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국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 분수의 나눗셈과 관련된 핵심개념을 추출하고 단어연상검사를 실시하여 분수의 나눗셈과 관련된 개념들이 어떻게, 얼마나 강하게 연결되어 있는지 조사하고 분석함으로써 분수의 나눗셈 문제해결 능력의 수준에 따라 학생들의 인지구조에 어떠한 차이가 있는지 이해하고 분수의 나눗셈에 관한 학생들의 이해를 향상시키기 위한 방법을 제안하는 것이다.

본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
가. 분수의 나눗셈과 관련된 개념에 대한 이해는 어떠한가?
나. 분수의 나눗셈과 관련된 개념 사이의 자동성 획득은 어떠한가?
다. 분수의 나눗셈과 관련된 개념들의 연결강도는 어떠한가?

본 연구는 이러한 연구 문제를 해결하기 위하여 6학년 학생들의 분수의 나눗셈 문제해결 능력을 우수, 보통, 기초학생별로 구분해줄 분수의 나눗셈 문제해결 검사지와 인지구조를 분석할 단어연상검사지를 개발하였다. 각각의 검사지는 이론적 배경을 근거로 개발되었으며 전문가 검토와 더불어 본 검사 대상과 비슷한 수준의 6학년 1개 반을 선정하여 예비검사를 실시함으로써 두 종류 검사지의 적절성 및 타당성을 살펴보았다. 본 검사는 강원도 6학년 학생 480명을 대상으로 두 종류의 검사를 실시하였다. 수집된 분수의 나눗셈 문제해결 검사지를 채점하여 기초 미만 학생을 제외하고 우수, 보통, 기초학생집단으로 구분하였으며 단어연상검사지는 우수, 보통, 기초 학생집단 별로 채점하여 불성의한 답변으로 채점이 불가능한 검사지를 제외하였다. 최종 선정된 334명의 단어연상검사 자료를 통해 6학년 학생들의 분수의 나눗셈 문제해결 능력 수준에 따라 인지구조를 분석하였다.

본 연구를 통하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다.
첫째, 분수의 나눗셈과 관련된 대부분의 개념에서 우수, 보통, 기초학생 집단으로 갈수록 관련된 한 개의 특정 개념으로만 치우쳐서 이해하고 있어서 연상기울기가 가팔라지는 것을 확인할 수 있었다.
둘째, 본 연구에서 핵심개념으로 제시되지 않았으며 교과서에 제시되지 않는 개념인 역수가 분수의 나눗셈과 관련된 다른 개념들과 관련지어 연상되었음을 확인할 수 있었다.
셋째, 우수, 보통, 기초학생 집단으로 갈수록 개념 주위의 집단적인 정보인 청크가 나타나는 단계가 낮아짐에 따라 청크의 자동성이 약함을 확인할 수 있었다.
넷째, 기초학생들의 개념 사이의 연상 빈도수는 우수나 보통학생들보다 적었지만 관련성 계수 측면에서는 큰 차이가 나지 않은 것을 통해 기초학생들이 문제해결에 어려움을 겪는 이유가 개념 간의 자동성 획득임을 알 수 있었다.
다섯째, 최종인지구조에서 우수와 보통학생들에 비하여 기초학생들의 연결수가 현저히 적은 것을 통해 보통학생들이 우수학생이 될 가능성보다 기초학생이 보통이나 우수학생이 될 가능성이 더 낮음을 알 수 있었다.
여섯째, 연구에서 기대했던 개념 간의 연결 중 자연수와 단위분수, 분수의 나눗셈과 분수의 뺄셈, 분수의 나눗셈과 통분, 분수의 나눗셈과 공배수의 연결은 모든 집단에서 관찰할 수 없었으며 보통학생 집단에서는 공약수와 약분의 연결을 관찰할 수 없었다.

