베이즈 추정량에 기초한 베르누이 GLR 관리도

한성원(Sung Won Han),이재헌(Jaeheon Lee),박종태(Jongtae Park) 한국데이터정보과학회 2018 한국데이터정보과학회지 Vol.29 No.1

베르누이 GLR (generalized likelihood ratio) 관리도는 불량률이 p인 베르누이분포를 따르는 공정에 대해 다양한 불량률의 변화를 효과적으로 탐지할 수 있다고 알려져 있다. 또한 GLR 관리도는 다른 관리도와 다르게 매시점마다 불량률을 추정하여 관리통계량을 계산하는 특징이 있다. Huang 등 (2013)이 제안한 베르누이 GLR 관리도 절차는 최대우도법을 사용하여 불량률을 추정하는데, 추정값이 1이 되는 경우 관리통계량이 정의되지 않기 때문에 이를 방지하기 위해서 추정량의 상한값을 설정해야 하는 제약이 있다. 또한 이로 인하여 추정값이 상한값을 넘지 못한다는 단점이 발생한다. 이 논문에서는 이와 같이 추정량의 상한값을 설정하고 최대우도 추정량을 사용하는 것 대신 베이즈 추정량을 사용한 베르누이 GLR 관리도 절차를 제안하였다. 모의실험을 통해 최대우도 추정량를 사용한 기존의 절차와 베이즈 추정량을 사용한 제안된 절차의 성능을 평균 런길이를 이용하여 비교하였다. 그 결과 불량률이 설정한 추정량의 상한값과 유사하게 변화하는 경우에는 최대우도 추정량을 사용하는 절차가 효율적이었지만, 그 외의 경우에는 베이즈 추정량를 사용하는 절차가 더 효율적임을 알 수 있었다. It is known that the overall performance of Bernoulli GLR (generalized likelihood ratio) chart is better when we monitor the proportion p of nonconforming items. The GLR chart has the advantage that the value of control parameter does not need to be specified unlike CUSUM or EWMA charts, and it can be estimated from the process data. In the Bernoulli GLR chart proposed in Huang et al. (2013), there is a possibility that the MLE (maximum likelihood estimator) of p becomes 1, which would lead to an undefined Bernoulli GLR statistic. Thus, they put an upper bound on the MLE of p so that the estimate can not be 1. However, this restriction can make the performance of the GLR chart worse. In this paper, we proposed a Bernoulli GLR chart based on Bayes estimator to avoid such a restriction. We compared the performance of the proposed GLR chart based on Bayes estimator with the GLR chart based on the MLE by using ARL (average run length). Simulation results showed that the performance of the GLR chart based on Bayes estimator depends on the parameters of prior distribution, and is generally better than the GLR chart based on the MLE when the actual shift that occurs is not close to the specified upper bound.

손해보험 위험도 추정에 대한 베이즈 위험 비교 연구

김명준,우호영,김영화,Kim, Myung Joon,Woo, Ho Young,Kim, Yeong-Hwa 한국통계학회 2014 응용통계연구 Vol.27 No.6

