무한 개념의 직관적 사고 분석과 2차직관 지도 : 고등학생을 중심으로

국문 초록 (Abstract)

현행 고등학교 수학교육은 학생들에게 내재적 확신을 주기보다 논리적으로 구조화된 지식의 전달에 중점을 두고 있다. 그러나 수학적 힘은 직관적으로 사고하는 과정에서도 길러지기 때문에 학생 스스로 문제 상황을 통해 직관의 중요성을 느낄 수 있도록 해야 한다.
한편, 직관은 항상 오류 가능성을 잠재적으로 포함하고 있으므로 과신해서는 안 된다. 따라서 수학학습에서 직관으로 인한 오류를 피하고, 직관적 추측과 평가를 개선하기 위한 교수-학습 방안도 모색해야 한다.
현행 수학교육과정은 무한에 관련된 개념을 다루고 있지만 학생들에게 기존에 형성되어 있는 무한에 대한 제1직관(잠재적 무한 개념)이 개선되지 않고, 극한이나 미적분을 위한 암묵적인 가정으로만 교육과정이 진행되고 있다. 따라서 무한 개념에 대한 많은 오류가 발생된다. Fischbein에 의하면 제1직관은 12~13세 이후로는 체계적이고 장기적인 지도가 행해지지 않으면 변하지 않은 채로 고착된다고 하였다. 따라서 제1직관으로 형성된 오개념을 체계적인 지적 훈련을 통해 "제2직관(실 무한 개념)"으로 수정해야 한다.
이러한 연구의 필요성에 따라 본 연구에서는 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.
첫째, 고등학교 1학년 학생들의 무한 직관에 대한 제2직관을 계발할 수 있는 학습 활동지를 개발한다. 둘째, 학습활동 후 문항 분석을 통해 학생들의 직관적 사고의 발현정도와 상태를 분석한다.
지필검사는 크게 세 부분의 활동으로 이루어졌다. 먼저 학생들의 무한 직관의 발현 상태를 알아보기 위한 사전검사를 하고, 무한 개념의 2차 직관의 발현을 위한 학습활동을 하였다. 그리고 개선된 문항 검사지로 학생들의 사후 검사를 하였다. 지필검사는 인문계 고등학교 1학년 학생들 중에 중학교 성적이 상위 33%안에 속하는 학생 80명을 대상으로 하였다. 면담조사는 지필검사 결과를 분석하여 대상자를 선정하여 실시하였다.
본 연구의 결과로 다음 사실을 알 수 있었다.
첫째, 잠재적 무한 개념에 강하게 의존한 학생들은 인지적 갈등을 겪은 후에는 정당화가 명료해졌고, 내재적 확신을 갖게 되었다.
둘째, 문제 해결과정에서 점의 spot 모델이 추론에 영향을 끼쳐 오류를 발생시켰다. 학습활동에서 일대일 대응의 개념과 무한에 대한 ‘반 직관적 상황’을 제시한 결과 세련되고 명료한 정당화가 이루어졌다. 또한 직관적 판단의 상황에서 점의 spot 모델에 의한 오류가 줄고, 무한의 일대일 대응에 대한 새로운 개념을 습득하게 되었다.
셋째, 학습활동 결과 실 무한 개념이 정립되었고, 선분의 길이의 합을 구하는 문항의 정당화 과정에서 직관적 모델을 구안해 냈다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 1
• 1.1 수학교육에서의 직관의 역할 1
• 1.2 무한 개념과 직관 2
• 2. 연구문제 4
• 3. 용어의 정리 4
• 4. 기대되는 효과 5
• Ⅱ. 이론적 배경 6
• 1. 직관의 수학 교육적 의미 6
• 1.1 Pestalozzi의 직관의 원리 6
• 1.2 Piaget의 직관 8
• 2. Fischbein의 직관 8
• 2.1 직관의 특징 8
• 2.2 직관의 분류 13
• 3. 직관의 오류 17
• 3.1 직관의 특징의 영향 17
• 3.2 시각화의 영향 18
• 3.3 인식론적 장애의 영향 20
• 3.4 교수학적 영향 21
• 4. 무한 개념의 고찰 22
• 4.1 실무한과 가무한 22
• 4.2 무한 개념에 대한 직관적 사고를 다룬 연구 24
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 28
• 1. 지필검사 28
• 1.1 연구대상 28
• 1.2 도구 28
• 1.3 연구절차 29
• 2. 면담조사 30
• 2.1 연구대상 31
• 2.2 면담절차 31
• Ⅳ. 연구 결과 및 분석 33
• 1. 문항별 자료 분석 33
• 1.1 문항 1 33
• 1.2 문항 2 37
• 1.3 문항 3 41
• Ⅴ. 결론 및 제언 48
• 1. 요약 및 결론 48
• 2. 제 언 51
• < 참 고 문 헌 > 53
• <부록 1> 무한 개념에 대한 직관적 사고 검사지(사전검사용) 55
• <부록 2> 무한 개념에 대한 직관적 사고 검사지(사후검사용) 58
• <부록 3> 학습 활동지 61