Birkhoff 공리계의 교수학적 분석 = A Didactical Analysis on the Birkhoff’s Axiomatic System

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

School geometry has a assumption that a magnitude itself and the proportional
relation of magnitude can be numbered. We analyze this kind of assumptions
didactically. For this didactical analysis, we examine the Birkhoff's axiomatic
system which connects numbers and magnitude by line and angle measure, and the
geometry textbooks based on Birkhoff's axiomatic system.

국문 초록 (Abstract)

현 학교수학의 기본적인 가정 중 하나는 학교수학에서 다루는 기하적 양에 대하여 언제나 유일
한 실수를 대응시킬 수 있으며, 기하적 양 사이의 비례관계에 그 각각의 양에 대응되는 실수의 비
례관계를 대응시킬 수 있다는 것이다. 이 논문은 이와 같은 기하적 양과 실수 사이의 연결성에 대
한 교수학적 분석을 목적으로 한다. 이를 위하여 실수 체계의 성질을 기본 가정으로 삼고 선분의
길이와 각의 크기에 대한 공준을 통하여 기하적 양과 실수를 연결하는 Birkhoff의 공리계를 살펴보
고, 그 공리계가 구현된 교과서와 현행 교과서를 비교하여 분석한다. 이러한 분석은 Birkhoff의 공
리계를 바탕에 두고 구성한 교과서가 그 구체적인 진술 양상에 있어서는 차이를 보일 수 있다는 것
을 보여준다. 이러한 진술 방식의 차이에는 논리적으로는 생략 가능한 가정일지라도 교수학적 고려
에 의하여 수학적인 아름다움을 일부 희생할 수 있다는 학교수학의 기본철학이 숨어있다.

참고문헌 (Reference)

1 허학도, "직사각형 넓이 공식의 이해와 인식론적 장애" 서울대학교 2006

2 조태근, "중학교 수학 8-나" 금성출판사 2002

3 조태근, "중학교 수학 1" 금성출판사 2009

4 권석일, "중학교 기하 교재의 ‘원론’ 교육적 고찰" 서울대학교 2006

5 최영기, "수학사적 관점에서 본 피타고라스 정리의 증명" 대한수학교육학회 9 (9): 523-533, 2007

6 Eves, H, "수학사" 경문사 1995

7 우정호, "수학교육학 연구방법론" 경문사 2006

8 교육인적자원부, "수학 5-가" (주)대한교과서 2002

9 교육인적자원부, "수학 4-가" 천재교육 2006

10 교육과학기술부, "수학 2-1" 두산 2009

11 최지선, "닮음 개념에 대한 교수학적 분석" 서울대학교 2008

12 김서령, "고등학교 수학" 천재교육 2009

13 Sarton,G, "The first explanation of decimal fractions and measures" 23 (23): 153-244, 1935

14 De Morgan, A, "The connection of number and magnitude: an attempt to explain the fifth book of Euclid" Kessinger Publishing 2007

15 Lakoff, G, "The Metaphorical Structure of Mathematics: Sketching out cognitive foundations for a mind-based mathematics. In Mathematical reasoning: analogies, metaphors, and images" Lawrence Erlbaum Associates, Inc 21-89, 1997

16 Malet,A, "Renaissance notions of number and magnitude" 33 : 63-81, 2006

17 NCTM, "Principles and standards for school mathematics"

18 Gould,S.H, "Origins and development of concepts of geometry" C. B 1957

19 Kline,M, "Mathematical thought from ancient to modern times" Oxford University Press 1972

20 Allendoerfer, "Insights into Modern Mathematics"

21 SMSG, "Geometry : Student's text, part I" Yale University Press 1960

22 Legendre, A. M, "Elements of geometry and trigonometry, adapted by Davies, C" A. S. Brandes & CO 1866

23 NCTM, "Curriculum and evaluation standards for school mathematics"

24 Birkhoff,G.D, "Basic geometry" Chelsea Publishing Company 1959

25 Cajori,F, "Attempts made during the eighteenth and nineteenth centuries to reform the teaching of geometry" 17 (17): 181-201, 1910

26 Birkhoff,G.D, "A set of postulates for plane Geometry(based on scale and protractor)" 33 (33): 329-345, 1932

27 Stamper,A.W, "A history of the teaching of elementary geometry" AMS press 1909

28 Cederberg,J.N, "A course in modern geometries" Springer Verlag 1989