平面圖形의 넓이를 關係的으로 理解시키기 위한 指導 方案 硏究 = A Study on the teaching of area for students' relational understanding

국문 초록 (Abstract)

지금까지 우리는 학교 교육에서 수학을 효과적으로 지도하는 데 많은 시간을 할애하여 왔다. 그럼에도 불구하고 많은 학생들이 수학을 어렵게 생각 하며, 상급 학년으로 올라 갈수록 이런 현상이 더욱 심화되고 있음을 알고 있다. 수학은 교과서 속에서만 존재하는 논리의 세계가 아니다.
수학은 학생들의 경험 속에서 살아 숨쉴 때 그 힘을 발휘하고 있는 것이다. 그러나 오늘날의 수학 교실의 모습을 들여다보면 학생들은, 이미 몇 세기 전에 태어나서 화석화 된 수학의 뼈대들을 지루하게 반복해서 주무르고 있다. 학생들에게 수학은 더 이상 발견하고, 창조해 나갈 수 있는 흥미로운 대상이 아닌, 잘 조직된 논리 속에서의 '기호 놀음'에 불과하며, 단지 그들을 기계적으로 익혀서 종이 위에 요구하는 정답을 적어 넣을 수만 있으면 되는 것이 현실이다. 이런 현실들이 학생들로 하여금 수학을 기피하고 어려워하게 하여, 수학의 참된 힘과 즐거움을 느끼지 못하게 하고 있다.
이러한 상황으로 몰아간 데에는 여러 가지 원인들이 있겠지만, 수학을 이미 발견되어서 잘 조직된 '지식으로서의 수학'으로 보는 우리의 종래 수학교육이 한 원인이라고 볼 수 있다. 학생들에게 수학이 의미있는 창조적 사고 의 과정으로 이해되도록 하기 위해서는, '지식으로서의 수학'이 아닌 수학자 라는 인간이 스스로 창조해 만들어간 과정을 알도록 하는 '수학적 활동으로서의 수학'이 강조되어야 할 것이다.
수학은 몇 개의 핵심적인 개념과 원리로 구성되어 있으며, 이 개념과 원리들은 서로 관련되어 있다. 그러나 중요한 것은 실제 이들의 관련성을 수학자가 한 것처럼 보여 줄 수 있는 방법이 한 가지만 있는 것은 아니다. 많은 수학자들이 개념을 구성할 때 그들이 탐구하고 연구하는 사고방식이 같을 수는 없다. 왜냐하면 수학자는 자기가 생각한 관점에서 개념을 정리하고 연구하기 때문이다. 이때, 수학자가 개념을 파악한대로 조직하여 보여준 것을 'schema'라 한다. 그러므로 'schema'는 고정되거나 완전할 수는 없다. 새로운 생각이 추가되어 확장되기도 하고, 더 적절히 설명될 수 있도록 수정되기도 하며, 때로는 재창조되기도 한다. 이때 중요한 것은 개념 전체를 알 수 있도록 수학자가 만든 것처럼 개념을 구성해야 한다는 것이다. 구성된 개념으로 유도하기 위해서는 그 개념이 명료하고 분석적인 이해가 선행되어 야 한다. 그렇게 함으로써 학생들이 이해에 바탕을 둔 학습을 할 수 있도록 하는 교수가 용이해지는 것이다. Skemp는 'schema'를 구성하기 위해서는 먼저 수학을 관계적으로 이해해야 한다고 말했다. 관계적 이해란 문제 해결의 방법과 이유를 무엇을 왜하는지 알고 있으면서 보다 일반적인 수학적 관계로부터 특수한 규칙이나 절차를 연역할 수 있는 상태를 말하고, 도구적 이해는 적당히 규칙을 기억하고 있으면서 그 규칙이 왜 그렇게 되느냐를 알지 못한 채 기억된 능력을 문제 해결에 적용하는 상태를 말한다. 본 논문에서 말하고 있는 이해는 관계적 이해를 뜻하고 있다. 수학학습은 관계적 이해만으로 학습하는 것보다는 때에 따라서는 학생들의 인지발달수준을 고려하여 도구적 이해에 의한 학습과 상호관련성을 맺어 가면서 학습하는 것이 효과 적이라 할 수 있다.
따라서 본 연구자는 수학 학습을 관계적으로 이해시켜야한다는 Skemp의 생각에 따라, 초등학교 평면도형의 넓이에서 넓이에 관한 schema를 구성되도록 지도하여 학생들이 넓이 개념을 이해하도록 도와주고, 평면 도형의 넓이를 좀 더 발전된 방법으로 학습한 후 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. '
첫째, 넓이의 이해가 부족한 상태에서의 절차적 지식은 새로운 개념을 이해하는데 도움이 되지 못한다.
그러므로 평면도형의 넓이에서 개념과 원리가 되는 요소를 분석하여 학생들의 지도에 활용함으로서 학생이 스스로 만들어 나가는 분위기 조성에 힘 써야 할 것이다.
둘째, 본 연구에서 제시한 관계적 이해를 위한 프로그램보다 더 발전된 지도 방법이나 프로그램이 개발되기를 기대한다.
본 연구에 제시된 프로그램은 매우 제한적이다. 학생들과 친숙한 지식과 경험이 무엇인지를 살펴보아야 하고 보다 나은 프로그램이 개발되기를 기대 한다. 이를 위해서는 교사가 먼저 관계적 이해에 관한 올바른 판단과 이해가 필요하다고 본다.
셋째, schema가 구성되도록 평면 도형의 넓이 개념을 이해시키는 프로그램이 교육과정에 반영될 수 있도록 더욱 체계화되고 학습 위계를 정립하는 연구가 필요하다.
본 연구에서 제시한 평면도형의 넓이에 관한 개념 학습 프로그램은 하나의 예시에 불과하다. 이를 일반화시키기 위해서는 보다 많은 기초연구를 통하여 프로그램을 체계화하고 어떤 주제를 어느 시기에 학습해야 하는지를 실험연구를 통하여 입증해야 할 것이다.
넷째, 관계적 이해를 통한 학습의 효과는 평면도형의 넓이 영역에만 국한 되는 것이 아니다. 따라서, 넓이 이외의 다른 영역에서도 관계적 이해를 도울 수 있는 프로그램이 개발되기를 기대한다.
평면도형의 넓이에 관한 schema의 한 예를 구성하여 현장교육에 활용하는 방법을 알아보았다. 학생들이 공식을 암기하거나 빠르게 해결하는 계산요령 만을 학습하는 것과는 달리 수학자가 한 것처럼 해 보게 함으로서 자라나는 우리의 학생들에게 미래를 계획하는 방법을 알도록 하는 것은 매우 중요하다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

