發展的 觀點에 따른 數學 學習 指導에 관한 硏究 = (A)study on learning and teaching of mathematics based on the developmental viewpoint

국문 초록 (Abstract)

오랜 세월 동안 수학은 발전되어 왔고 학문으로써 수학은 항상 더 나은 단계를 예비하고 있기 때문에 본 연구에서는 수학 학습에서 이러한 발전적 관점을 고려한 수학학습지도 방법을 정립하고자 한다. 이를 위하여 수학 학습에서 발전과 발전의 메커니즘을 Hegel의 변증법적인 방법론을 이용하여 밝히고, 발전적 관점과 관련된 다양한 학습 이론을 고찰하여 이를 ‘발전적인 수학 교수-학습 원리’로 선정하며, 이에 따른 수학학습 지도 방안을 모색하고자 실제 실험 수업을 실시하고자 한다. 따라서 본 연구에서는 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다.
·발전에 대한 개념을 정립하고, Hegel의 변증법적 발전관을 바탕으로 하여 수학학습에서 발전적 관점의 정의, 특징, 발전의 원동력, 발전의 단계 정립하기
·발전적 관점에 따른 수학 교수-학습의 원리 선정하기
·발전적 관점에 따른 수학적 지식과 문제해결의 구체적 지도 방안을 탐색하기
·실험수업을 실시하고 그 결과를 분석하여 일반화의 가능성을 모색하기
이상의 문제로부터 얻은 결론은 다음과 같다.
첫째, 수학 교수-학습에서 발전적 관점은 수학이 끊임없이 역동적으로 발전한다는 전제하에 수학적 대상을 고정된 것으로 보지 않고, ‘하나의 결과가 얻어졌더라도 보다 나은 쪽을 향하여 분화·복잡화·정교화·일반화·추상화·통합화가 이루어지도록 교수-학습을 점진적이고, 역동적이며, 가치지향적으로 전개하는 것’을 말한다. 따라서 발전적 관점은 수학을 끊임없이 변화하는 발전적인 학문으로 간주하여 수학적 지식을 고정된 것으로 생각기보다는 발전의 필요성을 인식하고 이를 해결하는 과정에서 스스로 수학을 발전시켜 나가는 즐거움과 기쁨을 누려 볼 수 있도록 수학을 지도하자는 관점이다. 본 논문에서는 발전적 관점에 따른 수학 교수-학습 원리를 10가지로 선정하였다.
둘째, 발전적 관점에 따른 수학 교수-학습 지도는 [정상적인 단계]-기존의 지식, 개념, 방법, 원리, 법칙, 문제해결 전략을 이용하여 정상적으로 수학 활동이 이루어지는 단계, [주관적 모순 인식 단계]-기존의 것을 이용하여 수학 활동을 하는 동안 발전의 원동력이 되는 주관적 모순을 발견하고 정상적인 단계에서 사용했던 것에 대해서 부분적으로 회의를 느껴 발전의 필요성을 깨닫는 단계, [발전적 부정의 단계]-기존의 것에서 발견했던 모순들을 극복하기 위하여 발전적으로 부정하는 단계, [발전적 통합의 단계]-기존의 것에서 발견했던 모순들을 부정을 통하여 극복하고, 기존의 것과 발전된 것들을 유의미하게 통합하여 더욱 발전시키는 단계로 이루어 진다.
셋째, 발전적 관점에 따른 수학적 지식의 교수-학습은 기존의 지식을 이용하여 더 나은 지식을 발전적으로 전개하기 위해서 다른 지식 구조로의 발전적 학습, 정교화를 통한 지식의 발전적 학습, 추상화를 통한 지식의 발전적 학습, 일반화를 통한 지식의 발전적 학습 4개로 나누어 살펴보았고, 문제해결 교수-학습은 관점 변경에 의한 문제해결의 발전적 학습, 조건 변경에 의한 문제해결의 발전적 학습으로 나누어 살펴보았다.
넷째, 실험 수업을 실시하고 발전적 관점에 따른 수학적 지식과 문제해결의 교수-학습을 분석하였는데 학생들이 발전과 주관적 모순, 발전적 부정, 발전적 통합에 대하여 인식하고 있음을 알 수 있었으며, 이를 통하여 일반화도 가능하리라는 결론을 얻었다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This thesis aims at establishing a methodology in learning and teaching mathematics based on the developmental viewpoint, in which mathematics has always been explored to be understood better throughout the history. In this regards, this thesis deals with the developmental mechanism of mathematics in terms of Hegel's dialectical methodology. It also selects ‘the developmental learning-teaching principles of mathematics’ by studying various learning theories in terms of developmental viewpoint. In order to find mathematical teaching solutions in relation to those principles, the experimental trial classes have been implemented. The main research points undertaken in this thesis are as follow.
·defining the concept of development and, based on Hegel's dialectical methodology, making the definition of the developmental viewpoint in learning mathematics, and defining characteristics, developmental motive, and the stages of development,
·selecting ‘the developmental learning-teaching principles of mathematics’ in terms of developmental viewpoint,
·exploring concrete teaching methods for mathematical knowledge and problem solving from the developmental viewpoint, and
·implementing experimental trial classes, analysing the results of the trial classes, and seeking for a possibility of generalization.
The conclusions of this thesis are as follow.
Firstly, with an assumption that mathematics is an evolving object, from the developmental viewpoint, the mathematical objects in learning-teaching are not fixed but evolving. They are value-oriented and are gradually and continuously moving towards better solution, even after one solution. Those developmental and evolving process in ‘learning-teaching’ can be made by specialization, complexity, elaboration, generalization, abstraction, and syntheses. Therefore, from the developmental viewpoint, mathematics can be taught with pleasure and joy throughout the process of self-development, in that mathematical knowledge is not fixed but constantly developing. In this regards, ten developmental learning-teaching principles of mathematics are suggested in this thesis.
Secondly, this thesis argues that there are four developmental stages in learning-teaching mathematics. They are : [the stage of normality] - that mathematical activities are normally carried out by utilizing the existing knowledge, concepts, methods, principles, law, and problem solving strategy, [the stage of cognizing subjective contradiction] - that the necessity of development is realized, either due to the result of the partial skepticism on the routines at the stage of normality, or by cognizing subjective contradiction within the normal mathematical activities, [the stage of developmental negation] - that negates the existing ones in order to positively overcome contradiction in normality, and [the stage of developmental syntheses] - that overcomes contradiction by negation found in normality and unifies the existing ones into the new ones in a meaningful way for further developmental stage.
Thirdly, in this thesis, the developmental learning-teaching has been observed in four different areas. They are ‘developmental learning by changing new knowledge structure’, ‘developmental learning by elaboration’, ‘developmental learning by abstraction’, and ‘developmental learning by generalization’. And also, in this thesis, ‘the learning and teaching of problem solving’ has been studied both from the change of viewpoint and the change of condition.
Fourthly, the experimental trial classes have been implemented. In the trial, the mathematical knowledge and ‘the learning and teaching of problem solving’ were analyzed from the developmental view. As a conclusion, this thesis found that students are well aware of development, subjective contradiction, developmental negation, and developmental syntheses. It also found that the generalization can be possible.

