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다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this study was to analyze the ninth graders' structure sense displayed in solving quadratic equations by measuring their ability to recognize an equation as a structure and to suggest effective strategies for teaching and learning algebra.
The questions for this research were as follows;
1. Depending on the structures of quadratic equations, what differences are made in the ninth graders' ability to solve quadratic equations?
2. What differences in their structure senses are observed during the process of solving quadratic equations and what are the causes of these differences?
A group of 198 ninth graders in Y middle school(located in Guro-gu, Seoul) were asked to take a quadratic equation structure sense test. Out of 198, 15 test results were excluded because they were either left blank or had irrelevant answers to the test questions. The individual interviews with 4 students in need of in-depth analysis were conducted as well.
The quadratic equations on the test were divided into the 5 following structures([A]aχ²+bχ=0, [B]χ²±2aχ+a²=0, [C]χ²-a²=0, [D]acχ², [E]χ²=k), and each structure was classified into 3 types.
When solving each type of equations, students can:
● recognize a familiar structure in its simplest form.(type 1)
● deal with a compound term(power) as a single entity or choose appropriate manipulations(multiplications and divisions) to make best use of a structure.(type 2)
● deal with a compound term(sum) as a single entity and through an appropriate substitution recognize a familiar structure in a more complex form.(type 3)
The results were as follows;
First, as for the equations to which factorization formulas cannot be applied, the percentage of correct answers was relatively low. Of all the equations, the ones to be solved by factoring(structure [A]) were answered incorrectly by the highest percentage of the students. The response rate on the ones to be solved by square root(structure [E]) was relatively low. Many students solved the equations by expanding them, but failed to deal with a compound term(sum) as a single entity.
Second, when solving an equation, each student displayed different structure sense, upon which their problem-solving abilities varied. Students who showed a tendency to stick to a particular method regardless of the structures of equations failed to solve unfamiliar types of questions which cannot be solved with that particular method.
The results lead to the following conclusions;
First, students need to be exposed to a variety of range of equations which enable them to acquire a proficiency in using various formulas such as square root, perfect square, quadratic formula as well as factorization.
Second, students made a lot of mistakes while opening brackets, unable to recognize the structures. We should encourage students to identify equations not as an object of simple manipulation but as a structure.
Third, it is crucial that students realize each structure has its best solution through the experiences of tackling an equation repeatedly using different formulas and manipulations.
Lastly, in light of the fact that students got the wrong answers when using previously learned mathematical concepts such as the quality of equation and the definition of square root without fully comprehending the concepts, it is evident that we should facilitate students to solve equations with the basic concepts clearly understood.

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국문 초록 (Abstract)