잘 알려져 있는 것처럼 일반적인 베이즈 추정량(Bayes estimator)과 경험적 베이즈 추정량(empirical Bayes estimator)은 모수를 추정하는데 있어서 오차를 과다축소하는 단점을 가지고 있다. 따라서 이러한 단점을 극복하기 위하여 constrained 베이즈 추정량이 일차 적률과 이차 적률을 일치시키는 성질을 만족시키며 제안되었다. 또한 평균 제곱오차 함수와 같은 전통적인 손실함수에서는 추정의 정확성만을 고려하는 특징을 가지고 있기 때문에, 추정의 정확성과 정합성을 동시에 고려하는 균형 손실함수가 제안되었다. 이러한 이유로 인하여 균형손실 함수하에서의 제한적 베이즈 추정량의 활용이 손해 보험의 가격 산출에 제안되는 것은 타당하다. 그러나 대부분의 연구는 추정의 문제에만 집중하는 경향이 있으며. 이는 새롭게 제안되는 특정 손실함수하에서의 constrained 베이즈 추정량과 constrained empirical 베이즈 추정량의 베이즈 위험의 계산이 어렵다는 점에서 기인한다. 본 연구에서는 다양한 베이즈 추정량들에 대한 베이즈 위험을 서로 다른 두 손실함수하에서 비교하였으며, 그 대상은 자동차 보험 산업에서의 위험도 추정 분야이다. 또한 자동차 보험 산업의 실제 사고 데이터를 이용하여 새롭게 제안된 베이즈 추정량의 베이즈 위험을 비교함으로써 그 효용성을 입증하였다. Well-known Bayes and empirical Bayes estimators have a disadvantage in respecting to overshink the parameter estimator error; therefore, a constrained Bayes estimator is suggested by matching the first two moments. Also traditional loss function such as mean square error loss function only considers the precision of estimation and to consider both precision and goodness of fit, balanced loss function is suggested. With these reasons, constrained Bayes estimators under balanced loss function is recommended for non-life insurance pricing.; however, most studies focus on the performance of estimation since Bayes risk of newly suggested estimators such as constrained Bayes and constrained empirical Bayes estimators under specific loss function is difficult to derive. This study compares the Bayes risk of several Bayes estimators under two different loss functions for estimating the risk in the auto insurance business and indicates the effectiveness of the newly suggested Bayes estimators with regards to Bayes risk perspective through auto insurance real data analysis.

기하분포에 기초한 관리도에서 베이즈추정량과 최대우도추정량 사용의 성능 비교

홍휘주,이재헌,Hong, Hwiju,Lee, Jaeheon 한국통계학회 2015 응용통계연구 Vol.28 No.5

기하분포에 기초한 관리도는 불량품이 드물게 발생하는 고품질공정에서 불량률의 변화를 효율적으로 탐지할 수 있다고 알려져 있다. 이러한 관리도를 사용할 때 기본적인 가정은 관리상태일 때의 불량률이 알려져 있거나 또는 정확하게 추정되었다는 것이다. 그러나 고품질공정에서 불량률은 아주 작기 때문에 이를 정확하게 추정하기가 쉽지 않으며 또한 아주 큰 표본크기가 필요한 경우도 종종 발생한다. 일반적으로 제1국면에서 관리상태의 불량률을 추정할 때 최대우도추정량을 사용하지만, 이 논문에서는 베이즈추정량의 사용을 제안하였다. 베이즈추정량을 사용할 경우 실무자의 사전지식을 반영할 수 있으며 표본에 불량품이 발견되지 않을 경우 발생하는 최대우도추정량의 문제점을 해결할 수 있다는 장점이 있다. 기하 관리도와 기하누적합 관리도에서 베이즈추정량을 사용한 경우와 최대우도추정량을 사용한 경우를 비교한 결과, 표본의 크기가 크지 않은 경우 베이즈추정량을 사용하는 것의 효율이 더 좋음을 알 수 있었다. Charts based on geometric distribution are effective to monitor the proportion of nonconforming items in high-quality processes where the in-control proportion nonconforming is low. The implementation of this chart is often based on the assumption that in-control proportion nonconforming is known or accurately estimated. However, accurate parameter estimation is very difficult and may require a larger sample size than that available in practice for high-quality process where the proportion of nonconforming items is very small. An inaccurate estimate of the parameter can result in estimated control limits that cause unreliability in the monitoring process. The maximum likelihood estimator (MLE) is often used to estimate in-control proportion nonconforming. In this paper, we recommend a Bayes estimator for the in-control proportion nonconforming to incorporate practitioner knowledge and avoid estimation issues when no nonconforming items are observed in the Phase I sample. The effects of parameter estimation on the geometric chart and the geometric CUSUM chart are considered when the MLE and the Bayes estimator are used. The results show that chart performance with estimated control limits based on the Bayes estimator is generally better than that based on the MLE.

