선전류 영역의 해석해를 활용한 유한요소 해석기법

국문 초록 (Abstract)

산업 사회의 발달은 전기의 사용을 늘리고 생활수준을 향상시켰으며, 또한 전자기 스펙트럼 환경에 대한 인간의 노출기회를 증가시켰다. 특히, 송전선로의 대용량화, 초고압화는 높은 강도의 전자계를 발생시킨다. 이들이 전력설비나 통신시스템의 장애를 일으키고 인체에 유해한가에 관한 논란은 최근 심각한 여론을 불러일으키고 있다. 그러므로 이는 환경 영향에 대한 연구와 전자계 해석의 필요성을 대두시키고 있다.
전자장 현상의 거동은 맥스웰방정식으로 표현할 수 있으며, 이 방정식을 풀 때에는 그 경계조건을 만족해야 하므로 전자장 문제는 경계치 문제로 귀착된다. 전자장 해석의 대표적인 수치해석 방법으로 유한요소법이 1970년대 후반부터 국내에서 연구되기 시작하였다. 전자장 현상을 유한요소법으로 알아보기 위해서는 그 구조를 정확히 모델링하여 해석하여야 한다. 그러나 송배전 선로나 철도의 가공 전차선 같은 경우 전체의 영역에 비해 전자장을 만드는 원인이 되는 전류의 영역이 매우 작고 여러 개의 도체로 구성되어 유한요소 해석 시에 소스 부분을 미세하게 요소분할 하여야 한다. 이러한 경우 요소수가 증가되어 미지수가 증가하고, 이로 인해 전자계산기(computer)의 기억용량과 계산시간이 늘어나는 단점을 가지고 있다. 특히 자기적 비선형 특성의 해석이나 시간차분법 등을 통한 동특성을 해석하고자 할 때에는 컴퓨터의 상당한 발전에도 불구하고 아직도 많은 시간이 소요된다.
본 논문은 유한요소법의 활용기법중의 하나로서 여러 개의 선전류로 인해 유도되는 자장을 해석할 경우, 해석해(analytical solution)와 유한요소법(FEM)을 결합하여 기존의 방법을 보완하는 보다 효율적인 해석방법을 제시하였다. 선전류가 존재하는 영역에서는 라플라스 방정식과 푸아송 방정식으로부터 해석해를 유도하였으며, 다중 선전류가 존재하는 경우는 중첩의 원리를 적용하여 해석해를 얻었다. 해석적인 해는 원통좌표계에서 반경에 대한 멱함수와 회전각도에 대한 삼각함수의 곱의 형태로 표현된다. 결합방법으로는 선전류 영역과 유한요소 영역의 경계에서 자기벡터포텐셜의 연속조건과 자계강도의 접선 성분이 연속인 조건을 적용하였다. 본 방법은 유한요소법의 계행렬에 푸리에 급수 전개된 계수를 추가하는 방법으로 기존의 계행렬을 유지할 수 있다. 또한 해석해 영역은 요소 분할을 수행하지 않으므로 그 만큼 유한요소 영역을 세분하여 효율적인 해를 구할 수 있다. 또한 선전류 영역을 요소분할하지 않으므로 시스템 행렬식의 메모리 용량을 감소시키고 계산시간을 단축시킬 수 있다.
제안한 방법의 검증을 위하여 정자장 문제인 경우는 해석적인 모델과 자성체가 존재하는 모델을 채택하여 각각의 경우 해석해 및 유한요소법에 의한 해와 비교하였다. 교류자장 문제에는 도전체가 존재하는 3상 교류 모델과 수직 2회선 345 kV 송전선로 모델을 해석하여 각각 유한요소법에 의한 해와 실제 측정한 자계의 크기를 비교·검토하였다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Development of the industrial society increased the electricity consumption, elevated the standard of living, and rose a chance of human body to be exposed to the electromagnetic spectral environment. Transmission lines with large-capacity and extra high voltage generate highly intensive electromagnetic field. The questions whether the electromagnetic field makes electric power equipment and/or communication systems malfunction and is harmful to human body are becoming hot issue recently. This made researches about the environment effect and analysis of the electromagnetic field desirable.
In analysis of the magnetic field using the standard FEM, the source current region of transmission line or overhead trolley line model consists of several conductors and is relatively small compared to the whole region. Therefore, the current region must be finely divided using a large number of elements. And the large number of elements increase the number of unknown variables and the use of computer memories. Especially, in spite of considerable development of computer, it still takes quite amount of time to carry out a magnetic non-linearity analysis or a dynamic performance by time step analysis.
In this paper, an analytical solution is suggested to supplement this weak point. When the sources are line currents and the part of interest is far from the line currents, the analytical solution is coupled with FEM at the boundary. The analytical solution can be described by a multiplication of two functions. One is a power function of radius, the other is a trigonometric function of angle in the cylindrical coordinate system. Two kinds of boundary condition are used as coupling method. One is the continuity of the magnetic vector potential by Fourier series expansion. The other is the tangential component continuity of the magnetic field intensity at the boundary.
To verify the proposed algorithm, we chose two kinds of example. One is simplified model with an analytical solution, while the other has magnetic material in FE region. Each results are compared with the analytical solution and the standard FE solution, respectively. Also, in case time varying fields that include conductive materials, 3-phase AC and 2-circuit 345kV transmission line models are analyzed. And each results are in good agreement with the FEM solution and the measured result of magnetic flux density. Proposed method is thought that will be useful in 3-D analysis or time step analysis.

