내재변동성 계산의 수치적 해법

이진희 수원대학교 교육대학원 2008 국내석사

The factors that determine value of options are price of underlying assets, their exercise prices, risk-free interest rate, remaining period until the time of expiration, and volatility of prices of underlying assets. All the factors can be observed in the market except for volatility. Generally historical volatility which is statistically calculated from the data of past underlying assets is used to the option pricing models. The other way to measure volatility is to put transaction prices of options in current market into the Black-Scholes Formulas, and use the outcome of calculated volatility, which is called implied volatility. Black-Scholes option pricing model is applied on the premise that the price of underlying assets, hypothetically, falls into regular volatility of normal distribution. In the real market data, the implied volatility measured by the market price of option can be different from the actual outcome of implied volatility. In 1973, the Chicago Board of Option Exchange has started there used to be a phenomenon called volatility smile transaction but after the great fall of stock market in 1987, the implied volatility parameterized by exercise price shown on a graph was shaped more of frowning rather than smiling since the curve is downshifted toward the right. In this thesis, by using Black-Scholes option pricing model, numerical methods for implied volatility has been materialized, and each efficiency of the outcomes from the solution were analyzed. Bisection, false position, Newton, and secant methods were used to calculated the volatility of options numerically. Newton method showed the highest in efficiency among those solutions. Furthermore, it was also studied to see on a graph whether the implied volatility according to their exercise price was the smile type or the frown one. As the result, the graph of implied volatility based on the exercise price of call options and put options in KOSPI 200 at the end of November, 2007 was contoured to be rather frown shape which was curved downward toward the right.

Fully nonlinear partial differential equations in stochastic control of financial portfolios

김연정 서울대학교 대학원 2005 국내석사

Two-asset step-down ELS pricing with operator splitting method

김지영 Graduate School, Yonsei University 2020 국내석사

주가연계증권 (Equity Linked Securities)은 개별 주식의 가격이나 주가지수에 연계되어 정해진 조건에 따라 투자수익이 결정되는 유가증권이다. ELS는 도입 초에 비교적 간단한 구조의 ELS가 발행되었으나 이후 기초자산을 두 개 이상으로 하는 step down형 ELS, Hi-Five ELS등 수익구조가 다양한 상품구조로 진화되고 있다. 이렇게 점점 복잡한 구조로 변하고 있는 ELS의 이론가는 투자자 측에서 투자의사 결정에 중요한 요인이 될 수 있고, 발행자 입장에서는 헷징 운용에 있어 델타를 구하기 위한 중요한 요인이 된다. 따라서 ELS의 이론가 계산을 위해서 적절한 모형과 방법론 선택은 중요하다. 본 논문에서는 조기상환 조건이 점점 하락하는 스텝다운형 주가연계증권의 이론가격 계산을 하고자 한다. 계산을 하기 위해서는 몬테카를로 시뮬레이션(Monte Carlo Simulation, 이하 MC)과 편미분 방정식의 유한차분법(Finite Difference Method , 이하 FDM)을 고려해 볼 수 있다. 그 중에서 다수의 기초 자산이있을 때 효율적인 FDM의 한 종류인 OSM에 중점을 두고 ,두 개의 기초자산을 갖는 주가연계증권의 가격을 파이썬을 통해 OSM을 적용하여 계산하며 민감도를 살펴보려고 한다. Equity-linked securities are securities in which the return on investment is determined based on a set condition linked to the price or stock price of an individual stock. ELS was issued in a relatively simple structure at the beginning of the introduction, but since then, profit structures such as step-down ELS and Hi-Five ELS with two or more underlying assets have evolved into various structures. For ELS, which is changing to this increasingly complex structure, theoretical price can be an important factor in investor decision making. Also, it is an important factor for the issuer to obtain the delta necessary for hedging operations. Therefore, it is important to select an appropriate model and methodology for theoretical price calculation. In this paper, we intend to calculate the price of a step-down ELS in which the redemption conditions gradually decrease. For calculation, we can consider Monte Carlo Simulation and Finite Difference Method. Among the methods of FDM, we will put an emphasis on the OSM which is efficient when there are multiple of underlying assets. Then we apply OSM to calculate the price of equity-linked securities having two underlying assets via python and take a look at sensitivities.