일반화된 조정 점진적 복합 중도절단에서 와이블 분포의 추론

이경준(Kyeongjun Lee),이채원(Chaewon Lee),조혜준(Hyejun Cho),최정우(Jeongwoo Choi) 한국데이터정보과학회 2020 한국데이터정보과학회지 Vol.31 No.6

점진적 중도절단 (progressive censoring) 방법은 생존 실험과 관련된 연구에서 많이 사용되는 방법이다. 하지만 점진적 중도절단 방법에서 m번째 사망 시점이 일어날 때까지 많은 시간이 소요될 수 있으므로 이러한 단점을 보완한 방법으로 조정 점진적 중도절단(adaptive progressive censoring) 방법이 소개되었다. 하지만 이 방법 역시 m번째 사망이 일어날 때까지 많은 시간이 소요될 수 있다는 단점이 존재하여 최근 일반화된 조정 점진적 복합 중도절단 방법을 제안되었다. 본 논문은 일반화된 조정 점진적 복합 중도절단 방법 상황에서 와이블 분포 (Weibull distribution)의 모수들을 추정하였다. 이를 위해 최대우도추정량 (maximumm likelihood estimator)과 베이즈 추정량 (Bayes estimator)을 이용하여 일반화된 조정 점진적 복합 중도절단 방법에서 와이블 분포의 모수들을 추정하였고, 정규근사와 로그변환된 정규근사를 이용하여 구간추정을 실시하였다. 또한, 다양한 일반화된 조정 점진적 복합 중도절단 상황에서 몬테카를로 모의실험을 실시하여 평균제곱오차 및 편의를 이용하여 제안한 추정량들을 비교하였고, 사례 자료를 이용하여 제안한 추정량들을 계산하였다. Recently, progressive censoring have become quite popular in a life-testing analysis, However, the drawback of the progressive censoring is that it might take a very long time in order to complete the life test. Therefore, adaptive progressive hybrid censoring is proposed However the drawback of the adaptive progressive hybrid censoring is also that it might take a very long time in order to complete the life test. In this reason, generalized adaptive progressive hybrid censoring is proposed. In this paper, we derive the inference of the unknown parameters for Weibull distribution under generalized adaptive progressive hybrid censoring. We obtain the maximum likelihood estimators of the unknown parameters. Asymptotic confidence intervals are also proposed. Bayes estimators of the unknown parameters are obtained under the assumption of gamma priors on the unknown parameters. Different methods are compared using Monte Carlo simulations. One real data set is analyzed for illustrative purposes.

다중 점진적 중도절단의 경쟁적 위험 상황에서의 추론

이경준(Kyeongjun Lee),강한세(Hanse Kang),정소윤(Soyun Jeong),홍준기(Junki Hong) 한국데이터정보과학회 2021 한국데이터정보과학회지 Vol.32 No.6

일반적으로 신뢰성 시험에서 모든 자료는 하나의 위험 요인에 의해서 결정되지 않는다. 또한, 모든 자료가 제대로 관측되어 기록되지 않을 가능성이 매우 높다. 이러한 중도절단 상황 중 점진적 중도절단 (progressive censoring scheme)을 최근 연구에서 많이 고려하고 있다. 하지만 점진적 중도절단 상황에서 관측되는 시점의 자료들 사이에는 관측원의 실수 혹은 관측 기계의 오류로 인하여 또 다른 중도절단이 발생할 수 있다. 이에 다중 점진적 중도절단 (multiply progressive censoring scheme)을 새롭게 제안되었다. 따라서 본 연구는 다중 점진적 중도절단의 경쟁적 위험 모형에서 지수 분포의 모수를 최대우도추정량 및 좌우 대칭인 손실함수 (squared error loss function, SELF)와 좌우 비대칭인 손실함수 (precautionary loss function, PrL; DeGroot loss function, DeL)를 이용한 베이즈 추정량을 구하였다. 또한, 베이즈 추정량 계산을 위해 Lindley의 근사 방법을 사용하였다. 그리고 제안된 추정량들을 비교하기 위하여 평균제곱 오차와 편의를 이용하였다. In lifetime data analysis, it is generally known that more than one cause or risk factor may be present at the same time. Also, generally, it is known that the lifetimes of test items may not be recorded exactly. Recently, progressive censoring schemes have become quite popular in a lifetime data analysis. But, there are many situation in life testing experiments in which units are lost or removed from experimentation before failure. In this reason, multiply progressive censoring scheme was introduced. Therefore, in this paper, we derive the maximum likelihood estimators and Bayes estimators of parameters for competing risks exponential data under multiply progressive censoring scheme. The Bayes estimators of parameters for the competing risks exponential distribution with multiply progressive censoring under the squared error loss function (SELF), precautionary loss function (PrL) and DeGroot loss function (DeL) are provided. Lindley’s approximate method is used to compute Bayes estimators. To know the performance of proposed estimators of parameters for competing risks exponentlai data under multiply progressive censoring scheme, a numerical study is conducted.