목차 (Table of Contents)

• 제 1 장 서론 = 1
• 1.1 연구의 배경 및 동향 = 1
• 1.2 연구의 목적 = 4
• 1.3 논문의 구성 = 7
• 제 2 장 이론 전개 = 8
• 2.1 맥스웰방정식 및 해석모델 = 8
• 2.1.1 맥스웰방정식 = 8
• 2.1.2 지배방정식 = 10
• 2.1.3 해석모델 = 12
• 2.2 단일 선전류 모델 = 14
• 2.2.1 모델설정 및 가정 = 14
• 2.2.2 단일 선전류에 의한 해석해 = 15
• 2.3 다중 선전류 모델 = 25
• 2.3.1 다중 선전류 모델링 = 25
• 2.3.2 중첩의 원리에 의한 해석해 = 27
• 2.4 유한 요소 해석 = 31
• 2.4.1 유한요소 모델링 = 31
• 2.4.2 경계 적분항의 고려 = 37
• 제 3 장 해석해와 유한요소법의 결합 = 40
• 3.1 경계 조건의 적용 = 40
• 3.1.1 자계의 접선 성분 = 40
• 3.1.2 자기벡터포텐셜의 연속성 = 41
• 3.1.3 자계강도의 접선성분의 연속성 = 46
• 3.2 계 행렬식의 도출 = 50
• 3.3 정자장 사례 연구 = 53
• 3.3.1 왕복 전류 모델 = 53
• 3.3.2 자성체를 포함하는 모델 = 67
• 제 4 장 시변 자장에서의 결합 방법 = 76
• 4.1 지배방정식 = 76
• 4.2 시변 자장의 해석법 = 79
• 4.2.1 시간차분법 = 79
• 4.2.2 복소수 근사법 = 80
• 4.2.3 교류자장에서의 결합 방법 = 81
• 4.3 교류자장 사례 연구 = 83
• 4.3.1 3상 교류 모델 = 83
• 4.3.2 송전선로 모델 = 92
• 제 5 장 결론 = 106
• 참고문헌 = 108
• 표 목차 = 113
• 그림목차 = 114
• 기호설명 = 117
• 부록 = 120
• A1. 자기벡터포텐셜의 해석해 = 120
• A2. 자속밀도의 해석해 = 124
• A3. 유한요소 정식화 및 자속밀도 계산 = 126
• Abstract = 130