Implied finance theory : 시장가격에 내재된 금융이론

강성수 서울대학교 대학원 2003 국내박사

Existence and uniqueness of solutions of financial SDEs

조희진 연세대학교 대학원 2008 국내석사

In this paper we construct and prove a theorem of existence and uniqueness solution of two factor model. Moreover, through introducing some financial models which are generalized from Black-Scholes model and two factor model as well as one factor model, also, either we show each model has the unique solution or we give some conditions which are needed for the theorem. Through this process if we need a new financial model representing more proper to the real risky market, we can make it successfully by satisfying the condition of the theorem which could have the unique solution.

Numerical estimation of implied volatility

김남균 서울대학교 대학원 2008 국내석사

Pricing options with fixed and moving barriers

김용식 Graduate School, Yonsei University 2017 국내석사

본 논문에서는 고정 및 변동베리어를 갖는 옵션의 공정가격을 연구하는데, 그 중에서도 특히 변동베리어 옵션의 공정가격이 핵심이다. 변동베리어 옵션의 가격을 구하기 위해 우선 블랙-숄즈 방정식을 유도하고, 블랙-숄즈 방정식을 풀기위해 몇 번의 치환을 통해 블랙-숄즈 방정식을 열방정식으로 바꾼다. 그 후 푸리에 변환을 이용하여 열방정식까지 풀어내어 블랙-숄즈 방정식을 푼다. 변동베리어 옵션의 가격도 이와 비슷하게 구한다. 먼저 변동베리어 옵션의 가격이 블랙-숄즈 방정식을 만족시킨다는 핵심정리를 유도하는데, 이 정리로부터 변동베리어 옵션가격을 구할 때 블랙-숄즈 방정식에서 시작할 수 있다. 그 후 앞에서와 마찬가지로 블랙-숄즈 방정식을 열방정식으로 바꾸고 푸리에 변환을 이용하여 열방정식까지 풀면 변동베리어 옵션에서의 블랙-숄즈 방정식을 풀 수 있다. 이렇게 블랙-숄즈 방정식을 풀어서 변동베리어 콜옵션의 가격을 구한다. 또한 그 이후에는 추가적으로 풋-콜 페리티를 이용하여 풋옵션의 가격까지 구한다. In this paper, we study the process prices of options with fixed and moving barriers, especially the price of the moving barrier option. Study the Black-Scholes PDE to obtain the price of the moving barrier option. First derive the Black-Scholes PDE from the option price and change the Black-Scholes PDE to the heat equation through several substitutions to solve the Black-Scholes PDE. Then use the Fourier transform to solve the heat equation and solve the Black-Scholes PDE. The price of the moving barrier option is obtained similarly. First, we derive the “Core theorem” that the moving barrier option price satisfies the Black-Scholes PDE. From this theorem, we can start in the Black-Scholes PDE when obtaining the moving barrier option price. After that, the Black-Scholes PDE can be obtained by replacing the Black-Scholes PDE with a heat equation and then solving the heat equation using the Fourier transform. In this way, solve the Black-Scholes PDE and obtain the price of the moving barrier call-option. Thereafter, the put-call parity is used to obtain the price of the put-option.

(The) application of Green's function method to the black-scholes equation

김제국 연세대학교 대학원 2005 국내석사

This paper presents a method for solving Black-Scholes equation, namely Green's function method. Particulary we show application of the method to basket option.

