Fibonacci lacunary statistical convergence in intuitionistic fuzzy $n$-normed linear spaces

Omer Kisi,Ibrahim Tuzcuoglu 원광대학교 기초자연과학연구소 2020 ANNALS OF FUZZY MATHEMATICS AND INFORMATICS Vol.20 No.3

In the current paper, we investigate the concept of Fibonacci lacunary statistical convergence in intuitionistic fuzzy $n$-normed linear spaces which removes any ambiguity that could arise from the previously defined notion of the same. Some inclusion relations between the sets of Fibonacci statistically convergent and Fibonacci lacunary statistically convergent sequences are examined in an intuitionistic fuzzy $n$-normed linear space. We also define Fibonacci lacunary statistical Cauchy sequence in an intuitionistic fuzzy $n$-normed linear space and prove that it is equivalent to Fibonacci lacunary statistically convergent sequence.

A NOTE ON THE MODIFIED k-FIBONACCI-LIKE SEQUENCE

Kwon, Youngwoo Korean Mathematical Society 2016 대한수학회논문집 Vol.31 No.1

The Fibonacci sequence is a sequence of numbers that has been studied for hundreds of years. In this paper, we introduce the modified k-Fibonacci-like sequence and prove Binet's formula for this sequence and then use it to introduce and prove the Catalan, Cassini, and d'Ocagne identities for the modified k-Fibonacci-like sequence. Also, the ordinary generating function of this sequence is stated.

The digital root function for Fibonacci-type sequences

K. T. Atanassov,A.G. Shannon 장전수학회 2011 Advanced Studies in Contemporary Mathematics Vol.21 No.3

The base of digit roots of elements of a sequence of numbers is defined, with examples given for the Fibonacci, Lucas, Lucas-Lehmer and Euler sequences. The theory is then applied to extensions of the Pell-Padovan and Tribonacci sequences.

(±1)-INVARIANT SEQUENCES AND TRUNCATED FIBONACCI SEQUENCES OF THE SECOND KIND

CHOI GYOUNG-SIK,HWANG SUK-GEUN,KIM IK-PYO Korean Mathematical Society 2005 대한수학회지 Vol.42 No.4

In this paper we present another characterization of (${\pm}1$)-invariant sequences. We also introduce truncated Fibonacci and Lucas sequences of the second kind and show that a sequence $x\;{\in}\;R^{\infty}$ is (-1)-invariant(l-invariant resp.) if and only if $D[_x^0]$ is perpendicular to every truncated Fibonacci(truncated Lucas resp.) sequence of the second kind where $$D=diag((-1)^0,\; (-1)^1,\;(-1)^2,{\ldots})$$.

황금분할과 피보나치수열을 활용한 초등음악과 ‘음악 만들기’ 활동 수업자료 개발

곽현규 한국음악교육공학회 2017 음악교육공학 Vol.- No.32

2015 개정 초등 음악과 교육과정에서 제시한 6개의 역량 중 음악적 창의․융합 사고 역량은 음악 분야의 전문 지식과 소양을 토대로 새롭고 독창적인 아이디어를 산출해 내고, 자신이 학습하거나 경험한 음악 정보들을 다양한 현상에 융합적으로 활용할 수 있는 역량을 말한다. 이러한 역량을 키워주기 위해서는 새로운 교수ㆍ학습 방법뿐만 아니라 수업자료가 개발되어야 한다. 따라서 본 연구에서는 초등 음악과 ‘표현’ 영역 중 음악 만들기 활동에 적용하기 위해 황금분할과 피보나치수열을 활용한 수업자료를 개발하였다. 이를 위해 이론적 배경에서는 음악과 수학의 관련성을 살펴보았으며 황금분할과 피보나치수열을 활용한 음악의 예를 제시하였다. 수학적 개념을 적용한 음악 만들기 수업자료 개발은 음악학습에 흥미와 자신감을 잃은 학생들이 보다 쉽게 접근할 수 있도록 돕고, 음악 만들기 수업 활동을 지도하는데 어려움을 느끼고 있는 교사들에게는 조금이나마 해법의 대안이 되길 바란다. Among 6 capabilities suggested in the 2015 revised elementary school music curriculum, musical creativityㆍconvergence thinking capability means the capability to make new and creative idea based on specialized knowledge and refinement in music field and to utilize musical information learnt or experienced by oneself in a convergent manner on various phenomena. It is required to develop not only new teachingㆍlearning method but also teaching materials in order to foster such capability. Therefore, this study developed teaching materials using Fibonacci sequence in order to apply to “music making activities“ in the 'expression' field of the elementary school music curriculum. For this, investigation of relationships between music and mathematics was conducted from the aspect of theoretical background and examples of music were suggested using Golden section and Fibonacci sequence. It is expected that development of music making activities teaching materials to which mathematical conception was applied will be helpful for students without interest and confidence in music study to easily approach the study and also will be a small alternative to teachers who feel burden of guiding music making activities.

