(The) implied volatility surface connection with local volatility, SABR, Heston

신명기 서울대학교 대학원 2015 국내박사

There are many concepts in contemporary volatility models, but they have the same orientation. So in this paper, I want to connect each other. More particularly, we will place the implied volatility surface in the center and analyze Local volatility, SABR, Heston models. In the part of non-parametric volatility, first we collect the theories that are already in use and propose more consistent model named forward local volatility. Afterwards delta hedge is simulated and the right way of using Local volatility model is verified. In the part of parametric volatility, it begins with examining all inputs(dividend, riskless rate, security index futures) of volatility model. Finally, we propose the new methodologies to make the useful models more useful. One is bootstrapping the synthetic option and the other is making the stochastic volatility model as a Mosaic.

내재변동성 계산의 수치적 해법

이진희 수원대학교 교육대학원 2008 국내석사

The factors that determine value of options are price of underlying assets, their exercise prices, risk-free interest rate, remaining period until the time of expiration, and volatility of prices of underlying assets. All the factors can be observed in the market except for volatility. Generally historical volatility which is statistically calculated from the data of past underlying assets is used to the option pricing models. The other way to measure volatility is to put transaction prices of options in current market into the Black-Scholes Formulas, and use the outcome of calculated volatility, which is called implied volatility. Black-Scholes option pricing model is applied on the premise that the price of underlying assets, hypothetically, falls into regular volatility of normal distribution. In the real market data, the implied volatility measured by the market price of option can be different from the actual outcome of implied volatility. In 1973, the Chicago Board of Option Exchange has started there used to be a phenomenon called volatility smile transaction but after the great fall of stock market in 1987, the implied volatility parameterized by exercise price shown on a graph was shaped more of frowning rather than smiling since the curve is downshifted toward the right. In this thesis, by using Black-Scholes option pricing model, numerical methods for implied volatility has been materialized, and each efficiency of the outcomes from the solution were analyzed. Bisection, false position, Newton, and secant methods were used to calculated the volatility of options numerically. Newton method showed the highest in efficiency among those solutions. Furthermore, it was also studied to see on a graph whether the implied volatility according to their exercise price was the smile type or the frown one. As the result, the graph of implied volatility based on the exercise price of call options and put options in KOSPI 200 at the end of November, 2007 was contoured to be rather frown shape which was curved downward toward the right.

내재변동성 스마일 패턴의 예측력 분석에 관한 연구

김두환 연세대학교 대학원 2002 국내석사

금융시장에서 금리, 주가, 환율 등의 변동성을 예측하는 것은 파생금융상품의 가격을 결정할 뿐 아니라 금융 기관들과 기업들의 재무적 위험에 대한 관리에 가장 기본이 되는 중요한 일이다. 본 연구의 목적은 한국 주가지수 옵션시장을 대상으로 내재변동성만으로 실현변동성을 예측한 경우와 내재변동성 스마일 패턴의 정보를 외생변수로 추가한 경우의 실현변동성에 대한 예측력을 비교 분석해 스마일 패턴에 관한 정보가 실현변동성에 대해 추가적인 예측력을 지니고 있는지를 실증분석 하는데 있다. 예측력 분석을 위해서 단순선형 회귀분석을 사용하였으며, 모형의 예측변동성의 정확성을 비교하기 위해서 진실한 변동성의 대용치인 실현변동성으로 1분마다 측정된 KOSPI200 주가지수수익률 자료를 이용하였다. 본 연구의 실증 연구 결과를 살펴보면 다음과 같다. 첫째, 내재변동성의 레벨차이, 기울기, Quadratic regression으로부터 구한 곡률 정보를 추가설명변수로 단순회귀분석 한 경우 모든 변수들이 1% 수준하에서 유의하였으며 설명력 또한 약간 증가하였다. 즉 스마일 정보가 추가된 경우에 KOSPI 200 주가지수수익률의 변동성 예측에 더 우월하다는 결과를 나타내었다. 둘째, Spline regression으로부터 구한 곡률정보를 추가설명변수로 회귀분석 한 경우 유의적이지 않았으며 설명력도 거의 증가하지 않았다. Forecasting volatility of underlying assets is a fundamental process in pricing derivative securities and managing financial risk. The main objective of this paper is to compare the predictability of a model based on implied volatility only with that using additional information on implied volatility smile. The ordinary least square estimation method was used for the analysis. The realized volatility as a proxy for true volatility was obtained from the intra-day KOSPI 200 index measured every minute. This paper found that all explanatory variables were statistically significant at the 1% significance level and the adjusted R^(2) also increased when implied volatility level, slope and curvature from the quadratic regression were added as the explanatory variables. In other words, implied volatility smile information was useful in forecasting volatility of the KOSPI 200 index returns. However, curvature variables from the spline regression were not helpful in improving the predictability of realized volatility.

