유추적 사고를 활용한 중등 수학 R&E 지도 사례: 디오판토스 방정식의 풀이 분석을 중심으로

국문 초록 (Abstract)

본 연구는 중등 수학 R&E 지도 과정에서 중학생들이 기존 문제의 풀이 절차를 새로운 문제에 어떻게 전이하고, 전이 과정에서 나타난 어려움을 어떻게 재해석하는지를 살펴보는 데 목적이 있다. 이를 위해 S대학교 부설 과학영재교육원 사사기초 과정에 참여한 중학생 4명이 디오판토스 방정식 𝓍² + 3𝓎² = 𝓏²의 원시해를 탐구하는 과정을 유추적 사고의 관점에서 분석하였다. 학생들은 사전 수업에서 𝓍² + 𝓎² = 𝓏², 𝓍² + 𝓎² = 2𝓏², 𝓍² + p𝓎² = p𝓏² 의 풀이 방법을 학습하였으며, 이후 이를 바탕으로 목표 문제의 해결을 시도하였다. 분석 자료로는 학생 활동지, 보고서, 칠판 및 모둠 기록, 교수자 관찰 기록을 활용하였다. 분석 결과, 학생들은 목표 문제와 기존 문제 사이의 외형적·구조적 유사성을 바탕으로 원시해 조건 확인, 홀짝성 판단, 서로소 관계 분석, 인수분해, 매개변수 표현의 절차를 전이하려 하였다. 그러나 기존 절차는 목표 문제에 그대로 적용되지 않았으며, 학생들은 (𝓏 − 𝓍)(𝓏 + 𝓍) = 3𝓎²의 구조를 분석하는 과정에서 추가 조건의 필요성을 인식하였다. 특히 쌍별 서로소 관계와 𝓎의 짝수 조건을 정교화하며 Lemma 2와 Lemma 3을 구성하였다. 이는 유추적 사고가 단순한 절차 모방을 넘어, 전이 실패의 재해석과 새로운 수학적 관계 구성으로 발전할 수 있음을 보여준다. 본 연구는 디오판토스 방정식이 중등 수학 R&E에서 유추적 문제 해결 과정을 분석하고 지도하기 위한 의미 있는 탐구 소재가 될 수 있음을 시사한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This study examines how middle school students transfer solution procedures from previously learned problems to a new problem and reinterpret difficulties encountered during the transfer process in a mathematics R&E program. Four middle school students participating in a basic mentorship course at a university-affiliated science gifted education center explored primitive solutions of the Diophantine equation 𝓍² + 3𝓎² = 𝓏². Before the exploration, they had learned solution methods for 𝓍² + 𝓎² = 𝓏², 𝓍² + 𝓎² = 2𝓏², and 𝓍² + p𝓎² = p𝓏². The study analyzed students’ worksheets, reports, board and group records, and the instructor’s observation notes from the perspective of analogical reasoning. The results showed that the students attempted to transfer familiar procedures, such as identifying primitive solution conditions, analyzing parity, examining coprime relationships, factoring, and expressing solutions parametrically, based on the superficial and structural similarities between the source and target problems. However, these procedures could not be applied directly to the target problem. While analyzing (𝓏 − 𝓍)(𝓏 + 𝓍) = 3𝓎², the students recognized the need to examine additional conditions and constructed Lemma 2 and Lemma 3 by refining pairwise coprime relationships and the parity condition of 𝓎. These findings indicate that students’ analogical reasoning developed beyond simple procedural imitation toward the reinterpretation of transfer failure and the construction of new mathematical relationships. This study suggests that Diophantine equations can serve as meaningful topics for supporting analogical problem solving in middle school mathematics R&E.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론
• Ⅱ. 이론적 배경
• Ⅲ. 연구 방법
• Ⅳ. 연구 결과
• Ⅴ. 결론 및 제언
• 참고문헌
• Abstract