초등수학교육에서 외적 비율 학습-지도 방안 탐색 = A study on teaching and learning method of external ratio in elementary mathematics education

국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 학생들이 외적 비율을 어떻게 이해하고 있는지 알아보고 외적 비율의 바람직한 학습-지도 방안을 탐색하는 것이다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
1) 학생들의 외적 비율의 이해 실태는 어떠한가?
2) 외적 비율의 이해를 위한 학습-지도 방안은 무엇인가?
본 연구에서는 먼저 외적 비율의 의미와 구조를 이론적으로 분석하였다. 이것은 이후 학생들의 이해 실태를 알아보고 학습-지도 방안을 마련하는 데 바탕이 되었다. 이어서 속력, 인구밀도, 비율을 학습하고 단가를 경험한 6학년 학생들을 대상으로 외적 비율의 이해 실태를 조사하고 결과를 분석하였다. 그중 일부 학생들을 선정하여 면담을 통해 외적 비율의 이해 양상을 분석하였다. 분석 결과를 고려하여 학습-지도 방향을 설정하고 외적 비율 중 붐비는 정도에 대한 학습-지도 방안을 구체화하여, 소규모 실험 수업에 적용하였다. 본 연구의 내용을 요약하면 다음과 같다.
외적 비율은 단위량당의 크기로서의 의미와 제3의 양으로서의 의미를 지니며, 외적 비율의 구조는 외적 비율의 초기 개념, 평균화의 생각, 단위량의 인식, 제3의 양의 구성과 같은 요소를 포함한다. 외적 비율의 초기 개념은 제시된 두 양의 관계로부터 만들어지는 어떠한 정도를 알고 서로 다른 두 양을 함께 보려는 생각을 하는 것이다. 평균화의 생각은 서로 다른 두 양 사이의 관계를 수치화하는 과정에서 고르지 않은 것을 고르게 보고 균등하게 만들어가는 사고 과정을 의미하는 것으로, 한 양 내에서의 평균화와 두 양 사이의 평균화가 있다. 단위량의 인식은 두 양 사이의 평균화의 생각으로부터 한 양에 주목하여 한 양의 1에 해당하는 다른 양의 크기를 구하려는 생각을 하는 것이다. 제3의 양의 구성은 두 양으로부터 만들어지는 외적 비율을 정비례의 생각을 바탕으로 새로운 양으로 인식하는 것으로, 대표성, 보존성, 비가법성의 특징을 이해하는 것을 포함한다.
이상의 이론적 고찰을 바탕으로, (관점 1) 외적 비율의 초기 경험, (관점 2) 평균화의 생각으로 나눗셈 인식하기, (관점 3) 몫의 의미 이해, (관점 4) 유사한 상황에 적용하기, (관점 5) 제3의 양과 비가법성 인식하기의 다섯 가지 관점을 설정하였고, 이 관점에 따라 우리나라 수학, 과학, 사회 교과서에서 외적 비율 관련 부분을 분석하였다. 그 결과, 과학 교과서에서는 외적 비율의 초기 경험을 일부 취급하고 있었고 수학, 과학 교과서에서는 외적 비율을 구하는 것을 직접 제시하지만 나눗셈 인식 과정이나 평균화의 생각이 나타나지 않고 단위량당의 크기라는 의미가 드러나지 않는 등 교과서에서 외적 비율은 매우 불충분하게 다루어지고 있음을 알 수 있었다.
다음으로 학생들의 외적 비율 이해 실태를 조사하기 위해 조사 관점을 설정하고 그에 따른 조사 도구를 구성한 후 학생들의 반응을 확인하였다. 학생들의 반응을 관점 ① 두 양 사이의 평균화의 생각을 할 수 있는가?, 관점 ② 외적 비율을 인식하고 비교할 수 있는가?, 관점 ③ 외적 비율을 구하는 나눗셈의 결과를 바르게 해석할 수 있는가?, 관점 ④ 외적 비율을 구하여 다른 상황에 적용할 수 있는가?, 관점 ⑤ 외적 비율을 제3의 양으로 인식할 수 있는가? 에 따라 분석한 결과, 학생들의 외적 비율 이해가 매우 부족한 것으로 나타났다. 학생들은 종류가 다른 두 양을 인식하지만 두 양 사이의 관계가 의미하는 것이 무엇인지 알지 못하거나 평균화의 생각을 하지 못하고, 나눗셈으로 몫을 구했지만 몫의 의미를 잘못 이해하거나 몫이 가리키는 양의 속성은 알지 못하였다. 외적 비율을 구하고 다른 상황에 적용하는 과정에서 곱셈과 나눗셈을 잘못 선택하였고 두 상황을 병합한 새로운 상황의 외적 비율을 구하기 위해 두 외적 비율을 더하거나, 가중치를 고려하지 않고 두 외적 비율을 더하고 2로 나누어 구하기도 하였다.
끝으로, 외적 비율의 이해를 위한 학습-지도 방안을 마련하였다. 이를 위해 먼저 다음과 같은 세 가지 학습-지도 방향을 설정하였다. 학습-지도 방향 1은 외적 비율의 심상 형성으로, 외적 비율 상황에서 두 양을 인식하고 외적 비율을 비교하는 상황을 경험하며 외적 비율 상황에서 두 양 사이의 관계를 파악하는 것이다. 학습-지도 방향 2는 단위량의 인식으로, 한 양 내에서의 평균화와 두 양 사이의 평균화를 경험하고 몫의 의미를 이해하는 것이다. 학습-지도 방향 3은 제3의 양 구성으로, 제3의 양을 인식하고 그 특성을 이해하는 것이다. 이러한 방향에 따라 외적 비율 중 붐비는 정도를 소재로 하여 학습-지도 방안을 구체화하였다. 학습-지도 방안을 적용한 결과, 학생들이 붐비는 정도와 관련된 외적 비율의 의미를 단위량당의 크기와 제3의 양으로 이해하고 관련 구조를 형성해 나가는 것을 확인할 수 있었다. 본 연구에서 고안한 학습-지도 방안은 앞으로 초등학교 수학과에서 외적 비율을 체계적이고 점진적으로 다루는 데 도움이 될 것이다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• Ⅱ. 외적 비율의 개념과 구조 4
• 1. 외적 비율의 의미와 종류 4
• 2. 외적 비율의 구조 12
• 3. 교과서의 외적 비율 관련 내용 분석 27
• Ⅲ. 초등학생의 외적 비율 이해 실태 분석 41
• 1. 조사 대상 41
• 2. 조사 도구 42
• 3. 조사 결과 분석 54
• 4. 논의 98
• Ⅳ. 외적 비율의 학습-지도 방향 탐색 101
• 1. 외적 비율의 학습-지도 방향 101
• 2. 외적 비율의 학습-지도 방안 탐색 113
• 3. 논의 153
• Ⅴ. 결론 156
• 참고문헌 163
• [부록 1] 최종 조사 도구 167
• [부록 2] 외적 비율 학습-지도 방안에 따른 활동지 170
• ABSTRACT 176