Forecasting KOSPI200 index option volatility using artificial intelligence algorithms

Shin, Sohee Sungkyunkwan University 2023 국내석사

Volatility is one of the variables required by the Black-Scholes model for option pricing. Option volatility refers to the annualized standard deviation of the daily rate of return of the underlying asset from the present time to the expiration of the option. Therefore, while the value can be observed at option expiration, it is an unknown variable at the present time. However, since the option price can be observed within the market, implied volatility can be derived from the price of an option at any time. This can be used to represent the market’s expectation of the future volatility. Although volatility in the Black-Scholes model is assumed to be constant, when calculating implied volatility, it is common to observe a volatility smile showing that the implied volatility is different depending on the strike prices. In this study, supervised learning is implemented to predict implied volatility. When calculating implied volatility, it is needed to have option type (call/put), strike price, closing price, remaining period, risk-free interest rate, option dividend index, and KOSPI200 index closing price. In order to alleviate the volatility smile, V-KOSPI is added to the features which is a novelty of this research. The estimation performance of the implied volatility of the KOSPI200 Index options is conducted using various machine learning algorithms, including Linear models, Tree based models, K-Nearest Neighbor, and Deep Neural Network. The evaluation is conducted with since the task is a regression. The training performance was the highest (99.9%) in the K-Nearest Neighbor model and the test performance was the highest (97.2%) in the Gradient Boosting model. 옵션가격결정모형인 블랙숄즈모형에서 유일하게 현재 시점에서 알 수 없는 변수는 기초자산의 변동성이다. 이는 미래에 실현된 후에 알 수 있기 때문에 현재시점에서 추정이 필연적이다. 그러나 옵션시장에서는 거래가 일어날 때마다 가격을 관찰할 수 있기 때문에 가격에 내재된 변동성을 역으로 산출하는 것이 가능하며 이를 내재변동성이라고 한다. 내재변동성을 구하기 위해서는 옵션가격과, 블랙숄즈 모형의 변동성을 제외한 옵션가격결정변수인 기초자산가격, 무위험이자율, 배당률, 행사가격, 잔존기간이 필요하다. 블랙숄즈모형은 변동성을 고정된 상수로 가정하나, 옵션가격을 통해 내재변동성을 산출할 때 행사가격에 따라 변동성이 다르게 산출되는 변동성 스마일현상을 보이기도 한다. 이러한 변동성 스마일현상을 완화하고자 내재변동성 산출시 옵션 단일 종목이 아닌 시장전반의 변동성을 감안하는 것이 필요하다고 판단하여 본 연구에서는 V-KOSPI지수도 설명변수로 추가하였다. 본 연구에서는 기존의 시계열분석방법인 역사적 변동성이나 내재변동성 산출방식이 아닌 머신러닝과 딥러닝 방법을 통해 변동성을 예측하고자 하였다. 데이터는 한국거래소 옵션시장에 상장된 KOSPI200옵션군(미니, 위클리 포함) 중 2019년 12월 2일부터 2021년 2월 1일까지 정규거래시간 중 거래가 있는 옵션 종목의 종가데이터를 사용하였다. Feature로 사용한 변수는 옵션종류(콜/풋), 행사가격, 종가, 잔존기간, 무위험이자율, 옵션배당액지수, KOSPI200지수 종가, 변동성지수(V-KOSPI)이다. Target변수는 한국거래소에서 산출한 내재변동성이다. 지도학습 방법을 사용하였으며, Linear Regression 계열, Tree 계열, K-Nearest Neighbor 알고리즘 및 딥뉴럴네트워크로 학습 및 예측하였다. 성능평가는 Regression 문제이기 때문에 를 사용하였다. Training 성능은 KNN 모형이 99.9%로 가장 높았고 Test 성능은 Gradient Boosting 모형이 97.2%로 가장 높았다.

