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국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 평행이동을 포함한 다양한 함수적 상황의 과제를 중심으로 한다. 변화율 유형에 따른 질적 그래프 과제를 제시하였을 때 학생들의 문제 해결 과정을 공변 추론으로 분석하고자 한다. 이를 위해서 아래와 같은 연구문제를 설정하였다.

1. 함수적 상황의 그래프 구성 과제에 대한 학생들의 공변 추론 수준은 어떠한가?

2. 평행이동을 포함한 역동적인 상황 과제인, 새로운 ‘Bottle Problem’ 대한 학생들의 공변 추론 수준은 어떠한가?

3. 문제 해결 과정에서 보이는 공변 추론 수준에 따른 학생들의 특징은 무엇인가?

분석을 위해 J중학교 1학년 25명에게 <사전 검사>를 실시하였다. 사전 검사의 결과에서 나타나는 학생들의 특징을 묶어 집단화 하였고, 각 집단 중 한명씩을 연구 대상자로 총 3명을 선정하였다.
본 연구의 결과를 토대로 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다.
첫 번째, 변화율이 일정하지 않은 함수적 상황을 그래프로 나타나기 위해서는 Calson 외(2002)에서는 ‘수준3’ 이상의 공변 추론이 가능해야하며, Thompson 과 Carlson(2017)에서는 ‘값의 조정’ 수준 이상이 되어야 함을 확인하였다. 왜냐하면 이산적인 순서쌍을 좌표평면에 나타내는 과정을 기본적으로 수행할 수 있어야 그래프의 개형을 정확하기 그릴 수 있기 때문이다.
두 번째, 중학교1학년 학생들은 직선의 평행이동에서 기울기가 유지된다는 것을 받아들이기 어려워한다. 평행이동되기 전 직선과 평행이동된 직선을 한 좌표평면 상에 그리고 몇 개의 점을 대입하여 기울기가 같을 것이라고 추측할 순 있다. 하지만 확신하기 위해서는 두 가지를 알아야 한다. 첫째, 평균변화율의 개념을 알아야 한다. 하지만 중학교 1학년 학생들을 연구한 선행연구들을 보면 Calson 외(2002)의 공변 추론 수준으로 ‘수준0~수준3’ 이 두루 관찰되었다. 평균변화율을 인식하기 위해서는 ‘수준4’ 가 부여되어야 한다. 둘째, 구간에 따라 연속적인 변화를 인식할 수 있어야 한다. 그러기 위해서는 Thompson 과 Carlosn(2017)의 공변 추론 주요 수준 중 ‘덩어리 연속 공변’ 이상이 되어야 한다. 점별 접근으로 시작하여 그래프를 처음 배우기 시작하는 중학교 1학년 학생들에게는 ‘덩어리 연속 공변’ 수준으로 공변 이미지를 상상하기는 매우 어렵다.
세 번째, 학생에게 부여되는 함수의 변환에 대한 공변 추론 수준은, 변환하기 전의 함수(선행지식)에 대한 공변 추론 수준의 결과에 영향을 받는다. 다시 말해서 선행지식에서 배운 함수적 상황을 인식할 때 부여된 공변 추론 수준이 보다 발전된 함수적 상황을 인식할 때 그대로 유지되거나 하위의 수준으로 부여된다. 왜냐하면 학생들은 물리적으로 유사한 과제의 경우 함수적 상황을 인식할 때 과거에 했던 사고과정을 시도하기 때문이다. 그 시도가 제대로 수행되지 않으면 낮은 공변 이미지를 갖게 되며, 성공적으로 수행되었을 때에는 공변 이미지가 유지되는 것으로 보였다. 따라서 평행이동을 포함한 여러 함수의 변환을 지도할 때 효과적인 지도 방안은 다음과 같다. 먼저 ‘’ 에 관한 함수적 상황을 다양한 과제로 제공해야 한다. 과제에 대하여 학생들이 보이는 결과를 그룹화하고 가능하다면 대표적인 학생을 선정하여 면담을 한 뒤 학생들의 공변 추론 수준을 파악해야 한다. 물론 수준을 파악하는 것에만 그치지 않아야 할 것이다. 따라서 평행이동 ‘’ 처럼 보다 역동적인 함수적 상황을 접할 때 학생들이 어떻게 인식할지 다음과 같이 예상하여야 한다. 교사는 ‘’ 에서 보인 공변 추론 수준과 동일한 공변 이미지를 가지거나 혹은 하위의 수준의 공변 이미지를 가질 것으로 예상하여 지도안을 구성해야한다.
네 번째, 학교에서 그래프 단원의 지도를 받기 전(사전 검사)과 후(본 검사)인 있어서 학생들의 공변 추론 수준이 전보다 상승하는 결과를 보였다. 따라서 그래프 단원 지도가 학생들에게 공변 추론의 관점으로 함수를 이해하기 유용한 지도 방향을 가지고 있다고 예상해 볼 수 있다. 따라서 관련된 후속 연구가 이루어지기를 제언한다. 반면, 본 검사에서 사전 검사보다 공변 추론이 낮아지는 결과가 한 경우 보였는데, 그 이유는 그래프 표현 방식이 막대 그래프에서 연속적인 직선 그래프로 변화되었기 때문이다. 막대 그래프보다 연속적인 직선 그래프가 중학교1학년 학생들에게는 역동적인 함수적 상황일 것이다. 따라서 일차함수와 이차함수, 삼차함수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수, 그래프를 지도할 때에, 교사는 이차함수 문제를 잘 푼다고 해서 그 다음에 배울 삼차 함수도 잘 해결해 나갈 거라고 생각하는 것을 경계해야한다.

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본 연구의 목적은 평행이동을 포함한 다양한 함수적 상황의 과제를 중심으로 한다. 변화율 유형에 따른 질적 그래프 과제를 제시하였을 때 학생들의 문제 해결 과정을 공변 추론으로 분석하...