괴델의 두 번째 불완전성 정리에 대한 해석에 관해서 : 괴델의 두 번째 불완전성 정리에 대한 표준적인 해석의 근거 그리고 비표준적인 해석의 근거에 대한 고찰

국문 초록 (Abstract)

독일 수학자 힐베르트(David, Hilbert)는 그의 「기하학의 기초」(1899)에서 기하학의 일관성을 산수의 일관성에 의거하여 증명하였다. 즉 산수에 대한 기하학의 상대적 일관성을 증명하였다. 때문에 힐베르트에게는 산수의 일관성 증명이라는 문제가 새롭게 중요한 것으로 대두되었다. 또한, 20세기 초에 ‘수학의 위기’를 초래한 러설의 역설(Russell's Paradox)이 제기 되었다. 그 후로 수학자들하고 논리학자들에게 그 역설의 문제가 공론화 되었지만 쉽게 해결되지 않았다. 이러한 상황에서 1920년대에 힐베르트는 고전 수학의 토대를 구축하기 위해서 힐베르트 프로그램으로 알려진 새로운 제안을 하였다. 힐베르트 프로그램의 가장 큰 특징은 공리적인 형식에서 수학의 모든 형식화와 수학의 일관성 증명을 요구한다는 것이다. 수학의 일관성이란 수학의 어떤 문장도 모순을 나타내지 않는 것이다. 일관성 증명은 힐베르트가 “유한적인” 추론이라고 불렀던 것만을 사용해서 수행될 수가 있었다.
G2를 이해하기 위해서는 먼저 페아노 산수(Peano Arithmetic, P.A.)라는 것을 알아야 한다. P.A.를 비형식적으로 설명하자면, P.A.는 자연수를 다룰 수 있고 덧셈과 곱셈을 할 수 있는 기본적인 산수를 포함한 형식적인 공리 체계이다. 또한 어떤 체계가 일관적이란 것은 그 체계 안에 모순을 나타내는 문장이 하나도 존재하지 않는다는 것이다. 이러한 배경에서 G2를 기술하면 다음과 같이 말할 수 있다. P.A.가 일관적이라면, P.A.는 자기 스스로의 일관성을 증명할 수가 없다는 것이다. 여기서 자기 스스로의 일관성을 증명할 수가 없다는 것은 P.A.의 형식화 된 방식으로 P.A.의 일관성을 증명할 수가 없다는 것이다. 그 형식화 된 방식이란 것이 바로 공리적인(axiomatic) 접근 방식을 말한다. 그리고 주의해야 할 점은 P.A.가 비일관적이란 것이 아니라 P.A.가 일관적이지만 형식화된 방식으로는 일관성을 증명할 수가 없다는 것이다. 반면에, 힐베르트 프로그램은 유한적인 추론에 의해서 수학의 일관성을 증명하려고 한 특징을 가진다. 힐베르트는 유한적인 추론에서 허용되는 수단들이 무엇인지 형식적으로 규정하지 않았다. 그러나 힐베르트가 가지고 있었던 수단들은 P.A.와 같은 산수 체계에서 형식화될 수가 있다는 것은 분명하다. 그런데 G2의 귀결에 의해서, 즉 P.A.가 스스로의 일관성을 증명할 수가 없다면, 기본적인 산수의 일관성 증명도 유한적인 추론으로 증명할 수가 없다. 때문에 힐베르트 프로그램은 수행될 수가 없다. 이것이 바로 G2의 핵심적인 내용이다.
G2가 힐베르트 프로그램을 반박한다는 해석을 표준적인 해석이라고 하자. 그러한 해석의 근거는 G2의 증명과정을 살펴보면 분명해지는데 이것은 본론 1에서 자세히 설명했다. 그러나 데틀레프센(Michael, Detlefsen)은 G2가 힐베르트 프로그램을 반박하지 않는다고 주장한다. 이러한 것을 비표준적인 해석으로 규정하자. 이것은 본론 2에서 상세히 소개했다.
이 논문의 목적은 G2에 대한 비표준적인 해석이 충분한 근거가 존재한다는 것을 보이기 위함이다. 그리고 그 목적을 성취하기 위해서 본론 1에서는 G2에 대한 표준적인 해석을 소개하고, 본론 2에서는 G2의 비표준적인 해석과 그에 대한 반박들을 다루었다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