GARCH모형과 GARCH-X모형의 비교 및 분석 : Realized Kernel과 Implied volatility을 사용하여

이준규 경희대학교 일반대학원 2014 국내석사

본 논문은 여러 나라들의 주식시장에서 나타나고 있는 수익변동률을 사용하여서 GARCH-X모형에 Realized Kernel과 내재변동성(Implied volatility)을 사용하여, 모형을 비교 및 분석을 하여 봄으로써, 현대화 되어 가고 있는 모형들의 평가를 해보고자 한다. 유럽의 주요국인 영국, 프랑스, 독일을 분석하였다. 추정에는 GARCH모형보다 GARCH-X모형이 평가가 좋았으며, GARCH-X모형에서도 내재변동성을 사용한 GARCH-X모형보다 Realized Kernel을 사용한 GARCH-X모형이 좋은 평가를 나타내었다. 예측(Forecast)에서는 GARCH모형보다 GARCH-X모형이 평가가 좋았으며, GARCH-X모형에서도 Realized Kernel을 사용한 GARCH-X모형보다 내재변동성을 사용한 GARCH-X모형이 좋은 평가를 나타내었다. 본 논문에서는 추정과 예측을 하면서, 기존에 연구와 다르게 내재변동성에 다른 거듭제곱(Power)하여 진행하였다. 그 결과, 추정에서는 기존의 연구와 같은 Realized Kernel의 우수성을 볼 수 있었고, 예측에서는 기존의 연구와 같은 내재변동성의 우수성이 같으나 보다 더욱 평가가 좋은 거듭제곱을 찾을 수 있었다. 결론적으로는 현대의 GARCH-X모형이 추정 및 예측 면에서 우수한 평가치를 가짐을 알 수 있었다. 그리고 다른 거듭제곱을 하였을 때에 달라지는 항상성의 정도(Degree of Persistence)에 대하여 GARCH-X모형의 시계열속성(Time series Property)이 달라지는데, 기존에 연구와 비교하여, 다른 거듭제곱에 따른 항상성을 찾아 보다 더 좋은 결과를 가짐을 알 수 있었다. This paper compares GARCH(Generalized ARCH) model and GARCH-X model using daily index return, Implied volatility and Realized Kernel. It is shown that, for the within-sample fitting, Most of GARCH-X model is better than GARCH model. we compares also Implied volatility and Realized Kernel in GARCH-X model. Most of Realized Kernel is better than Implied volatility in the Estimation. It is shown that, for the out-of-sample forecasting, Most of GARCH-X model is better than GARCH model. In contrast, Implied volatility is better than Realized Kernel at the another power. Finally Evaluation of GARCH-X using Implied volatility at the another power are better than Evaluation of GARCH and GARCH-X model using Realized Kernel.

On the rough volatility and optimal liquidation

한민규 서울대학교 대학원 2021 국내석사

In this thesis, we introduce rough volatility analysis using implied volatility and optimal liquidation strategy for local volatility model, and provide deep learning method to find the optimal liquidation strategy. In real financial markets, the dynamics of volatility is itself is a very important subject especially in derivatives markets. Thus, to provide a better understanding on derivatives, one needs to consider the roughness of volatility dynamics, which represents the memory effect of volatility. And, in real portfolio management, it requires to trade carefully with large amount of stocks. Therefore, it is essential to study how to evaluate and optimize the liquidation strategy. To fulfill this, we first consider the fractional Brownian motion as the origin of roughness of volatility dynamics, and extract the roughness from the option data. And, to study the optimal liquidation, we first introduce the optimal liquidation problem under local volatility model. Furthermore, using dynamic programming, we obtain the associated PDE which is difficult to solve analytically. At last, we study deep learning methods to solve PDE and optimize the liquidation strategy 본 학위 논문에서는, 함축된 변동성을 이용하여 거친 변동성에 대한 분석, 그리고 국소 변동성 모델에서 최적의 유동화 전략과 최적의 유동화 전략을 구하기 위한 심층 학습 방법을 제시한다. 실제 금융 시장에서, 변동성의 역학은 특히 파생상품 시장에서 그 자체로 매우 중요한 주제이다. 따라서 파생상품에 대한 이해를 위해, 변동성의 메모리 효과를 나타내는 변동성 역학의 거친 정도를 고려할 필요가 있다. 그리고, 실제 포트폴리오 관리에서, 대량의 주식을 조심스럽게 거래해야할 필요가 있다. 따라서 유동화 전략에 대한 평가와 최적화를 연구하는 것은 필수적이다. 이를 달성하기 위해, 우리는 우선 변동성 역학의 거친 정도가 작은 브라운 운동에서 나온다고 생각하고, 옵션 데이터로부터 거친 정도를 뽑아냈다. 그리고 최적의 유동화 문제를 연구하기 위해, 우리는 먼저 국소 변동성 모델에서 최적 유동화 문제를 제시하였다. 나아가, 역학적 프로그래밍을 통해 우리는 이 문제에 해당하는 해석적으로 풀기 힘든 편미분방정식을 얻었다. 최종적으로 우리는 편미분방정식을 풀기 위한 심층 학습 방법을 공부하고, 유동화 전략을 최적화 한다.

