두 중학생 간의 ‘변화율의 일정함’과 ‘변화율의 일정한 변화’에 대한 이해의 차이 비교 및 분석 = Two Middle School Students’ Understanding of ‘Constant Rate of Change’ and ‘Constant Rate of Change of Rate of Change’

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The purpose of this case study is to analyze students’ understanding of ‘constant rate of change’ and ‘constant rate of change of rate of change’ in a functional situation. Two students participated in a class six times (April to June, 2018). Neither student had ever learned linear functions at school. Analysis of the class revealed marked differences between student A and student B in graphically expressing and interpreting situations involving varying rates of change. This study focuses on their actions to express and to interpret analyzed the two students’ meaning of ‘constant rate of change’ and ‘constant rate of change of rate of change’. These results indicate the importance of understanding ‘constant rate of change' when learning graphs and functions.

국문 초록 (Abstract)

본 사례 연구의 목적은 변화율을 포함하는 상황을 그래프로 나타내는 과정에서 드러나는 두 중학생 간의 ‘변화율의 일정함’과 ‘변화율의 일정한 변화’에 대한 이해의 차이를 비교 및 분석하는 것이다. 이를 위해 학교수학에서 일차함수를 학습한 경험이 없는 중학생 2명을 대상으로 2018년 4월부터 6월까지 총 6회(12차시) 수업을 실시하였다. 수업을 분석하는 과정에서 변화율이 음수이거나 변화율이 일정한 비율로 변하는 상황에서 학생 S만이 상황에 적절한 그래프를 나타내고 해석하였다. 이에 변화율을 포함하는 과제의 해결에서 나타나는 두 학생 간의 차이와 그 원인을 분석하였고, 그 결과는 다음과 같다. 1) 직선 모양과 곡선 모양인 그래프를 ‘변화율의 일정함’의 여부로 설명하더라도 학생들이 주목하는 양들 사이의 관계와 그 변화에 대한 인식은 서로 다를 수 있으며, 2) 이러한 차이는 일정한 변화율이 음수인 상황뿐 아니라 변화율이 일정한 비율로 변하는 상황을 이해하는 과정에서도 유사하게 드러남을 확인하였다.

참고문헌 (Reference)

1 마민영, "중학생들의 함수의 그래프에 대한 이해와 발달" 대한수학교육학회 18 (18): 457-478, 2016

2 마민영, "일차함수의 식 ‘y=ax+b’의 표현과 해석에서 드러나는 ‘a’에 대한 중학생간의 서로 다른 의미" 대한수학교육학회 27 (27): 227-247, 2017

3 이동근, "이차함수에서 두 변량사이의 관계 인식 및 표현의 발달 과정 분석: 민선의 경우를 중심으로" 한국수학교육학회 54 (54): 299-315, 2015

4 김남희, "예비교사와 현직교사를 위한 수학교육과정과교재연구" 경문사 2017

5 김채연, "연속적으로 공변하는 두 양에 대한 추론의 차이가 문제 해결에 미치는 영향" 한국수학교육학회 55 (55): 251-279, 2016

6 교육부, "수학과 교육과정. 교육부 고시 제2015-74호 [별책 8]"

7 마민영, "대수 문장제의 해결에서 드러나는 중등 영재 학생간의 공변 추론 수준 비교 및 분석" 대한수학교육학회 18 (18): 43-59, 2016

8 이동근, "구간에서의 변화율에 대한 인식과 표현에 대한 연구" 대한수학교육학회 27 (27): 1-22, 2017

9 길병휘, "교육연구의 질적 접근" 교육과학사 2001

10 Lobato, J., "Using student reasoning to inform the development of conceptual learning goals : The case of quadratic functions" 14 : 85-119, 2012

11 마민영, "SimCalc MathWorlds를 활용한 함수적 상황에서 드러나는 중학생들의 일정한 변화율에 대한 이해" 대한수학교육학회 27 (27): 599-614, 2017

12 Castillo-Garsow, C., "Quantitative reasoning and mathematical modeling: A driver for STEM integrated education and teaching in context Vol. 2" University of Wyoming College of Education 55-73, 2012

13 National Council of Teachers of Mathematics, "Principles and standards for school mathematics" NCTM 2000

14 Oehrtman, M. C., "Making the connection:Research and practice in undergraduate mathematics" Mathematical Association of Ameri 27-42, 2008

15 Thompson, P. W., "Images of rate and operational understanding of the Fundamental Theorem of Calculus" 26 (26): 229-274, 1994

16 Thompson, P. W., "Images of rate" 1992

17 Ellis, A. B., "Early algebraization" Springer-Verlag Berlin Heidelberg 215-238, 2011

18 Thompson, P. W., "Compendium for research inmathematics education" National Council of Teachers of Mathematics 421-456, 2017

19 Carlson, M., "Applying covariational reasoning while modeling dynamic events : A framework and a study" 33 (33): 352-378, 2002