수학적 모델링 과정에서 나타나는 중학생들의 메타인지 분석 = An analysis of meta-cognition types in middle school students revealed in the process of Mathematical modeling

국문 초록 (Abstract)

빠르게 변화하는 현 시대의 흐름에 발맞추어, 수학 교육은 학생들이 갖고 있는 지식과 쉽게 접할 수 있는 정보의 옳고 그름을 판단하고 그것들을 서로 연결 지어 지식을 활용하는 방법을 안내하는 역할을 할 수 있어야 한다. 2015 개정 수학과 교육과정에서는 학생들이 창의적 역량을 갖춘 융합 인재로 성장하기 위해 길러야 하는 수학 교과 역량을 제시하였는데 수학적 모델링은 6가지 수학 교과 역량과 연결되는 교수∙학습 방법임을 말하고 있다. 그런데 지식을 서로 연결하고 활용하는 방법은 ‘인지에 대한 인지’, ‘인지에 대한 반성’, ‘사고에 대한 사고’로 알려져 있는 메타인지와 관련이 깊다. 본 연구는 수학적 모델링 과정 중 수학적 모델의 적합성을 판단하는 과정에서 드러나는 학생들의 메타인지를 분석하고 수학적 모델링 과정에 메타인지가 긍정적인 역할을 할 수 있도록 하는 방법을 찾고자 하였다. 따라서 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

연구문제 1. 수학적 모델링 단계별로 나타나는 메타인지 요소를 분석한다.
연구문제 2. 메타인지 요소가 모델링 각 단계에서 하는 역할을 분석한다.

학생 5명을 모둠으로 구성하여 그들에게 총 2문제를 제시하였다. 첫 번째로 제시한 문제는 예비 문제로서 연구 방법의 방향을 설정하는 역할을 하였으며 두 번째 문제 상황을 해결하는 과정에서 나타난 학생들의 메타인지를 관찰하고 분석하였다. 그 결과는 다음과 같다.
첫째, 실세계 상황 이해 및 탐구 단계에서는 문제 해결 방법을 찾으려는 시도와 함께 문제 상황에 대해 이해하려고 노력하는 모습이 동시에 관찰되었다. 학생들은 자신이 경험한 실세계 상황과 문제 상황을 관련지어 고려하였고 이는 주어진 상황을 이해하는데 긍정적인 역할을 하였다.
둘째, 수학 문제 구성 단계에서 학생들은 주어진 문제 상황에서 무엇이 문제인지 직접적으로 언급하며 의견을 나누지는 않았다. 하지만 문제 상황을 해결하는데 있어서 적합한 방법을 판단하는 과정에서 학생들 스스로 자신이 구하고자 하는 것이 무엇인지 구체화할 수 있었다.
셋째, 수학적 모델 구성 단계에서는 실험을 통해 학생들 스스로 양과 양 사이의 관계를 식으로 표현하였다. 그러나 학생들은 이전 단계에서 얻은 결과와 현재 얻은 결과가 서로 상충된다는 점을 인지하지 못하였다. 이는 이전 활동을 지속적으로 확인하고 기억하는 것이 모델링 활동에 있어서 중요한 역할을 할 수 있다는 점을 시사한다.
넷째, 수학적 해 구하기 단계는 앞서 얻은 결과를 바탕으로 가격을 결정하는 단계인데 학생들은 자신이 경험해 본 바를 바탕으로 문제 상황의 의미를 재확인하며 가격을 결정하였다. 실세계 상황과 문제 상황을 연결하여 생각하는 것은 실세계 상황 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 하지만, 학생 스스로 고정된 개념이 자리 잡고 있는 상황에서는 또한 한계로 작용할 수 있다는 점을 관찰하였다.
다섯째, 모둠원들의 생각에 대해 비판적으로 생각하며 반성하고 문제점을 인지하는 경험과 그것에 대한 표현이 수학적 모델의 정교화 과정을 유도한다. 교사의 적절한 발문에 의해 학생들은 자신의 인지상태를 파악하고 잘못된 점을 발견할 수 있었다. 스스로 문제점을 인식한 후에는 기존의 전략을 수정하고 새로운 활동 방법을 제안하는 활동이 활발하게 이루어졌다. 이에 따라 모둠원들 사이에서 충분한 의견교환이 일어났다.
여섯째, 상황 해석 단계에서 학생들은 서로의 의견을 모아 최종적으로 문제 상황을 해결하였으며 그 결과를 보고 현실 상황과 관련지어 이야기를 나누었다.