(A) review and comparative study of stochastic volatility models

이재민 Graduate School, Yonsei University 2022 국내석사

위험 자산 수익의 변동성에 대한 모델로 지역 변동성, 확률 변동성 혹은 하이 브리드 변동성 모형이 있습니다. 이 변동성 모형들에 대한 연구는 학계 및 업계에 서 상당히 많이 진행되어 왔습니다. 하지만 이 모델들 중 두 개 이상의 모델을 비 교하는 연구는 거의 진행된 게 없습니다. 이 논문에서는 유로피안 옵션 가격 책정 의 관점에서 한 개의 지역 변동성 모형과 네 개의 확률 변동성 모형을 비교해 볼 것입니다. 이 다섯 개의 모형들이 하나의 틀에서 어떠 ᇂ게 분류되는지 살펴보고, 모 델들이 변동성을 표현하는 데 있어서 각각 어떤 특징을 갖고 있는지 확인해 봅니 다. 다섯 개 모델의 옵션 가격 공식과 내재 변동성 공식을 기반으로, 이를 계산하 는 데 필요한 파라미터 개수와 공식의 정확도, 공식 계산 시간 및 파라미터 조정 시간 그리고 시장 데이터의 내재 변동성을 얼마나 잘 추적하는지까지 비교해 볼 것입니다. Some stylized facts about volatility of risky asset returns can be incorporated in local, stochastic or hybrid volatility models. There have been an enormous amount of research on the volatility models and their applications for both practitioners and academics. There are, however, few studies on comparing more than two volatility models. One local volatility and four stochastic volatility models are considered in this paper to provide a comparative study of the models in view of pricing European options. We show that the five models are well classified in a unified framework and each model has its own characteristic in terms of the skewness and diffusion components of volatility. Based on a review of the formulas of the option price and the implied volatility, we investigate the five models in terms of number of parameters, accuracy, computing and calibration time and fitting capability of the model to implied volatility.