일반화된 피보나치수열의 탐구를 위한 예비중등교사용 교수단원의 설계

김진환,박교식 대한수학교육학회 2009 학교수학 Vol.11 No.2

In this paper, we have designed a teaching unit for the learning mathematising of secondary pre-service teachers by exploring generalized fibonacci sequences. First, we have found useful formulas for general terms of generalized fibonacci sequences which are expressed as combinatoric notations. Second, by using these formulas and CAS graphing calculator, we can help secondary pre-service teachers to conjecture and discuss the limit of the sequence given by the rations of two adjacent terms of an m-step fibonacci sequence. These processes can remind secondary pre-service teachers of a series of some mathematical principles. 이 연구에서는 예비중등교사들이 수학화를 실제적으로 경험하도록 일반화된 피보나치수열의 일반항을 구하는데 유용한 공식을 찾고, 연속하는 두 항의 비율에 대한 극한을 탐구하는 교수단원을 설계한다. 예비중등교사들은 이 교수단원을 통해 자연수 n의형 k-분할의 수(n, m; k)를 조합으로 표현하는 과정을 탐구함으로써 일반화된 피보나치수열의 각 항을 구하는 공식을 찾을 수 있다. 이러한 공식을 CAS형 그래핑 계산기에 직접 넣어 구체적인 피보나치수를 구할 수 있고, 일반화된 피보나치수열의 연속하는 두 항의 비율로 얻어지는 수열이 수렴한다는 추측을 할 수 있게 해 준다. 이러한 사실을 바탕으로 일반형의 피보나치수열의 연속하는 항의 비율로 만든 수열의 극한에 대해 논한다. 이 교수단원을 통해 예비중등교사들은 중복조합, 조합, 포함과 배제의 원리, 연속함수의 중간값의 정리, 이차방정식 및 삼차방정식의 해법을 되새기고 이를 활용하여 수학을 발명하는 경험을 할 수 있다.

공간 차원에 관한 시각적 패턴 연구

김민석(Kim, Min-Suk),김개천(Kim, Kai-Chun) 한국실내디자인학회 2014 한국실내디자인학회논문집 Vol.23 No.1

This study intended arousal of other viewpoints that deal with and understand spaces and shapes, by describing the concept of ‘dimensions’ into visual patterns. Above all, the core concept of spatial dimensions was defined as ‘expandability’. Then, first, the ‘golden ratio’, ‘Fibonacci sequence’, and ‘fractal theory’ were defined as elements of each dimension by stage. Second, a ‘unit cell’ of one dimension as ‘minimum unit particles’ was set. Next, Fibonacci sequence was set as an extended concept into two dimensions. Expansion into three dimensions was applied to the concept of ‘self-similarity repetition’ of ‘Fractal’. In ‘fractal dimension’, the concept of ‘regularity of irregularity’ was set as a core attribute. Plus, Platonic solids were applied as a background concept of the setting of the ‘unit cell’ from the viewpoint of ‘minimum unit particles’. Third, while ‘characteristic patterns’ which are shown in the courses of ‘expansion’ of each dimension were embodied for the visual expression forms of dimensions, expansion forms of dimensions are based on the premise of volume, directional nature, and concept of axes. Expressed shapes of each dimension are shown into visually diverse patterns and unexpected formative aspects, along with the expression of relative blank spaces originated from dualism. On the basis of these results, the ‘unit cell’ that is set as a concept of theoretical factor can be defined as a minimum factor of a basic algorism caused by other purpose. In here, by applying diverse pattern types, the fact that meaning spaces, shapes, and dimensions can be extracted was suggested.