2×2×K 분할표에서의 동질성 검정

김동욱,장지연 성균관대학교 응용통계연구소 2003 통계연구 Vol.11 No.-

사례연구를 위한 역학 자료는 종종 2×2×K 분할표로 요약된다. 자료의 희박도(sparseness)는 층의 개수 K와 주변합 {n_(i+k), i=1,2, k=1,...,K}에 의존한다. 이 논문에서는 희박자료 상황에서, 층의 개수와 주변합을 늘려가며 7가지 동질성 검정 통계량의 검정력을 살펴볼 것이다. 또한 유사 베이즈(pseudo-Bayes) 추정량을 이용한 평활화 방법들을 제시하며, 이러한 방법을 사용하여 동질성 검정을 실시할 것이다. 균형설계에서는 원자료를 이용한 조건부 점수(CS)통계량과 CS, 우도비검정(LRT)을 부분연관 모형으로 평활화한 경우에 검정력이 높다. 하지만 불균형 설계에서는 대부분의 경우에 있어서 LRT 통계량을 부분연관 방향으로 평활화한 방법의 검정력이 희박자료인 경우에 좋다고 알려진 T_(4)와 T_(5)뿐만 아니라 다른 검정통계량들 보다도 더 좋은 검정력을 보인다. Epidemiologic data for case-control studies are often summarized into 2×2×K tables. The degree of sparseness in the data depends on the number of strata K and margins n_(i+k), i=1,2, k=1,...,IK} this paper, we investigate the effect of increasing stratification and margins on the power of seven tests of homogeneity of the odds ratio. We are also interested in the effect of modification of cell counts using pseudo-Bayes estimators. Especially, we focus on the sparse data. In balanced designs, CS test without a modification, CS test and the likelihood ratio test with smoothing toward partial association model show equivalently good performances. In unbalanced designs, however, the likelihood ratio test with smoothing toward partial association model outperforms the other test in terms of the power of the tests including T_(4) and T_(5) statistics, which are known to perform well on the sparse data.

출구조사자료의 베이지안 분석방법에 대한 연구

황형태,방미진 한국자료분석학회 2009 Journal of the Korean Data Analysis Society Vol.11 No.4

Exit poll is generally used to forecast the election results. In this work, we consider a Bayesian approach to the model for exit poll data. First of all, a simple model for exit poll data is supposed to derive the Bayes estimator of concerned parameter, and the performance of Bayes estimator is compared to the one of the maximum likelihood estimator by means of mean squared errors. Finally, the simple model is extended to the more generalized model. Under the proposed model, The value of the Bayes estimator is found out to represent the posterior probability of winning of concerned candidate. As a results of this work, we find that the Bayes estimator has better performance than the maximum likelihood estimator, especially in the cases of intense competitions. 각종 선거에서 투표당일에 각 방송사에서 실시하고 있는 출구조사는 시청자들의 궁금증을 이른 시간에 해소해줄 수 있는 통계조사방법이지만 그 동안의 출구조사결과는 실망스러운 경우가 적지 않았다. 이런 이유로 최근에 주로 출구조사의 계획 및 진행상의 문제에 대하여 초점을 두고 출구조사 오류의 원인분석 및 개선방향에 대한 다양한 연구가 수행되어 왔는데, 이 연구에서는 자료의 분석방법에 초점을 두고 조사자료의 분석을 기존의 빈도론적 관점이 아닌 베이지안 관점에서 수행하는 베이지안 분석방법을 제안하였다. 먼저 기존 방법과 비교분석이 용이한 단순모형을 설정하여 베이즈추정량을 유도하고, 그 결과를 평균제곱오차의 척도로 기존의 방법과 비교하여 보았으며, 이를 일반화된 모형으로 확장하였다. 단순모형에서 베이즈추정량과 최우추정량의 성능을 비교검토해 본 결과, 이 논문에서 제안한 베이즈추정량이 전반적으로 기존의 최우추정량보다 우수한 평균제곱오차를 보였으며, 그 차이는 특히 후보자들 간의 득표율 차이가 작은 경합지역일수록 커지는 것으로 나타났다.

