불연속 배당하에서 미국형 옵션가격에 대한 연구 = Analytical Approximations of American Call Options with Discrete Dividends

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 구간별 기하 브라운 운동 모형(piecewise geometric Brownian motion)을 통해 불연속 배당을 가정하고 미국형 옵션가격을 제시한다. 구간별 기하브라운 운동은 배당락일을 제외한 시점에서 항상 동일한 주식가격 프로세스를 가정하고, 서로 다른 만기의 옵션에 대해 일관된 주식가격을 가정한다. 그러나, 이 모형에서는 닫힌 해의 옵션가격이 도출되지 않기에, 대부분 이항모형과 같은 대안을 통해 옵션가격이 연구되어 왔다. 이와 달리, 본 연구는, 선형 그리고 비선형 테일러전개를 통해, 미국형 옵션가격의 상한값과 하한값 그리고 기타 근사해들을 도출한다. 이러한 해들은 조기행사에 대한 조건을 변형함으로써, 유럽형 옵션의 근사가격으로도 활용 가능하다. 이항모형이 항상 정확한 값을 제시하지 못하는 것과 달리, 위 공식들은 특정 조건하에서는 오차가 0이 된다. 이러한 특성을 기반으로, 수치 분석 결과에서 이항모형에 비해 더 효율적임을 확인할 수 있었다. 특히, 하한값 공식이 비교적 빠른 속도로 정확한 값을 산출했다. 또한, 하한값에 이차 근사항을 추가로 고려할 경우, 계산 시간은 늘어났으나, 정확성이 더 높아짐을 확인할 수 있었다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In this study, we assume that stock prices follow piecewise geometric Brownian motion, a variant of geometric Brownian motion except the ex-dividend date, and find pricing formulas of American call options. While piecewise geometric Brownian motion can effectively incorporate discrete dividends into stock prices without losing consistency, the process results in the lack of closed-form solutions for option prices. We aim to resolve this by providing analytical approximation formulas for American call option prices under this process. Our work differs from other studies using the same assumption in at least three respects. First, we investigate the analytical approximations of American call options and examine European call options as a special case, while most analytical approximations in the literature cover only European options. Second, we provide both the upper and the lower bounds of option prices. Third, our solutions are equal to the exact price when the size of the dividend is proportional to the stock price, while binomial tree results never match the exact option price in any circumstance. The numerical analysis therefore demonstrates the efficiency of our method. Especially, the lower bound formula is accurate, and it can be further improved by considering second order approximations although it requires more computing time.