결론적으로 학생들의 인지구조를 바탕으로 분수의 나눗셈에 관한 학생들의 이해를 향상시키기 위한 방법으로 본 연구에서 총 8가지 방법을 제안하였다.
가. 다양한 개념의 동시 활성화 지도
우수, 보통, 기초학생 집단으로 갈수록 관련된 한 개의 특정 개념으로만 치우쳐서 이해하고 있어서 연상기울기가 가팔라졌다. 따라서 다양한 개념이 동시 활성화 될 수 있도록 지도함으로써 연상기울기를 평평하게 나타나도록 해야 한다.
나. 기초학생은 분수의 뺄셈으로부터 분수의 나눗셈 학습
기초학생은 분수의 뺄셈의 해법이 분수의 나눗셈 해법과 관련된다고 생각하고 있었다. 따라서 기초학생들의 부진아 지도 시, 분수의 나눗셈을 단순 알고리즘 연습이 아닌 분수의 뺄셈으로부터 학습할 수 있도록 해야 한다.
다. 기초학생에게 공약수, 공배수, 단위분수 개념을 선험지식과 연결하여 지도
우수 및 보통학생들은 분수의 나눗셈과 관련된 핵심개념 12가지가 모두 인지구조에 제시되었지만 기초학생들은 공약수, 공배수, 단위분수가 제시되지 않았다. 따라서 기초학생들의 인지지구조 속 개념과 관련지어 공약수, 공배수, 단위분수 개념을 지도해야 한다.
라. 보통과 기초학생에게 분수의 연산에서 약분과 통분을 넘어 공약수와 공배수까지 연결하여 지도
기초학생은 공약수, 공배수 개념이 인지구조에 제시되지 않았고, 보통학생은 제시되었더라도 엉뚱한 개념과 연결되어 있었다. 따라서 보통과 기초학생들이 분수의 연산에서 약분과 통분을 할 때 공약수, 공배수 개념과 관련지어 함께 학습하게 함으로써 관련 개념이 바르게 청크화 될 수 있도록 해야 한다.
마. 개념간의 연결뿐만 아니라 연결강도 살피기
개념의 연결빈도수가 높다고 연결강도가 높게 나타나지는 않았다. 따라서 개념 간의 연결이 이루어졌는지 뿐만 아니라 어떤 개념이 어떤 순서로 연결되어 있는지 살핌으로써 연결강도를 높여야 한다.
바. 기초학생들의 인지구조 상에서 연결강도가 높은 연결에 대한 자동화 유도
기초학생들의 개념 사이의 연상 빈도수는 우수나 보통학생들보다 적었지만 관련성 계수 측면에서는 큰 차이가 나지 않았다. 따라서 연결강도가 높은 연결들이 자동성이 획득되도록 지도해야 한다.
사. 분수의 나눗셈과 분수의 뺄셈을 유기적으로 연결하여 지도
기초학생은 물론이고 보통과 우수학생들도 분수의 나눗셈과 관련된 청크와 분수의 뺄셈과 관련된 청크가 연결되지 못하였다. 따라서 분수의 뺄셈과 분수의 나눗셈을 유기적으로 연결하여 두 청크가 연결될 수 있도록 지도해야 한다.
아. 청크 내에서 개념 간의 연결강도가 균형을 이루도록 지도
우수와 보통 학생들은 분수의 뺄셈, 통분, 공배수가 바르게 청크화되어 있었지만 우수학생들은 분수의 뺄셈과 통분, 통분과 공배수의 관련성 계수 차이가 0.216인데 비하여 보통학생들은 0.441로 차이가 더 많이 나타났다. 따라서 청크 내에서 개념간의 연결강도가 균형을 이룰 수 있도록 지도해야 한다.

학습자가 느끼는 어려움의 정도에 대한 이해는 인지구조에 대한 이해로부터 시작될 수 있다(정현주, 2000). 다양한 수학 개념에 대한 학생들의 어려움을 구조적으로 분석하는 인지구조 연구에 본 연구가 밑거름이 되길 기대한다.

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본 연구의 목적은 분수의 나눗셈과 관련된 핵심개념을 추출하고 단어연상검사를 실시하여 분수의 나눗셈과 관련된 개념들이 어떻게, 얼마나 강하게 연결되어 있는지 조사하고 분석함으로...