평면상에서의 코시의 평균치정리에 대한 연구 = A Study on Cauchy's Mean Value Theorem for the Plane

국문 초록 (Abstract)

코시의 평균치정리는 x와 y가 [a, b]에서 연속이고 (a, b)에서 미분가능한 함수라면 x'(t_0)[y(b)-y(a)]=y'(t_0)[x(b)-x(a)]를 만족하는 (a, b)에서의 t_0가 존재한다. 이것을 기하학적으로 해석하면 Ω(x(t), y(t))가 평면상에서의 path라면 몇 가지 가정아래, 어느 시점에서의 속도벡터는 그 path의 양끝점을 잇는 벡터와 평행하다. 이러한 결론을 개선시킬 수 없을까? 특히 시점에서 종점까지의 벡터와 반드시 평행하지는 않고 같은 방향으로 움직이는 속도벡터를 취할 수 있을까?
예를 들어, Ω(1/2 t^2, 1/4 t^3), -1≤t≤1와 Ω(4-t^2, t^3-3t), -2≤t≤2는 코시의 평균치정리를 만족하지는 않는다. Ω(1/2 t^2, 1/4 t^3), -1≤t≤1(Figure1)에 대해 생각해보자. 이것은 코시의 평균치정리가 가능하지 않음을 보여준다. x(t)=1/2 t^2와 y(t)=1/4 t^3라 하자. 그러면 x(1)-x(-1)/y(1)-y(-1)=0이지만 x'(c)/y'(c)=0을 만족하는 c∈(-1, 1)가 존재하지 않는다. 다시말해서, 속도벡터 Ω'(t_0)가 Ω(a)에서 Ω(b)로의 벡터와 같은 방향을 갖도록하는 t_0가 존재하지 않는다. 또한 Ω(4-t^2, t^3-3t), -2≤t≤2 (Figure 2)도 마찬가지로 생각해 볼 수 있다. 이 두 path는 구간상에서 y'(t)≠0이라는 것을 간과하고 있다. 그러나 y'(t)=0이라 하더라도, t_0∈(a, b)인 t_0가 존재해서 그점에서의 속도벡터가 양끝점을 잇는 벡터와 같은 방향이면서 평행할 수 있을까? 예를 들어, y'(-□)=0=y'(□)이지만 t_0∈(-□, □)인 t_0가 존재해서 그 점에서의 속도벡터가 Ω(4-t^2, t^3-3t), -□≤t≤□의 양끝점을 잇는 벡터와 평행하고 같은 방향을 가르킨다. 따라서 R^2상의 path위에서의 코시의 평균치정리를 적용하기에는 충분치 않다. 우리의 주 관심사는 코시의 평균치정리를 개선하는데 있다. 또한 로피탈정리와 다복스정리의 유사한 형태를 연구할 것이다.
주정리는 다음과 같다.
정리1. Ω;[a, b]→R^2가 평면상에서 미분가능하고, nonstop인 arc라 하면, Ω'(t_0)=μ[Ω(b) - Ω(a)]를 만족하는 양수 μ와 구간 (a, b)에서의 t_0가 존재한다. 즉, 어떤 t_0에서 속도벡터 Ω'(t_0)는 Ω(a)에서 Ω(b)로의 벡터와 같은 방향을 가리킨다. 즉, 같은 이치로, Ω'(t_0)/∥Ω'(t_0)∥=Ω(b)-Ω(a)/∥Ω(b)-Ω(a)∥
정리2. Ω;[a, b]→R^2가 평면상에서 미분가능하고, nonstop인 arc라 가정하자. 더욱이 Ω가 a와 b, 두 지점에서 영벡터를 갖지 않는다고 가정하자. 그러면 Ω'(t)/∥Ω'(t)∥는 Ω'(a)/∥Ω'(a)∥와 Ω'(b)/∥Ω'(b)∥ 사이의 두 원모양의 호들 중에서 적어도 하나의 호 위에서 값을 반드시 갖는다. (이 정리는 실해석학에서의 다복스 정리를 의미하고 있다.)

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Cauchy's Mean Value Theorem states that if x and y are functions that are continuous on [a, b] and differentiable on (a, b), then there is a t_0 in(a, b) such that x'(t_0)[y(b)-y(a)]=y'(t_0)[x(b)-x(a)]. One geometric interpretation if this is that if Ω(x(t), y(t)) is a path in the plane, then, under certain hypotheses, there must be an instant at which the velocity vector is parallel to the vector joining the endpoints of the path. Can this conclusion be improved? In particular, can we get a velocity vector to point in the same direction as the vector from the first endpoint to the last and not just be parallel?
For example. Ω(1/2 t^2, 1/4 t^3), -1≤t≤4 and Ω(4-t^2, t^3-3t), -2≤t≤2 do not satisfied Cauchy's Mean Value Theorem. Let us consider Ω(1/2 t^2, 1/4 t^3), -1≤t≤1 (Figure 1). This shows the impossibility of the Cauchy's Mean Value Theorem. Let us x(t)=1/2 t^2 and y(t)=1/4 t^3. Then x(1)-x(-1)/y(1)-y(-1)=0, but there is not c∈(-1, 1) such that x'(c)/y'(c)=0. In other words, there does not exist a t_0 such that the velocity vector Ω'(t_0) points in the same direction as the vector from Ω(a) and Ω(b). So does Ω(4-t^2, t^3-3t), -2≤t≤2 (Figure 2). There two paths fail to notice a condition y'(t)≠0 on the interval. But, although y'(t)=0, can be there t_0∈(a, b) such that a velocity vector points in the same direction as the vector from the first endpoint to the last and is parallel?
For instant, althogh y'(-□)=0=y'(□), there is a t_0∈(-□. □) such that the velocity vector is parallel to the vector joining the endpoints of the path Ω(4-t^2, t^3-3t), -□≤t≤□ and points in the same direction as it. Thus, it is not sufficient to apply Cauchy's Mean Value Theorem on the path in R^2.
We will be interested in improving Cauchy's Mean Value Theorem. Also we will invextigate analogs of L'Hospital's Rule and Darboux's Theorem.
Main theorems are as follows :
THEOREM 1. If Ω;[a, b]→R^2 is a differentiable nonstop are in the plane, then there are a positive number μ and a t_0 in (a, b) such that Ω'(t_0)=μ[Ω(b) - Ω(a)]. That is, at some instant t_0, the velocity vector Ω'(t_0) points in the same direction as the vector from Ω(a), to Ω(b), or, what amounts to the same thing,
Ω'(t_0)/∥Ω'(t_0)∥=Ω(b) Ω/∥Ω(b)-Ω(a)∥
THEOREM 2. Suppose that Ω;[a, b]→R^2 is a differentiable, nonstop are in the plane. Suppose further that Ω has a nonzero derivative at both a and b. Then Ω'(t) takes on every value on at least one of the two circular arcs between Ω'(a)/∥Ω'(a)∥ and Ω'(b)/∥Ω'(b)∥.(This theorem implies Darboux's Theorem)

목차 (Table of Contents)

• 목차
• Abstract
• I. Introduction = 1
• II. Preliminaries = 4
• III. Main theorem = 7
• References = 13
• Korean Abstract = 14