KOSPI 200 option 시장에서의 volatility smile 현상 분석

이상협 연세대학교 대학원 2007 국내석사

옵션가격 결정에 결정적인 역할을 하는 변동성은 옵션거래를 변동성의 거래라고 할 만큼 중요한 변수로서 이 변동성에 대한 연구와 이를 통한 투자전략 수립은 의미가 있다고 본다. 본 논문의 목적은 내재변동성을 이용하여 KOSPI 200 주가지수 옵션옵션 시장의 움직임을 분석하고자 함으로써 이 연구를 통해 KOSPI 200 주가지수 옵션시장에서 volatility smile 현상이 나타나는지 확인하고 그 패턴과 변화 추이를 살펴보기로 한다. 이를 위해 volatility smile에 대한 기존 논문들을 비교 분석하고 KOSPI 200 옵션시장에서 volatility smile 현상의 크기와 패턴을 분석하여 volatility smile 현상을 이용한 투자 전략의 수립과 이를 이용한 매매 전략이 경제적으로 의미 있는 결과를 가져오는가에 대해 살펴본 결과는 다음과 같다.먼저, KOSPI 200 주가지수 옵션시장에서 어느 정도 뚜렷한 volatility smile 현상이 call과 put option 모두에서 관찰되었다. 그리고 전반적으로 call option의 경우 put option에 비해 더 높은 volatility를 보였다. 끝으로 call과 put option 모두에서 implied volatility의 움직임은 주식시장의 움직임과 같은 형태를 나타내고 있음을 확인할 수 있었다. 이는 volatility의 pattern을 주식시장 움직임의 지표로서 사용할 수 있음을 의미한다고 하겠다.제 1장 서론1.1 연구의 배경과 목적우리나라는 1996년 5월 3일 증권거래소에서 KOSPI 200 지수선물시장이 개설되고 1997년 7월 KOSPI 200 지수옵션시장 개장으로 본격적인 파생상품의 시대를 맞이하게 되었다. 이러한 KOSPI 200 옵션시장은 거래량을 기준으로 볼 때 개장 이후 불과 3년 만에 세계의 모든 파생금융상품 중 거래량 1위를 차지하는 등 비약적인 발전을 거듭하며 현물시장과 연계한 차익거래가 활발히 이루어지는 등 양적인 성장과 동시에 질적인 면에서도 성숙이 이루어지고 있다.투자자는 주식시장에 존재하는 체계적 위험을 효과적으로 관리하고자 옵션시장을 이용하는데, 개별주식을 기초자산으로 하는 주식옵션과 달리 KOSPI 200 지수옵션과 같이 주가지수를 대상으로 하는 주가지수 옵션을 통해 개별종목이 아닌 시장 전체의 동향에 투자하는 움직임이 주류를 이루고 있다. 주가지수 옵션이 이러한 투자목적을 달성하기 위해 가장 중요한 것이 바로 옵션가격의 정확한 평가라고 할 수 있다. 옵션가격을 결정함에 있어 영향을 미치는 변수들 중 관측할 수 없는 변수는 기초자산의 변동성(Volatility)이고 이는 결국 옵션가격에 대한 연구에서 핵심이 되는 부분은 시장에서 관찰이 불가능한 기초자산의 변동성이 되는 것이다.이처럼 옵션가격 결정에 결정적인 역할을 하는 변동성은 옵션거래를 변동성의 거래라고 할 만큼 중요한 변수로서 이 변동성에 대한 연구와 이를 통한 투자전략 수립은 의미가 있다고 본다. 옵션 시장에서 거래자들이 변동성을 과대 또는 과소 평가할 때 나타나는 현상을 확인하고 이에 따른 투자 전략은 어떻게 수립해야 할지 살펴보기 위해 본 논문에서는 Volatility smile에 대한 기존 논문들을 비교 분석하여 KOSPI 200 옵션시장에서 Volatility smile 현상의 크기와 패턴을 분석하고 Volatility smile 현상을 이용한 투자 전략의 수립과 이를 이용한 매매 전략이 경제적으로 의미 있는 결과를 가져오는가에 대한 실증분석을 하고자 한다.1.2 연구방법 및 논문의 구성본 연구는 2001년 9월부터 2007년 5월까지의 KOSPI 200 지수옵션 자료를 이용하여 implied volatility와 volatility smile의 패턴을 분석하고 이를 통해 KOSPI 200 지수옵션시장에서의 투자전략을 수립하고자 한다.제 2장에서는 Volatility에 관련한 기존 연구를 기초로 개념 및 발생 원인을 살펴보고 제 3장에서는 data를 통해 KOSPI 200 지수옵션시장에서 나타나는 volatility smile 현상을 실증분석하기로 한다. 제 4장에서는 연구의 결과를 정리하고 끝으로 제 5장에서는 연구의 결론 및 연구의 한계점과 차후 과제를 제시하였다.