목차 (Table of Contents)

• 國文要約 = ⅰ
• 목차 = ⅲ
• Ⅰ. 서론 = 1
• Ⅱ. 발전의 개념과 여러 가지 이론 = 8
• 1. 발전의 개념 = 8
• 2. Hegel 이전의 발전관 = 14
• 2.1 존재와 변화에 대한 고대 그리스 철학의 성찰 = 14
• 2.2 중세 말기와 근대의 발전 사상 = 18
• 2.3 형이상학적 발전관의 의의와 한계 = 21
• 3. Hegel의 변증법과 발전관 = 23
• 3.1 Hegel의 변증법 = 23
• 3.2 Hegel의 발전관과 의의 = 26
• Ⅲ. 변증법적 발전의 메카니즘과 발전적 관점 = 29
• 1. 변증법적 발전의 메커니즘 = 29
• 1.1 모순 = 29
• 1.2 부정 = 35
• 1.3 지양 = 38
• 1.4 변증법적인 발전의 3단계 = 40
• 2. 발전적 관점 = 44
• Ⅳ. 발전적 관점에 의한 수학 교수-학습 = 49
• 1. 발전적 관점에 의한 수학 교수-학습 = 49
• 1.1 발전적 관점과 수학 발전 = 49
• 1.2 수학교육에서 발전적 관점 = 56
• 1.2.1 구성주의와 발전적 관점 = 56
• 1.2.2 Lakatos의 준경험론과 발전적 관점 = 59
• 1.2.3 역사-발생주의와 발전적 관점 = 61
• 1.2.4 Brousseau의 교수학적 상황과 발전적 관점 = 63
• 1.2.5 Freudenthal의 수학화와 발전적 관점 = 66
• 1.2.6 발전적 생각과 발전적 관점 = 68
• 1.2.7 발전적 관점에 관한 선행 연구 = 71
• 1.3 발전적 관점에 따른 수학 교수-학습 원리 = 73
• 2. 발전적 관점에 의한 수학적 지식의 교수-학습 = 82
• 2.1 다른 지식 구조로의 발전적 학습 = 83
• 2.2 정교화를 통한 지식의 발전적 학습 = 86
• 2.3 추상화를 통한 지식의 발전적 학습 = 89
• 2.4 일반화를 통한 지식의 발전적 학습 = 92
• 3. 발전적 관점에 의한 문제해결의 교수-학습 = 97
• 3.1 관점 변경에 의한 문제해결의 발전적 학습 = 99
• 3.2 문제의 조건 변경에 의한 문제해결의 발전적 학습 = 101
• Ⅴ. 발전적 관점에 따른 수학 교수-학습의 실제 = 104
• 1. 발전적 관점에 따른 교수-학습 지도안 = 104
• 1.1 지도안 작성의 방향 = 104
• 1.2 지도안의 목표 및 내용 = 107
• 1.3 교수-학습 지도안 = 108
• 2. 실험 수업의 실제 = 111
• 2.1 실험 수업 목적 = 112
• 2.2 수업 대상 = 112
• 2.3 수업 일정 = 112
• 3. 실험수업에 대한 분석 및 논의 = 113
• 3.1 수업 분석 방법 및 관점 = 113
• 3.2 수업 분석 및 논의 = 113
• 3.2.1 발전적 관점에 의한 수학적 지식의 교수-학습 분석 및 논의 = 113
• 3.2.2 발전적 관점에 의한 문제해결의 교수-학습 분석 및 논의 = 126
• 3.2.3 수업 분석 결과 = 132
• Ⅵ. 결론 및 제언 = 135
• 1. 결론 = 135
• 2. 제언 = 146
• 참고문헌 = 149
• [부록 1] 발전적 관점에 의한 수학교수 - 학습 지도안= 159
• 1. 발전적 관점에 의한 수학적 지식의 교수 - 학습 지도안 = 159
• 2. 발전적 관점에 의한 문제해결의 교수 - 학습 지도안 = 170
• ABSTRACT = 175