Finite integration method using Feynman-Kac formula for Black-Scholes model

조준현 Graduate School, Yonsei University 2024 국내박사

We propose an unconditionally stable numerical algorithm, which uses the Feynman-Kac formula of the Black-Scholes equation to obtain accurate option prices and hedge parameters. We discretize the asset and time using uniform grid points. We approximate the option values by piecewise quadratic polynomials for each time step and integrate them analytically over the log-normal distribution. The piecewise quadratic approximation gives the third-order convergence in the asset direction, and the analytic integration reduces truncation error in the time direction. The estimation errors are propagated backward in time following the convection and diffusion characteristics of the Black-Scholes equation, which assures the unconditional stability of our method. The vectorized code implementation reduces the time complexity. The convergence test shows that our approach outperforms the Crank-Nicolson scheme of the finite difference method in both time and asset directions, and the stability test verifies that our method is stable as the Crank-Nicolson. Furthermore, we show that our algorithm reduces the price errors and hedge parameter errors by more than 50% from the benchmark. In addition, we generalize the numerical method for pricing multi-asset options. The proposed scheme uses the Lie-Trotter operator splitting method to reduce the multi-dimensional partial differential equation to a set of one-dimensional sub-problems. The computational domain is discretized with a uniform space and time step size to approximate the option values and asset correlation-related terms by piecewise quadratic polynomials. In order to obtain the numerical solutions of the sub-problems, we analytically integrate the polynomials over the log-normal distribution using the Feynman-Kac formula. We compare our method with the implicit operator splitting method (OSM), a widely used finite difference method in the industry. Numerical experiments show that the proposed method outperforms OSM in terms of convergence in space and time directions. We also provide analysis to guarantee the unconditional stability of our method by exploiting the Feynman-Kac recursively. 블랙-숄즈 방정식의 파인먼-카츠 공식을 사용하여 정확한 옵션 가격과 헤지 매개변수를 얻는 무조건 안정적인 수치 알고리즘을 제안한다. 균일한 그리드 포인트를 사용하여 자산과 시간을 이산화한다. 각 시간 단계에 대해 2차 다항식으로 옵션 값을 근사하고 로그 정규 분포를 이용하여 해석적으로 적분한다. 2차 근사 다항식은 자산 방향으로 3차 수렴을 제공하고 해석적 적분은 시간 방향에 대한 이산화 오차를 줄여준다. 수치계산 오류는 블랙-숄즈 방정식의 대류 및 확산 특성에 따라 시간이 지남에 따라 역방향으로 전파되어 제안한 방법의 무조건적 안정성을 보장한다. 벡터화된 코드 구현은 시간 복잡성을 줄여준다. 수렴 테스트는 우리의 접근 방식이 시간 및 자산 방향 모두에서 유한 차분 방법의 크랭크-니칼슨 방식을 능가한다는 것을 보여준다. 안정성 테스트는 우리의 방법이 크랭크-니칼슨처럼 안정적인지 확인한다. 또한 우리의 알고리즘이 벤치마크 대비 가격 오류와 헤지 매개변수 오류를 50% 이상 줄이는 것을 보여준다. 우리는 다중 자산 옵션의 가격 책정을 위한 수치적 방법을 일반화한다. 제안된 기법은 Lie-Trotter 연산자 분할 방법을 사용하여 다차원 편미분 방정식을 1차원 하위 ​​문제 집합으로 축소한다. 계산 영역은 2차 다항식으로 옵션 값 및 자산 상관 관련 용어를 근사화하기 위해 균일한 공간 및 시간 단계 크기로 이산화된다. 하위 문제의 수치적 솔루션을 얻기 위해 파인먼-카츠 공식을 사용하여 로그 정규 분포에 대한 다항식을 해석적으로 적분한다. 우리는 우리의 방법을 업계에서 널리 사용되는 유한 차분 방법인 암시적 연산자 분할 방법(OSM)과 비교한다. 수치 실험은 제안된 방법이 공간 및 시간 방향의 수렴 측면에서 OSM보다 성능이 우수함을 보여준다. 또한 파인먼-카츠를 재귀적으로 활용하여 방법의 무조건적 안정성을 보장하는 증명을 제공한다.

Foreign commodity forward and futures term structure models and their applications

정정용 서울대학교 대학원 2012 국내박사

본 논문에서는, 국내외 시장에서 거래되는 상품 선도 및 선물에 대한 기간 구조 모형을 만들었다. 상품 선도 모형의 경우, 양 시장에서 사용되는 모든 매개변수들이 3개의 핵심 매개변수에 의해 결정됨을 보였다. 상품 선물 모형의 경우, 약간의 조건을 추가했을 때, 상품 선도 모형처럼 사용되는 모든 매개변수들이 많아야 4개의 핵심 매개변수에 의해 결정될 수 있음을 보였다. 본 논문에서는 또한, 외국 상품 선물가를 기초로 하는 옵션에 대한 블랙-숄드 편미분방정식을 유도하였다. 그리고 수학적인 계산과 수치적인 방법을 통해 여러가지 형태의 옵션에 대한 가격을 산출하였다. In this paper, we construct commodity forward and futures term structures models in the both domestic and foreign markets. For commodity forward model, we show that all parameters used in the model for the both markets are completely determined by three key parameters. For commodity futures model, if we give a little conditions, all parameters used in the model for the both markets can be completely determined by at most four key parameters similarly to the forward model. Moreover, we derive the Black-Scholes PDE for domestic options which have foreign commodity futures as a underlying process. Also, we evaluate the prices of various types of those options using mathematical calculations and numerical methods.