수학적 추론과 연결성의 교수 · 학습을 위한 소재 연구 - 도형수, 파스칼 삼각형, 피보나치 수열을 중심으로-

손홍찬 대한수학교육학회 2010 학교수학 Vol.12 No.4

In this paper, we listed and reviewed some properties on polygonal numbers, pyramidal numbers and Pascal's triangle, and Fibonacci sequence. We discussed that the properties of gnomonic numbers, polygonal num- bers and pyramidal numbers are explained integratively by introducing the generalized k-dimensional pyra-midal numbers. And we also discussed that the properties of those numbers and relationships among generalized k-dimensional pyramidal numbers, Pas- cal's triangle and Fibonacci sequence are suitable for teaching and learning of mathematical reasoning and connections. 본 고에서는 평면이나 공간에서 정의된 도형수가 일반적으로 유한 차원에서 일반화될 때 저차원의 도형수인 그노몬수, 다각수 그리고 다각뿔수의 성질을 통합적으로 설명할 수 있음을 논하고, 도형수와 파스칼 삼각형, 피보나치 수열의 성질과 그들 사이의 관계를 알아봄으로써 이들에 대한 성질 탐구가 수학적 추론과 연결성을 지도하기 적합한 소재가 될 수 있음을 논한다.

점화식 a_n = a_(n-1) + a_(n-3), a_1 = a_2 = a_3 =1의 일반항에 대하여

노문기 ( Moon Chi Roh ),정재훈 ( Jae Hoon Jung ),강정기 ( Jeong Gi Kang ) 한국수학교육학회 2013 수학교육논문집 Vol.27 No.4

교사 위주의 수업보다 학생 중심의 탐구 활동이 지속적으로 강조되고 있지만, 이를 실행하기란 쉽지 않은 것이 현실이다. 학생들의 지적 호기심은 주관적이며, 지적 호기심을 충족해주는 것은 교육 과정에 충실한 교육 못지않게 중요하다. 본 연구는 문제를 해결하는 과정에서 얻은 수열로부터 시작되었다. 이 수열은 점화식 a_n = a_(n-1) + a_(n-3) (n≥ 4),a_1 = a_2 = a_3 =1으로 표현되었는데, 우리는 이 수열의 일반항을 찾아보고자 시도하였다. 주어진 문제의 점화식은 피보나치 수열의 점화식과 형태는 비슷해 보이지만 일반항을 구하는 과정은 결코 비슷하지 만은 않았다. 각고의 노력 끝에 우리는 같지만 서로 다르게 표현되는 두 개의 아름다운 일반항을 얻을 수 있었다. 본 연구와같은 탐구과정이 교육 현장에 활력을 불어 넣는 데 일조할 수 있기를 기대한다. It is important to make students do research for oneself. But the practice of inquiry activity is not easy in the mathematics education field. Intellectual curiosities of students are unpredictable. It is important to meet intellectual curiosities of students. We could get a sequence in the process solving a problem. This sequence was expressed in a form of the recurrence relation a_n = a_(n-1) + a_(n-3) (n≥ 4),a_1 = a_2 = a_3 =1. We tried to look for the general terms of this sequence. This sequence is similar to Fibonacci sequence, but the process finding the general terms is never similar to Fibonacci sequence. We can get two general terms expressed in different form after our a great deal of effort. We hope that this study will give the spot of education energy.

GENERALIZED PADOVAN SEQUENCES

Bravo, Jhon J.,Herrera, Jose L. Korean Mathematical Society 2022 대한수학회논문집 Vol.37 No.4

The Padovan sequence is the third-order linear recurrence (𝓟_n)_n≥0 defined by 𝓟_n = 𝓟_n-2 + 𝓟_n-3 for all n ≥ 3 with initial conditions 𝓟₀ = 0 and 𝓟₁ = 𝓟₂ = 1. In this paper, we investigate a generalization of the Padovan sequence called the k-generalized Padovan sequence which is generated by a linear recurrence sequence of order k ≥ 3. We present recurrence relations, the generalized Binet formula and different arithmetic properties for the above family of sequences.