수학적 연결성 관점에서의 고등학교 수학Ⅱ 교과서 분석 = An Analysis on High School Mathematics Textbooks based on Mathematical Connection

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 2015 개정 교육과정에 따라 개발된 <수학Ⅱ> 교과서를 수학적 연결성의 내적, 외적 측면의 관점에서 분석하여, 교수·학습 방법 및 차기 교과서 개발에 시사점을 제공하는 것이다. 수학 개념이 지닌 내적 연결성에 내포된 수학 개념의 계통성에 대해 깊이 있는 이해를 제공하고, 외적 연결을 통해 어떤 맥락에서 어떤 교과와 연결하여 지도 가능한지 분석하기 위해 수학적 연결성을 내적 연결과 외적 연결로 구분하여 분석하였으며, 이러한 연구 목적을 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

1. 2015 개정 교육과정에 따라 개발된 <수학Ⅱ> 교과서에서 수학 내적 연결성은 단원별로 어떻게 나타나고 있는가?
2. 2015 개정 교육과정에 따라 개발된 <수학Ⅱ> 교과서에서 수학 외적 연결성의 유형은 어떻게 나타나고 있는가?

본 연구의 결과는 다음과 같다.

첫째, 내적 연결의 빈도수는 532개로 개념 연결은 전체의 42.10%인 224개로 나타나고 있고, 표현 연결은 57.89%인 308개가 나타나고 있다. 단원별로 내적 연결을 분석한 결과 다항함수의 미분법 단원이 개념 연결 53.12%, 표현 연결52.27%로 내적 연결의 모든 부분에서 높게 나타났다. 미분 단원은 변화 현상을 해석하기 위해 필수적으로 학습해야 하는 선수학습 지식의 내용이 많아 개념 연결의 사례가 많았고, 변화율을 직관적으로 이해하기 위해 그래프나 표를 활용하는 표현 연결의 사례도 많이 나타났다.
둘째, 외적 연결의 빈도수는 486개로 나타났으며 맥락 연결이 197개, 교과 연결이 289개로 나타났다. 수학과 과학의 긴밀한 교과 특성상 연결의 비중이 높고, 연결의 소재가 과학 분야에서 이루어진 경우 넓은 범위에서 수업의 소재로 활용 가능하므로 교과 연결로 포함하여 분류하였던 까닭에 과학 교과 연결의 비중이 높았던 것으로 분석된다. 교과 연결은 과학, 기술, 사회 교과 순으로 연결 비중이 높게 나타났고, 체육, 미술, 가정, 음악 교과와의 교과 연결의 빈도수는 낮게 나타났다.
셋째, 맥락 연결 197개의 유형별 빈도수는 실생활 맥락 연결 사례가 115개로 전체의 58.37%, 수학사 맥락 연결은 24.36%인 48개, 공학적 도구 활용은 17.25%인 34개로 나타나고 있으며 맥락 연결이 가장 높은 단원은 다항함수의 미분법 단원이었다. 실생활 맥락은 개인의 사생활에서 볼 수 있는 현상과 관련되는 개인적 맥락이 가장 높은 빈도수로 나타났고, 수학사 맥락은 수학자의 삶, 업적의 일화를 소개하는 H-1의 비중이 가장 높았으며, 공학적 도구 활용은 공학 도구 활용 방법이나 설명 없이 공학 도구 화면만 제시하는 T-1이 가장 높게 나타났다.
넷째, 분석 단위별로 외적 연결을 분석한 결과 맥락 연결은 전체의 33.5%가 도입 부분에서 가장 많이 나타났으며 외적 교과 연결은 전체의 46.37%가 문제 부분에서 가장 많이 나타났다. 도입 부분에 맥락 연결이 높은 것은 단원의 도입 부분에 학습자의 학습 동기를 유발하기 위한 흥미 있는 소재를 맥락과 연결하여 제시하기 위한 의도로 분석되고, 문제 부분에서 외적 교과 연결이 높은 것은 속도, 가속도, 거리와의 내용을 다루는 소단원 자체가 현실적인 맥락을 도입하여 타 교과와의 연결을 시도하고, 관련 개념을 확인하기 위한 문제가 다수 제시되어 높은 비중이 나타났던 것으로 분석된다.