결론적으로 교사는 모둠원들 사이에 충분한 의견교환이 일어나서 메타인지적 요소들의 상호작용으로 이어질 수 있도록 안내해야 하며 학생 스스로 이전 단계에서 관찰했던 내용을 기억하고 현재 자신이 하고 있는 활동과 비교할 수 있도록 도움을 주고 안내해야 한다. 긴 시간 동안 이어졌기 때문에 학생들 입장에서는 힘이 드는 수학적 모델링 과정이었지만 설문 결과 긍정적인 반응이 많이 관찰되었다. 수학적 모델링은 현재 교육과정에 언급되어 있는 것과 같은 맥락으로 꾸준히 강조되어야 한다. 이에 대해 교사는 학생들의 메타인지를 적절하게 이끌어 수학적 모델링 과정에 긍정적인 역할을 할 수 있도록 안내해야 한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

In keeping with the rapidly changing trend of the present age, Mathematics education should be able to judge the right and wrong of information that students can easily access, and to guide them how to use knowledge by linking them. In the 2015 revised mathematics curriculum, Mathematical modeling was identified as a method of teaching and learning linked to six mathematics curriculum competencies, which students should develop in order to grow into a fusion talent with creative competence. Also, the way to connect and utilize knowledge is related to the meta-cognition known as 'cognition about cognition', 'reflection on cognition', and 'thinking about thinking'. The purpose of this study is to analyze the meta-cognition of students in the Mathematical modeling process, and to provide some suggestions for finding ways to utilize the metacognition to positively play a role in the Mathematical modeling process. Therefore, the following research problems were set up.

1. Analyze the meta-cognitive factors that appear at each stage of Mathematical modeling.
2. Analyze the role of metacognitive factor in each step of modeling.

A total of 2 problems were presented. The first problem was to set the direction of the research method as a preliminary problem, and the process of solving the second problem situation was considered as the research data.
In the understanding and exploration phase of the real world situation, both the attempts to find solutions and the efforts to understand the problem situations were observed at the same time. The students considered the real-world situation and the problem situation that they experienced, and played a positive role in understanding the given situation.
In the course of constructing mathematical problems, students did not directly comment on what was the problem in a given problem situation and did not share their opinions. However, in the process of determining the appropriate method for solving the problem situation, the students could specify what they would like to ask themselves.
In the Mathematical modeling stage, students express themselves the relationship between quantity and quantity through experiments. However, the students did not realize that the results obtained at the previous stage and the results obtained at present are in conflict with each other. This suggests that continuing identification and remembering of previous activities can play an important role in modeling activities.
The mathematical solution step is to determine the price based on the results obtained earlier. Based on the experiences of the students, the students reconfirmed the meaning of the problem situation and decided the price. Although it is important to link real-world situations with problem situations to solve real-world situational problems, we have observed that students can also act as limitations in the context of fixed concepts.
Reflecting on the thoughts of the members of the group critically, reflecting and experiencing problems and expressing them leads to elaboration process of the mathematical model. Through the teacher's proper footing, students were able to grasp their own cognitive status and find out what was wrong. After recognizing the problems themselves, there have been active activities to revise existing strategies and suggest new ways of activities. As a result, there was a sufficient exchange of opinions among the group members.
At the stage of analyzing the situation, the opinions of the group members were collected and finally the problem situation was solved.
The teacher should guide enough interaction between the members of the group to lead to the interaction of the meta-elements and help the students to remember what they observed at the previous stage and to compare with the activities they are doing now Should be. It was a long process of Mathematical modeling for the students, but the results of the questionnaire were positive. Mathematical modeling should be consistently emphasized in the same context as is currently addressed in the curriculum. In this regard, the teacher should guide the student to take a proper role in the Mathematical modeling process by appropriately guiding the student's metacognition.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 2. 연구 문제 3
• 3. 용어의 정의 3
• 4. 연구의 제한점 5
• Ⅱ. 이론적 배경 5
• 1. 수학적 모델링의 의미 5
• 2. 수학적 모델링 과정 7
• 3. 수학적 모델링 문제의 특성 10
• 4. 메타인지의 개념 12
• 5. 메타인지의 영역 18
• 6. 선행연구 분석 19
• Ⅲ. 연구 방법 21
• 1. 연구 대상 21
• 2. 연구 방법 및 절차 22
• 3. 연구 도구 25
• 4. 자료 수집 29
• 5. 자료 분석 방법 30
• Ⅳ. 연구 결과 및 분석 34
• 1. 연구문제 1: 수학적 모델링 단계별로 나타나는 메타인지 요소 34
• 2. 연구문제 2: 메타인지 요소가 모델링 각 단계에서 하는 역할 52
• 3. 설문 결과 58
• Ⅴ. 결론 59
• 참고문헌 64
• Abstract 66
• <부록1 – 수학적 모델링 과정 전사자료> 69
• <부록2 – 수학적 모델링 문제 상황 해결 과정 요약자료> 98
• <부록3 – 설문 응답지> 100