So far we have spent on a lot of time to learn mathematics. However it is difficult to master maths. As they go up grade, this difficulty be more serious.
Maths is not a logical world in a text book. It is more practical in their experience.
In order to understand maths as the process of the creative thinking, we have to emphasis on activity of maths not as knowledge of maths.
Maths consists in the core concepts and the principles, and each of them are related.
But the most important thing is a various way to show the relation of these. When mathematicians make a concept, their ways of thinking are not be identical. Because they study and arrange concepts in their own point of view. Schema is understanding of structures according to the mathematician's way of thinking. Therefore, Schema is neither fixed nor complete. Schema is a process to add new idea, expand, modify to explain properly, and be recreated occasionally. So the students should consist whole concepts as mathematicians do. In order to have this concepts, students should have clear and analytic thinking in advance. By doing that, students learn maths based on their understanding. Skemp emphasized on relation of understanding maths. This relational understanding corresponds to consist the intelligent learning, not is in the memorizing as a set of fact and rules, but in the building up of knowledge structure as a set of fact and rules. In order to build up the knowledge structure is to use various plans of activity. So the student who is doing mathematicians would know what he is doing and why.
On basis of Skemp's theory, I applied his theory to elementary students. Student understood area figure relationally. After this study, I have concluded as follow.
1. Procedural knowledge is not helpful to understand new concepts with lack of understanding in area figure. So teachers guide students to explore themselves in th elements of concepts and principles of area figure.
2. I expect better teaching methods and programs for area figure with relational understanding in the future, since provided programs in this study is very limited. I really expect better and evaluate programs. Above all, teachers need to understand accurate decision on relational understanding.
3. we need to establish a learning systems for student in order to consist Schema and programs for area figure with relational understanding. This should reflect on curriculum. Provided programs in this study is a only exemplification. We have to put a lot of efforts to generalize this programs.
4. This relational understanding and learning effect are not limited to the area figure, but to all the field in maths. So programs of relational understanding are developed for many sphere of maths.
I show an example that students consist Schema in a practical education situation. It is very important for student not to memorize a set of facts and rules but to try to solve the problem like as mathematicians do.

목차 (Table of Contents)

• 목차 = i
• 국문요약 = iii
• I. 서론 = 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• 2. 연구의 문제 = 3
• 3. 연구의 범위와 제한점 = 4
• II. Skemp의 수학 학습 이론에 대한 고찰 = 5
• 1. Skemp의 schema 학습 = 5
• 2. 도구적 이해와 관계적 이해 = 7
• 3. Skemp의 수학 학습 이론 = 12
• 4. Skemp의 평면 도형의 넓이 지도 방법 = 14
• 5. 관련 선행 연구 = 14
• III. 연구의 실제 = 18
• 1. 연구 대상 = 18
• 2. 연구의 절차 및 방법 = 18
• 3. 평면 도형의 넓이에 관한 교육과정 분석 = 19
• 4. 평면도형의 넓이 schema 구성 = 22
• 5. 평면도형의 넓이 지도 계획 = 23
• 6. 평면도형의 넓이 Schema 지도 = 24
• IV. 연구의 결과 = 35
• 1. 평가 결과 분석 = 35
• V. 결론 = 48
• 1. 요약 및 결론 = 48
• 2. 제언 = 49
• 참고문헌 = 51
• Abstract = 53
• 부록 = 57