초등 기하문제 해결에서의 시각화과정 분석 = Visualization in Geometric Problem Solving among Elementary School Students

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This research is geared to find meaningful implication in geometry education by analyzing the processes of visualization by inquiring into the relationship between these two process. of visualization and its role in geometric problem solving, the process of reasoning and justification, and the relationship between visualization and reasoning. six elementary students on their fifth year and seven elementary in their sixth year were studied for this reason. They were told to slove 'geometric problem solving test', and their van Hiele level was taken into account. The geometric problem solving tests included plane figure problems including value-searching problems, theory-proving problems. They also included various problems involving spatial figures. The problems were solved in one-on-one interview sessions with the researcher, and results were collected in various manners including video tape recording, computer monitor recording, and written answer sheets.
The analysis results of the student's geometric problem solving process are follows:
As a result of this study, it was found that discursive and operational understandings of figure play a heuristic role in understanding the relationship among several properties and structure of figure in the process of visualization. In general, students tried to solve problems of space figure by psychologically operating it in their imagination, or changing its dimension during this study. Some students who successfully solved problems, showed various abilities to visualize space and their abilities to visualize space were influenced by the previous learning or experience. When solving problems of plane figure, students used mereology and picture-background method to operate figure. When solving problems of space figure, picture-background method and position change were also helpful for changing its dimension in the process of visualization of space figure.
Nextly, auxiliary lines, questions of teachers and mathematical proposition had significant effect on visualization of figure when solving geometrical problems.
Lastly, it was found that the previous learning or experience in space figure was used to visualize space. Some of students also solved problems of space figure in this study using an experience in forming solid figure with a development figure. However, when a static image of figure was firmly fixed in the previous experience of students, it had negative effect on visualization of space figure. Also, they partially depended on visual expression of pictures when solving geometrical problems, and many of them had difficulties in visualizing planes created when cutting space figure from a sketch drawing.
This results from a learning using development figure and sketch map that are always regular and it implies that various data should be provided for students. That is, in addition to diverse learning programs, teachers need to provide many experience for students to observe dynamically figure rather than regular pictures of space figure so that they can understand the internal structure of space figure clearly. In this respect, computer software to dynamically embody geometrical forms are very important in geometrical learning and teachers, therefore, have to positively apply it to its class.

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 기하문제해결에서 시각화 과정을 통찰하고 이들 사이의 관련성을 탐색함으로써 초등 기하교육에 시사점을 얻기 위하여 설계하였다. 이를 위하여 기하문제 해결에서 시각화 과정과 역할, 시각화 과정에서의 나타나는 어려움을 조사하기 위해 질적 연구를 수행하였다. 본 연구 대상은 표현력이 우수하고 수학 성취도 수준이 상·중인 학생으로 5학년 6명과 6학년 7명이다. 이들의 Van Hiele 수준을 조사하고 이들에게 기하문제해결 검사지를 해결하게 하였다. 기하문제해결 검사지는 도형의 성질을 이용하여 각의 크기와 넓이를 측정하는 문제, 도형의 성질을 파악하여 추측하여 설명하는 증명문제를 포함하는 평면도형 과제와 다양한 차원에서의 공간도형 과제이다. 과제 해결은 연구자와 1대 1 면담상태에서 개별적으로 이루어졌다. 학생들의 사고과정을 분석하기 위한 자료 수집은 비디오 녹화, 개인 면담지, 지필 답안으로 이루어졌다. 기하문제해결에서 시각화, 시각화와 문제 해결 관계에 초점을 맞추었다.
본 연구에서 발견된 학생들의 기하문제 해결에서의 시각화 과정 분석 결과는 다음과 같다.
