영점의 특성 분석과 제어 시스템 설계 응용 = Zeros property analyses with applications to control system design

국문 초록 (Abstract)

이 논문에서는 전달함수(Transfer Function)에서 영점(Zero)을 가진 단입출력(Single Input, Single Output) 물리적 시스템의 응답특성을 분석하고, 그 결과를 이용하여 제어기 설계문제에서 영점 때문에 나타나는 여러 가지 절충(Trade-Off) 문제를 다룬다.
시스템이 안정하도록 되먹임제어기(Feedback Controller)를 잘 설계하더라도 위치가 변하지 않고 그대로 남아있는 영점 때문에 시스템의 과도응답(Transient Response) 특성이 좋지 않게 나타날 수 있다. 이 논문에서는 이러한 영점의 특성을 분석하기 위하여 우선 일반적 인 2차 시스템(Second-Order System)에 대한 과도응답 특성을 해석적인 방법(Analytic Method)을 통하여 분석한다. 시스템의 임 펄스응답(Impulse Response)과 단위 계단응답(Unit Step Response)의 정확한 해를 제시하고, 이러한 해를 통하여 단위계단응답의 최대하향초과(Peak Undershoot)와 최대하향초과시간(Peal: Undershoot Time), 최대초과(Maximum Overshoot)와 최대초과시간(Maximum Overshoot Time) 등을 계산한다. 또한, 2차 시스템이 초과현상(Overshoot Phenomenon)이 나타나지 않거나 단조증가(Monotone Nondecreasing)하는 계단응답(Step Response)을 가질 필요충분조건을 제시한다. 제시된 조건들은 고차시스템(High-Order System)을 직렬형(Series) 부시스템(Subsystem)이나 병렬형(Parallel) 부시스템으로 분해하는 방법을 통하여 고차시스템을 위한 충분조건으로 확장할 수 있다.
이 논문에서는 영점으로 인해 나타나는 여러 가지 특성을 분석하기 위해 제어시스템 분야에서 자주 사용되는 라플라스변환을 이용한다. 라플라스 변환이 가능한 함수가 만족해야만 하는 라플라스 적분 형태의 새로운 등식을 제시하고, 이를 단위되먹임제어(Unity-Feedback Control) 방식에서 활용하는 방법을 제안한다. 또한, 우반면(Right Half Plane)에 영점이나 극점(Pole)을 가진 시스템은 그러한 영점과 극점으로 인해 또 다른 등식이 성립해야함을 보인다. 이러한 적분등식(Integral Equality)을 이용하여 수렴영역(Convergence Region)에 위치한 영점이나 극점에 의해 나타나는 여러가지 성능제한조건(Performance Limitation)을 제시한다. 특히, 정착시간(Settling Time)에 따른 임펄스응답의 최대간이 갖는 최소경계간(Lower Bound)을 제시하고, 비최소위상(Nonminimum Phase) 시스템 이 나 불안정한 시스템은 안정한 최소위상(Minimum Phase) 시스템보다 더 큰 최소경계값을 가짐을 보인다. 또한, 단위계단응답에서 최대초과의 최소경계값을 제시하고, 단위되먹임을 사용하여 제어기를 구성할 경우에 계단응답에서 초과현상이 나타나게 될 충분조건을 제시한다. 따라서 불안정한 실극점(Real Pole)을 가진 시스템은 단위되먹임 방식으로 제어기를 설계하면 계단응답에서 항상 초과현상이 나타남을 알 수 있다.
마지막으로 이 논문에서는 실영점(Real Zero)과 실극점만을 가진 최소위상 시스템 이 단조증가하는 계단응답을 가질 조건과 어떠한 경우에 가장 빠른 응답을 얻을 수 있는지를 보인다. 결과적으로, 같은 직류이득(DC Gain)과 극점들을 갖고있는 시스템중에서 상대차수(Relative Degree)가 1이고, 모든 영점의 곱의 절대값이 가장 작은 시스템이 가장 빠른 응답을 갖게 된다. 이러한 결과를 바탕으로 시스템이 가장 빠른 계단 응답을 갖도록 하는 제어기를 설계한다. 또한, 가장 빠른응답을 갖게하는 극점과 영점의 배치는 최적저가제어(Optimal Cheap Control)와 같음을 알 수 있다. 각 장에 포함된 여러 모의실험(Simulation) 예제를 통하여 이 논문에서 제시하는 이론들의 유용성을 보인다.