Time series & Cross sectional 모형 기반 소지역 추정 사례연구

김서영,권순필 통계청 2010 통계연구 Vol.15 No.1

In this study we proposed the method of small area estimation base on the time series and cross sectional(TSCS) model using Hierarchical bayes estimator. The TSCS model is good for successive survey data because we used a cross sectional information. In this study we used Markov Chain Monte Carlo simulation for HB estimator. For the unemployment we applied TSCS model based HB estimator using Korean Economically active population survey data. Finally we compared this estimates to Fay-Herriot model based HB estimates and evaluated the performance of TSCS model based HB estimator. 본 연구는 Time series & cross sectional(TSCS) 모형에 기반한 계층적 베이즈(Hierarchical bayes) 추정량을 이용하여 우리나라 소지역 실업자를 추정하는 방법을 제안하고자 한다. TSCS 모형은 횡종단면 자료를 모두 이용하기 때문에 종단면 자료만을 이용하는 일반선형모형들에 비해 소지역 추정치의 정도를 높일 수 있다. 특히, 연속조사에서 시계열 유지는 간과할 수 없는 부분인만큼 이런 자료에 대해서 TSCS 모형이 효과적으로 사용될 수 있다. 추정량은 마코프체인 몬테칼로 방법에 의한 HB 추정량을 사용한다. 본 연구에서는 경제활동인구조사의 실업자 자료를 이용하여 모형기반 HB 추정치를 구하고, 이것을 종단면 자료만을 이용한 Fay-Herriot 모형기반 추정치와 비교하고 그 성능을 평가하였다.

붓스트랩에 기초하여 조정한 관리한계를 사용하는 CCC-r 관리도의 성능

김민지,이재헌 한국통계학회 2020 응용통계연구 Vol.33 No.4

CCC-r chart is effective for high-quality processes with a very low fraction nonconforming. The values of process parameters should be estimated from the Phase I sample since they are often not known. However, if the Phase I sample size is not sufficiently large, an estimation error may occur when the parameter is estimated and the practitioner may not achieve the desired in-control performance. Therefore, we adjust the control limits of CCC-r charts using the bootstrap algorithm to improve the in-control performance of charts with smaller sample sizes. The simulation results show that the adjustment with the bootstrap algorithm improves the in-control performance of CCC-r charts by controlling the probability that the in-control average number of observations to signal (ANOS) has a value greater than the desired one. CCC-r 관리도는 불량률이 매우 낮은 고품질 공정을 관리하는 데 효율적이라고 알려져 있다. 대부분의 공정에서 공정 모수의 값은 알려져 있지 않기 때문에 제1국면에서 이를 추정해야 하는데, 표본의 크기가 충분히 크지 않은 경우 추정 오차가 발생하여 원하는 관리상태에서의 성능을 만족하지 못하는 경우가 발생한다. 뿐만 아니라 제1국면에서 추출하는 표본에 따른 산포로 인하여 관리상태일 때의 성능의 산포 또한 커지게 된다. 이러한 문제를 해결하기 위해 이 논문에서는 관리상태일 때 신호까지의 평균관측개수가 사전에 정한 확률로 목표하는 값보다 큰 값을 갖도록, 붓스트랩 알고리즘을 사용하여 CCC-r 관리도의 관리한계를 조정하는 절차를 제안하였다. 이때 고품질 공정에 적용하기 위하여 최대우도추정량 대신 베이즈추정량을 사용하여 불량률을 추정하였다. 다양한 상황에 대해 모의실험을 수행한 결과, 제안된 절차는 CCC-r 관리도의 관리상태 성능을 크게 향상시킴을 알 수 있었다.