David Hilbert, German mathematician, proved consistency of geometry based on the consistency of arithmetic in his 「Foundations of Geometry」(1899). In other words, he proved relative consistency of geometry for arithmetic. So, the problem, poof of arithmetic's consistency, became newly important for Hilbert. In addition, Rusell's Paradox creating ‘crisis of mathematics’ was suggested in the early 20th century. And then, the problem of paradox was publicly discussed among the mathematicians and logicians, but it was not solved easily. In this situation, Hilbert advanced a new suggestion known as the Hilbert's program so as to establish the base of classical mathematics in 1920s. The biggest characteristic of Hilbert program is to request all formalization of mathematics and consistency proof of mathematics in axiomatic form. Consistency of mathematics means no mathematical sentence shows contradiction. Consistency proof could be performed by what Hilbert called “finitary” methods.
To understand G2, Peano Arithmetic (P.A.) should be firstly known. If examining P.A. informally, P.A. can treat natural number and is formally axiomatic system including basic arithmetic which can calculate addition and multiplication. Also, consistent system means there is no sentence showing contradiction. If describing G2 under the background, it can be said as follows. If P.A. is consistent, P.A. cannot prove its own consistency. In here, the fact that its own consistency cannot be proved means consistency of P.A. cannot be proved by P.A.'s formalized method. The formalized method is rightly axiomatic approach. And, it must be watched that P.A. cannot prove consistency with axiomatic approach, not P.A is non-consistent. On the other hand, the Hilbert's program has a characteristic to prove consistency of mathematics by finitary reasoning. Hilbert didn't regulate measures permitted in finitary reasoning formally. But, it's clear that measures Hilbert had can be formalized in arithmetical system like P.A. But, if P.A. cannot prove its consistency by G2's conclusion, it cannot prove consistency of basic arithmetic with finitary reasoning. Therefore, the Hilbert's program cannot be conducted. It's rightly core content of G2.
Let's suppose that the interpretation G2 refutes Hilbert program is standard interpretation. If examining G2's proof, the grounds of interpretation become clear. It was minutely explained in the main subject 1. But, Detlefsen, Michael insists that G2 doesn't refute Hilbert program. Let's define it as non-standard interpretation. It was minutely introduced in the main subject 2.
The purpose of this thesis is to show that non-standard interpretation of G2 shows sufficient grounds. And, to achieve the goal, standard interpretation for G2 was introduced in the main subject 1 and non-standard interpretation for G2 and its refutation were treated in the main subject 2.

목차 (Table of Contents)

• 1. 서론 1
• 1.1 .힐베르트 프로그램의 동기 및 방법 1
• 1.2. 힐베르트 프로그램에 대한 반박으로서 괴델의 두 번째 불완전성 정리(이후로 G2라함) 2
• 1.3. 힐베르트 프로그램의 의의 2
• 2. 본론 1: G2에 대한 표준적인 해석 5
• 2.1.힐베르트 - 베르나이스의 도출 가능성 조건과 증명 가능성 술어 (Provability Predicate)에 대한 설명 5
• 2.2 .G2의 개략적인 증명 과정 설명 12
• 2.3. G2에 대한 표준적인 해석의 근거 14
• 3. 본론 2: G2에 대한 비표준적인 해석과 그에 대한 반론들 15
• 3.1 .데틀레프센의 비표준적인 해석의 근거 15
• 3.2. 데틀레프센에 따르면, 세 번째 도출가능성 조건은 정당화되지 않으며, 두 번째 도출가능성 조건을 만족하지 않는 증명가능성 (로저-증명)가 존재한다. 17
• 3.3. 스테이너와 아우어바흐에 따르면, 세 번째 도출가능성 조건은 구문론적으로 적어도 P.A.에서 정당화 가능하며, 로저-증명가능성은 공허한 개념이다. 18
• 3.4. 데틀레프센의 대응 (‘데틀레프센에 따르면, 아주 특수한 구성에서 세 번째 조건이 정당화가 되지 않는다.’) 22
• 3.5. 데틀레프센의 대응이 갖는 함축 27
• 4.결론 28
• 4.1. 요약 정리 28
• 4.2. 데틀레프센의 비표준적 해석이 갖는 철학적 의의 29
• 참고문헌 31
• Abstract 32