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This thesis investigates some characteristics of the output responses of SISO(Single Input, Single Output) systems represented by transfer functions. It also deals with some trade-off relations imposed by open-loop poles and zeros located in the convergence region of the system, which frequently conflict with each other in controller design problems.
Since system zeros are not changed even though a feedback controller is properly designed in order to make the closed-loop system stable, they might badly affect the transient response of the system. In this thesis, it firstly analyzes transient responses of all second-order systems by the analytic method. Using the Laplace transform technique, it has presented the impulse and the unit step responses of the second-order systems on the time-domain, which can be used to compute the peak undershoot, the peak undershoot time, the maximum overshoot and the maximum overshoot time, etc. Moreover, it has formulated the sufficient and necessary conditions for the nonovershooting or the monotone nondecreasing step response of the second-order systems, which can be extended to another sufficient conditions for the monotone nondecreasing step response of high-order systems by series or parallel connections of some subsystems.
In the second place, this thesis establishes some integral equalities about Laplace transformable functions imposed by zeros in the convergence region of the transfer function such as imaginary axis zeros and RHP(Right Half Plane) zeros. In the unity-feedback control scheme, another integral equality is also derived on the out-put responses of the system with open-loop poles located in the right side of the dominant pole of the closed-loop system. These integral equalities can be applied to understanding some fundamental limitations of the control system with the rational transfer function. Especially, it shows that the system has some lower bounds between the maximum magnitude of the impulse or the unit step response and the achievable settling time, and shows that RnP zeros necessarily imply more severe lower bounds on the responses. Moreover, it shows that open-loop unstable poles and RHP zeros necessarily imply the overshoot and the undershoot in the step response, respectively.
Finally, it has investigated some conditions which guarantee the fastest rise and settling time in the step response of SISO LTI(Linear Time-Invariant) systems with real poles and zeros. As one of main results, it is shown that any LTI stable system with the relative degree 1 and the smallest absolute value of the zeros' product has the fastest step response among those systems with the same positive DC gain and the same poles. Based on the results, it gives some controller design guidelines such that the system has the fastest step response. The pole-zero configuration of the proposed results is the same as that of the cheap control in the LQ(Linear Quadratic) problem for SISO systems. To exemplify usefulness of the results proposed in this thesis, some simulation examples are included in each chapter.

목차 (Table of Contents)

• 국문 요약 = i
• Abstract = iii
• Contents = v
• List of Figures = viii
• List of Tables = xi
• 1 Introduction = 1
• 1.1 Related works, Motivations and Research Issue = 1
• 1.2 Organization of the Thesis = 4
• 2 Time-Domain Analysis and Monotone Nondecreasing Step Response of Second-Order Systems = 6
• 2.1 Unit Step Response and Time-Domain Specifications = 7
• 2.2 Prototype Second-Order System = 10
• 2.2.1 Undamped(ζ=0)Case = 11
• 2.2.2 Underdamped(0<ζ<1)Case = 11
• 2.2.3 Critically Damped(ζ=1)Case = 12
• 2.2.4 Overdamped(ζ>1)Case = 12
• 2.3 Second-Order System with One LHP Real Zero = 14
• 2.3.1 Undamped(ζ=0)Case = 14
• 2.3.2 Underdamped(0<ζ<1)Case = 15
• 2.3.3 Critically Damped(ζ=1)Case = 17
• 2.3.4 Overdamped(ζ>1)Case = 17
• 2.4 Second-Order System with One RHP Real Zero = 18
• 2.4.1 Undamped(ζ=0)Case = 20
• 2.4.2 Underdamped(0<ζ<1)Case = 21
• 2.4.3 Critically Damped(ζ=1)Case = 23
• 2.4.4 Overdamped(ζ>1)Case = 23
• 2.5 Monotone Nondecreasing Step Response = 26
• 3 Integral Equalities related to Laplace Transformable Functions = 33
• 3.1 Preliminaries and Notations = 34
• 3.2 Integral Equalities = 36
• 3.3 Applications to the Feedback Control System = 41
• 4 Fundamental Limitations on Impulse and Step Responses of SISO Systems = 46
• 4.1 Preliminaries = 47
• 4.2 Limitations on the Frequency-Domain = 48
• 4.3 Lower Bounds on Impulse Responses = 49
• 4.4 Fundamental Limitations on Step Responses = 59
• 5 Monotone Nondecreasing Step Response to Minimum Phase Systems = 67
• 5.1 Preliminaries = 68
• 5.2 Effects of Adding Zeros = 73
• 5.3 The Fastest Monotone Nondecreasing Step Response = 80
• 5.4 Controller Design Guidelines = 88
• 5.5 Analogy to the cheap control of LQ Problem = 92
• 6 Conclusions = 96
• 6.1 Contributions = 96
• 6.2 Further Works = 98
• Bibliography = 99
• Acknowledgement = 108