본 연구의 목적은 중학교 3학년 학생들의 이차방정식 해결과정에서 나타나는 구조감각(structure sense)을 분석하여 이차방정식을 구조적 관점에서 다룰 수 있는지 알아보고 이를 통해 대수 교수·학습 방향에 시사점을 주는데 있다.
이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
가. 이차방정식 구조에 따른 학생들의 문제 해결력에는 어떤 차이가 있는가?
나. 이차방정식 문제 해결과정에서 나타나는 구조감각에는 어떤 차이가 있으며, 그 원인은 무엇인가?
연구 문제를 해결하기 위하여 서울특별시 구로구에 위치한 이용 가능한 집단 Y중학교 3학년 학생 198명을 연구대상으로 선정하였다. 그러나 검사지에 불성실한 응답으로 일관하거나 검사지 전체 문항에 무응답으로 반응한 학생 15명을 분석대상에서 제외하여 183명만을 분석대상으로 하였다. 보다 심층적인 자료 수집을 위해 지필검사 결과에서 특징적인 반응을 보인 학생 4명을 선정하여 면담을 실시하였다.
<이차방정식 구조감각 검사지>를 통하여 이차방정식의 구조에 따른 해결력의 차이를 분석하고, 해결과정에서 나타나는 구조감각의 차이와 그 원인을 알아보았다. 검사지에서 이차방정식의 구조를 5가지([A]aχ²+bχ=0, [B]χ²±2aχ+a²=0, [C]χ²-a²=0, [D]acχ², [E]χ²=k)로 나누고, 각 구조별로 구조감각 유형 3가지에 따라 이차방정식 문제를 세부적으로 분류하였다. 구조감각 유형 1은 가장 간단한 형식으로 주어진 이차방정식에서 잘 알려진 구조를 인식하여 문제를 해결할 수 있는 경우를 말하고, 구조감각 유형 2는 기본적인 구조를 잘 사용하기 위해서 복잡한 항(거듭제곱의 형태)을 하나의 실재로 다루거나 적절한 조작(곱셈과 나눗셈 등)을 선택하여 문제를 해결할 수 있는 경우를 의미한다. 구조감각 유형 3은 복잡한 항(합의 형태)을 하나의 실재로 다루고 적절한 치환을 통해 좀더 복잡한 형식에서 잘 알려진 구조를 인식하여 문제를 해결할 수 있는 경우를 말한다.
본 연구로부터 얻은 결과는 다음과 같다.
첫째, 이차방정식의 구조에 따른 해결력을 살펴보면 인수분해 공식을 적용하여 해결할 수 없는 문제에 대한 정답률이 상대적으로 낮게 나타났다. 공통인수로 묶어 해결해야 하는 문제(구조 A)에 대한 오답률이 가장 높게 나타났고, 제곱근을 이용하여 해결해야 하는 문제(구조 E)에 대해서는 무응답률이 높게 나타났다. 문제 해결과정에서 많은 학생들은 복잡한 항(합의 형태)을 하나의 실재로 다루지 않고, 전개하여 식을 정리하였다.
둘째, 동일한 이차방정식 문제라도 학생에 따라 사용하는 구조감각에 차이가 있었고, 이는 해결력에도 영향을 주었다. 이차방정식의 구조에 관계없이 한 가지 방법만을 주로 사용하여 문제를 해결한 학생들은 평소에 사용하는 방법으로 해결할 수 없는 문제가 주어진 경우 해를 구하지 못하였다.
본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.
첫째, 인수분해, 제곱근, 완전제곱식, 근의 공식 등과 같이 이차방정식을 해결할 수 있는 다양한 방법을 이해하고 이를 적용할 수 있도록 해야 한다.
둘째, 이차방정식 문제 해결과정에서 괄호 안에 있는 다항식을 하나의 실재로 다루지 못하고 전개하여 괄호를 제거하려고 하였다. 구조를 파악하지 않고 전개하여 해결하는 과정에서 불필요한 계산 절차로 인해 자주 실수를 범하였다. 그러므로 방정식을 단순한 문제 풀이의 과정이 아닌 형식적 조작의 대상으로서 바라볼 수 있도록 지도해야 한다.
셋째, 동일한 이차방정식 문제라도 어떤 구조를 사용하는가에 따라 문제 해결력에 차이가 있을 수 있으므로 다양한 문제 해결 경험을 통해 문제의 구조에 따라 유용한 해결방법이 다르다는 것을 인식할 수 있도록 해야 한다.
넷째, 이차방정식의 구조를 파악하여 문제를 해결하는 과정에서 등식의 성질이나 제곱근의 정의 등 이전에 배운 수학적 지식을 명확히 이해하지 않고 사용하여 오답을 한 학생들이 많았다. 따라서 방정식 해결에 필요한 기본적인 수학적 개념이나 성질 등을 정확히 이해할 수 있도록 해야 한다.

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본 연구의 목적은 중학교 3학년 학생들의 이차방정식 해결과정에서 나타나는 구조감각(structure sense)을 분석하여 이차방정식을 구조적 관점에서 다룰 수 있는지 알아보고 이를 통해 대수 교...