연구 결과로부터 얻은 결론은 다음과 같다.
첫째, 서로 다른 수학 개념 사이, 수학 내 다른 주제들 사이의 관계를 인식할 수 있게 내적 개념 연결을 강조해야 한다. 수학적 개념은 계열성과 계통성을 지니고 있어서 선수 학습 지식이 뒷받침되어야만 이를 바탕으로 새로운 개념의 학습으로 나아갈 수 있는 특징을 지니고 있다. 따라서 수학적 연결성에 대해 탐구하여 수학 내·외적 상황에서 수학을 인식하고 활용할 수 있도록 교과서를 활용하여야 한다.
둘째, 실생활 맥락 연결에서는 다양한 주제와 연결할 수 있는 기회를 제공해야 한다. 수학이 실제 생활에 활용되고 있고, 유용하다는 가치 인식을 통해 태도 및 실천 역량이 향상되도록 개인적 맥락 뿐 만 아니라 사회적, 직업적 맥락의 주제도 다양하게 연결할 수 있는 기회를 제공해야 한다.
셋째, 수학사 맥락 연결에서는 수학사와 관련하여 학생들이 직접 경험해 볼 수 있는 실질적인 수학사 체험의 기회를 제공해야 한다. 수학의 역사가 길고, 많은 수학자들의 연구 결과로 수학의 논리성과 엄밀성이 확보되었던 만큼 개념 발달 과정에서 수학자가 겪은 일화나 그들이 해결한 난제들의 사례가 학습 자료로 교과서에 의미 있게 수록되면 수학사에 대한 실제적인 관심과 수학에 대한 긍정적인 태도를 갖게 할 수 있을 것이다.
넷째, 공학적 도구 활용을 활용함에 있어 형식적인 학습 이전에 직관적인 탐구 활동이 가능하도록 해야 한다. 형식화, 추상화 되어 있는 수학 내용을 공학적 도구를 활용하여 시각화하는 것은 수학 개념 이해에 도움을 줄 수 있으므로 공학 도구를 활용한 과제들을 단원의 도입 부분에도 배치하여 형식적인 학습 이전에 직관적인 탐구 기회를 제공할 필요가 있다.
다섯째, 외적 교과 연결에서는 과학, 사회, 기술 교과 뿐 만 아니라 다양한 교과와의 연결을 바탕으로 교육 과정 전반에 걸친 포괄적인 연결이 이루어질 필요가 있다. 실제적인 변화율을 담고 있는 데이터를 활용하여 이 상황을 수학적으로 모델링하는 경험을 통해 미적분의 유용성을 느낄 수 있는 연결이 필요하고, 다양한 모델이 제시되어 있는 외적 교과와 연결하여 융합적인 사고를 신장할 수 있도록 해야 한다.
여섯째, 교육과정 개정으로 인한 내적 개념 연결의 변화에 대응하기 위해 학습자의 인지적 구성 순서에 역행하지 않도록 교사의 지도 방안이 마련되어야 한다. 이때, 공학적 도구를 활용하여 구체적이고 직관적인 활동을 추가하거나 <수학Ⅱ> 이후에 학습하는 <미적분>에서 수학 개념 정의의 변화를 인식시키고 부족한 부분에 대한 보충이 이루어져야 할 필요가 있다.

본 연구는 창의·융합 역량의 신장과 융합적 지식이 강조되고 있는 시대적 상황에 맞춰 개발된 2015 개정 <수학Ⅱ> 교과서를 수학적 연결성의 관점에서 분석하였으며, 본 연구 결과가 교수·학습 방법 및 차기 교육과정의 교과서 개발에 참고 자료로 활용되기를 기대한다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론 1
• A. 연구의 필요성 및 목적 1
• B. 연구문제 5
• C. 용어의 정의 6
• D. 연구의 제한점 6
• Ⅱ. 이론적 배경 7
• A. 수학적 연결성 7
• 1. NCTM의 수학적 연결성 7
• 2. 2015 개정 교육과정에서의 수학적 연결성 11
• B. <수학Ⅱ> 핵심 개념의 역사적 발생 과정 15
• C. 선행 연구 17
• 1. 수학적 연결성에 대한 고찰 및 지도방법 17
• 2. 수학적 연결성의 관점에 따른 교과서 분석 18
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 20
• A. 연구 대상 20
• B. 연구 방법 21
• 1. 분석 단위 21
• 2. 분석 기준 25
• Ⅳ. 연구 결과 37
• A. 연구문제 1의 결과 37
• 1. 내적 개념 연결 분석 38
• 가. 함수의 극한과 연속 단원에서의 개념 연결 분석 39
• 나. 다항함수의 미분법 단원에서의 개념 연결 분석 43
• 다. 다항함수의 적분법 단원에서의 개념 연결 분석 46
• 2. 내적 표현 연결 분석 49
• 가. 함수의 극한과 연속 단원에서의 표현 연결 분석 50
• 나. 다항함수의 미분법 단원에서의 표현 연결 분석 52
• 다. 다항함수의 적분법 단원에서의 표현 연결 분석 53
• B. 연구문제 2의 결과 54
• 1. 맥락 연결의 유형 분석 54
• 가. 실생활 맥락 연결 유형 분석 55
• 나. 수학사 맥락 연결 유형 분석 59
• 다. 공학적 도구 활용 연결 유형 분석 62
• 라. 분석 단위별 맥락 연결 분석 64
• 2. 교과 연결의 유형 분석 69
• Ⅴ. 요약 및 결론 77
• A. 연구 요약 77
• B. 결론 81
• C. 제언 82
• 참 고 문 헌 84
• ABSTRACT 88