첫째, 평면도형 문제 해결에서 시각화는 도형의 이해를 도와 문제해결에 중요한 통찰을 제공하였다. 시각화 과정에서 도형에 대한 담론적 이해와 조작적 이해는 구성 요소 간, 여러 성질 간의 관계를 알게 하고. 도형의 구조를 파악할 수 있게 하는 발견적 역할을 하였다. 공간도형 문제해결에서 대체적으로 학생들은 정신적으로 상상하여 조작하거나 공간도형의 차원을 변화시킴으로써 문제 해결을 시도하였다. 문제를 모두 성공적으로 해결한 몇몇 학생은 문제해결에서 다양한 공간 시각화 능력을 나타냈다. 공간 시각화 능력은 이전 학습이나 경험의 영향을 받았다. 평면도형의 문제 해결에서 도형을 조작하는 방법은 메레올로지 방법과, 그림-배경 방법을 사용하였다. 공간도형 문제해결에서는 그림-배경 방법, 위치 변화 방법이 공간도형을 시각화할 때, 차원의 변화에 도움을 줄 수 있었다.
둘째, 기하문제 해결에서 보조선, 교사의 질문, 수학적 명제 등이 문제 해결에 유용한 도형 시각화에 영향을 주었다.
셋째, 공간도형 영역의 이전 학습이나 경험은 공간 시각화에 활용되었다. 전개도로부터 입체도형을 구성하는 활동 경험으로 인해 본 연구의 공간도형 문제 해결을 쉽게 할 수 있다는 학생들이 있었다. 하지만 이전 경험에서 정적 이미지가 견고하게 고착된 경우는 공간도형을 시각화하는데 오히려 부정적인 영향을 미치는 사례도 발견되었다. 그리고 기하문제 해결에서 시각화 과정에서 부분적으로 그림의 시각적 표현에 의존하는 경우가 있었다. 또한 많은 학생들이 겨냥도에서 공간도형을 잘랐을 때 생기는 평면을 시각화 하는데 어려움이 있었다. 이것은 매번 일정하게 주어지는 전개도, 겨냥도 그림을 통한 학습의 결과로 다양한 자료 제공의 필요성을 시사한다. 학생들이 공간도형의 전체 형태와 전체를 구성할 수 있는 내부 구조를 명확히 파악할 수 있도록 다양한 학습 프로그램은 물론 공간도형의 일괄적 그림 보다는 역동적으로 도형을 관찰할 수 있는 기회를 풍부하게 제공해 주어야 한다. 이런 측면에서 역동적 기하를 구현할 수 있는 컴퓨터 소프트웨어의 역할은 기하학습에서 중요한 위치에 있다고 할 수 있으며 적극 활용할 수 있도록 해야 한다.
이 연구의 주요한 의미는 학생들의 기하문제해결에서 시각화 과정을 분석하여 사례를 제공함으로써 학생들이 겪는 어려움을 극복하고 시각화 능력과 문제 해결 능력의 신장 방안을 마련하는데 구체적인 자료를 제공한다는 것이다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구문제 3
• 3. 용어의 정의 4
• 4. 연구의 제한점 4
• Ⅱ. 이론적 배경 5
• 1. 시각화와 공간 시각화 5
• 가. 시각화의 의미 5
• 나. 공간 시각화의 능력 6
• 다. 시각화 과정 9
• 2. 기하 사고 수준에 관한 Van Hiele의 연구 10
• 3. 기하 인지과정에 관한 Duval의 연구 12
• 4. 초등수학과 교과 과정의 기하와 관련된 내용 체계 17
• Ⅲ. 연구 방법 20
• 1. 연구 대상 20
• 2. 연구 방법 21
• 3. 연구 기간 및 절차 21
• 4. 검사 도구 22
• 5. 시각과 과정 분석 틀 27
• 6. 분석 방법 29
• Ⅳ. 연구결과 30
• 연구문제1. 기하문제 해결에서 시각화가 어떻게 이루어지는가? 30
• 1-1. 기하문제 해결을 위해 시각화가 어떻게 관련되는가? 30
• 1-2. 기하문제해결을 위해 평면, 공간도형을 어떻게 변화시켜 시각화는가? 61
• 연구문제2. 기하문제 해결에서 시각화에 영향을 미치는 요소는 무엇인가? 66
• 연구문제3. 기하문제 해결에서 시각화의 어려움은 어떤 것이 있는가? 70
• Ⅴ. 결론 및 논의 75
• 1. 결 론 75
• 2. 논의 77
• 3. 후속 연구를 위한 제언 79
• 참고문헌 80
• ABSTRACT 82
• 부록 85