023 학습자중심교과교육연구 Vol.23 No.20

목적 칠교판의 모든 조각을 사용하여 만들 수 있는 볼록다각형은 최대 20개라고 알려져 있지만, 이는 칠교판이 정사각형 모양을 분할하여 만든 퍼즐이라는 전제가 생략된 명제이다. 본 연구에서는 칠교판으로 만들 수 있다고 알려진 20개의 볼록다각형 중에서 실제로는 만들 수 없다고 여겨지는 한 볼록다각형에 대해 탐색한다. 그리고 칠교판으로 해당 볼록다각형을 정말 만들 수 없는지 증명한다. 방법 칠교판으로 해당 볼록다각형을 만들 수 없다는 가정하에 증명을 시도한다. 증명은 정사각형 모양에 칠교 조각을 배치하는 방법에 따라 두 가지 방법으로 진행한다. 결과 넓이가 가장 큰 칠교 조각을 우선 배치하는 방법과 정사각형의 한 각과 그 대각에 칠교 조각을 우선 배치하는 두 가지 방법으로 확인한 결과, 해당 볼록다각형은 칠교판으로 만들 수 없다는 사실을 증명하였다. 결론 본 연구는 칠교판의 모든 조각을 사용하여 만들 수 있는 볼록다각형 과제에서 모호하게 기술되어왔던 볼록다각형의 개수에 대한 수학적인 근거를 마련했다는 점에서 의의가 있다. Objectives It is known that at most 20 convex polygons can be formed using all seven pieces of the puzzle, but this limit is imposed by the omission of the premise that the puzzle is a square divided into seven pieces. This study analyzes a convex polygon that is conjectured to be impossible to create using the puzzle and then uses the puzzle to prove that it cannot actually be constructed as the convex polygon. Methods The proof is based on the assumption that the given convex polygon cannot be formed using sev-en-piece puzzles. It proceeds in two different ways, depending on how the pieces are arranged within the square shape. Results We accomplished this in two ways: either by placing in the pieces having the largest area or by initially arranging the pieces on an angle and the diagonal of a square. Consequently, we have proved that the convex poly-gon cannot be formed by seven-piece puzzles. Conclusions The actual number of convex polygons that can be formed by seven-piece puzzles was 19, not 20. This study is significant because it provides a corollary for the number of convex polygons that can be constructed using all the pieces of the puzzle.

The Trends and Highlights of Mathematics Textbook Research in Korea via Topic Modelling

방정숙,황지남 대한수학교육학회 2023 수학교육학연구 Vol.33 No.3

The purpose of this study was to analyze the overall trends of mathematics textbook research in Korea. For this purpose, we collected 455 research articles on mathematics textbooks from all the articles published in seven domestic professional journals of mathematics education. We used topic modelling based on latent Dirichlet allocation algorithms to extract topics that reflected not only overall trends but also the trends by each curriculum revision period, including the top 10 words and three representative papers that best indicated each topic. The most frequent topic that appeared across almost all curriculum periods was concept and term, which focused on specific concepts and their definitions, examples, and representations used in textbooks. Another topic, comparing textbooks, was also popular, recently including more foreign textbooks. Topics such as storytelling and mathematical competency were emergent in a specific curriculum period, indicating the close relationship between textbook research and curriculum revisions. Based on these findings, this paper concludes by sharing several implications for future mathematics textbook research in Korea, discussing which topics continue to be studied and in what directions, as well as which topics need to expanded and why.

초등학교 5~6학년군 수학 교과서 분석을 통한 등호의 관계적 이해 탐색

이유진,황지남 한국초등수학교육학회 2023 한국초등수학교육학회지 Vol.27 No.4

This study analyzed the number and operations tasks presented in 10 different 5th and 6th grade mathematics textbooks, focusing on task types and equation structures that can emphasize the relational understanding of equation, and derived overall trends and characteristics of tasks that can emphasize the relational understanding of equal sign. The results of this study showed that ‘equation reasoning’ tasks were scarce in the 5th and 6th grade textbooks compared to ‘equal sign meaning’ and ‘equation solving’ task types, and that equations with a=b+c, a=b, and a+b=c+d structures were used very rarely. In particular, equations with a=b+c and a=b structures were concentrated in certain units, and equations with a+b=c+d structures were rarely used. Based on the results of the analysis, we discussed implications for implementing tasks that emphasize relational understanding of equal sign.