파생상품을 이용한 투자전략 개발 연구

이경희 韓國外國語大學敎 大學院 2018 국내박사

This paper consists of two subjects. The first study analyzes the intrinsic hedging risk in the auto call step down equity linked securities (ELS) based on underlying indices including HSCEI, which are major products of the ELS market. Then it proposes new hedging strategies based on Conditional Value at Risk (CVaR) using stocks portfolio and futures. Due to the non-symmetric bimodal return distribution of ELS, which comes from the Knock-In (KI) property inherent in step down ELS structure, and the inherent shortfall risk in the ELS structure, a local delta hedging strategy has a limit. In addition, hedging using futures is difficult because of 1) frequent roll-over related with HSCEI futures, 2) price gap between underlying index and futures and 3) lack of futures liquidity caused by excessively issuing ELS based on HSCEI. As a way to deal with these problems, this paper proposes new hedging strategies : First step is to construct a stocks portfolio which tracks index using the method suggested by Rockafellar and Uryasev (2002), Alexander, Coleman and Li (2006). Second step is to hedge using stocks portfolio and futures. It shows that 1) an index-tracking stocks portfolio based on CVaR has a better performance and lower shortfall risk than index in the evaluation using market ratio, information ratio and Sharpe ratio, and 2) hedging using stocks portfolio is better than hedging using futures. As one of the policy proposals, if ETF, which tracks the underlying indices of ELS based on CVaR, is listed on the exchange (KRX), various kinds of mid-risk/mid-return structured products will be developed further, and also hedging will be easy to manage. The second study analyzes the strategy benchmark indices using the options. First it compares the returns and risk of three covered call indices (KOSPI200 Covered Call ATM, KOSPI200 Covered Call OTM and KOSPI200 PutWrite ATM) and KOSPI200 ProtectivePut Index and analyzes the causes of the excess return. All of the covered call indices had higher returns, lower volatility and higher Sharpe ratio(and Sortino ratio) than KOSPI200. In particular, PutWrite ATM Index outperformed largely with an annual return of 11.76%, compared to 5.48 % of the KOSPI 200 index during the analysis period. As a result of comparing skew of return distributions, the covered call indices have changed from negatively skewed distribution to symmetrical distribution over time. As time went by, the standard deviation in return decreased and the kurtosis was increased, which resulted in a characteristic that most of the return was concentrated close to the average. The reason why the covered call indices performed well was that the implied volatility of options was higher than the realized volatility. The implied volatility of at-the-money call options was 0.54% pt high on average, whereas that of at-the-money put options was 3.08% pt high, significantly influencing the outperformance of the PutWrite Index. The reason for the high implied volatility is the imbalance in supply and demand in the options market, where there are only many buyers of options to hedge against a decline. Option sellers have no reason to sell if the price is not high enough to compensate for the loss that would be caused by a sudden rise in volatility. Implied volatility is not merely a current expectation of future realized volatility, but rather can be seen as a prediction that reflects the tail-risk intrinsic in future realized volatility. As the market is currently experiencing a low level of volatility, implied volatility of options is expected to be higher than realized volatility, and risk-adjusted outperformance in covered call indices is expected to continue.

편미분 방정식의 수치 방법들에 의해 추정된 블랙-숄즈 방정식의 옵션 내재변동성 비교 : Comparison of the Implied Volatilities Estimated by Various Option-Pricing Methods for Black-Scholes Equations

허현진 포항공과대학교 대학원 2010 국내석사

본 논문에서는 금융 공학의 수치적 접근에 있어 중요하고도 기본적인 문제로 여겨지는 옵션 가치와 내재 변동성에 대해 다룬다. 우선 유러피안 콜옵션에 블랙 숄즈 모델을 적용한 식으로 출발하여, 옵션 가치를 평가하는 유한 차분법, 업윈드 방법, 그리고 유한 요소법을 구현한다. 그것들을 각각 적용하여 최종적으로 내재 변동성을 예측하는 역시스템을 구상한다. 이에 코스피 200 인덱스 옵션을 사용한 시뮬레이션을 통해 내재 변동성을 구하고, 다시 그렇게 예측한 내재 변동성을 사용하여 옵션 가치를 평가한다. 그것을 실제 시장 가격과 비교함으로써 각 방법들의 성능을 비교해 본다. 마지막으로 행사 가격에 따른 내재 변동성을 보고, 이 시스템의 의의를 생각해본다. In this thesis, we study basic parts of the option pricing and the implied volatility. These are essential problems of the numerical approach in financial engineering. We begin with the formula by applying Black-Scholes model to European call options. Then we implement the Finite difference method, the Upwind method, and the Finite element method for option pricing. We also draw the inverse system using the above methods separately for estimating implied volatility. Through the simulation with the KOSPI 200 index options, we estimate implied volatilities and then recalculate option values with them. We compare the performance of three methods. Finally, we graph the implied volatilities against the strike prices and observe the meaning of the result.