민감도(Greeks)를 해(Solution)로 갖는 블랙숄즈 편미분방정식(PDE) = Black-­Scholes Partial Differential Equation with the Sensitivities(Greeks) as Solution

국문 초록 (Abstract)

파생상품과 같은 조건부청구권(Contingent Claim)의 민감도(Greeks)를 산출하는 것은 위험관리에서 매우 중요하고, 헤지 운용을 위한 수익창출에도 매우 중요하다. 본 연구에서는 가격이 아닌, 민감도가 해(solution)인 편미분방정식(partial differential equation)을 이용하여 민감도를 계산하는 방법을 유한차분법(finite difference method)을 적용하여 제안한다. 또한, 실제 폐쇄형해(closed form solution)와 비교하였다. 분석결과, 민감도를 해로 설정하여 편미분방정식으로 계산한 값(numerical solution)과 실제 폐쇄형해에서 산출된 값이 수치적으로 동일하게 나타났다. 또한, 1일을 격자 1개로 설정하여 계산한 경우보다 3개의 격자로 세분하여 계산한 값이 더 정확하게 나타났다. 그리고 변동성이 높을수록 격자의 범위를 높여야 하며 500%까지 설정한 부분에서 오차가 현저하게 떨어졌다. 따라서 하루의 격자를 적절하게 설정하고 변동성에 따라 기초자산 가격의 범위만 잘 정의할 수 있다면, 본 연구에서 제시한 민감도 자체의 편미분방정식(PDE)의 해는 실제 폐쇄형해와 일치한다는 것을 모델링하여 검증하였다. 이 방법을 이용하면 향후 시간대비 효율적인 민감도를 산출 할 수 있을 것이라 기대한다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

Calculating the sensitivities(Greeks) of contingent claims such as derivatives is very important in risk management and also in generating profits for hedging operations. In this study, we propose a method of calculating sensitivity using the finite difference method using a partial differential equation in which sensitivity itself, not price, is the solution. Additionally, it was compared with an actual closed form solution. As a result of the analysis, by setting the sensitivities to the solution, the value calculated from the partial differential equation(numerical solution) and the value calculated from the actual closed form solution were numerically identical. In addition, the value calculated by dividing one day into three grids appears more accurately than when calculating by setting one day to one grid. Also, the higher the volatility, the higher the grid range should be, and the error dropped significantly when set to 500%. Therefore, if the daily grid can be properly set and the range of the underlying asset price can be well defined according to volatility, the solution of the partial differential equation(PDE) of the sensitivities presented in this study is actually a closed form solution. It was verified by modeling that it appeared consistent with the solution. Using this method, it is expected that efficient sensitivities compared to time will be calculated in the future.