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경민호,곽종근,최정주 (사)한국컴퓨터그래픽스학회 2011 컴퓨터그래픽스학회논문지 Vol.17 No.3
Computing triangle-triangle intersections has been a fundamental task required for many 3D geometric problems. We propose a novel robust GPU algorithm to efficiently compute intersections in a large triangle set. The algorithm has three stages:k-d tree construction, triangle pair generation, and exact intersection computation. All three stages are executed on GPU except, for unsafe triangle pairs. Unsafe triangle pairs are robustly handled by CLP(controlled linear perturbation) on a CPU thread. They are identified by floating-point filtering while exact intersection is computed on GPU. Many triangles crossing a split plane are duplicated in k-d tree construction, which form a lot of redundant triangle pairs later. To eliminate them efficiently, we use a split index which can determine redundancy of a pair by a simple bitwise operation. We applied the proposed algorithm to computing 3D Minkowski sum boundaries to verify its efficiency and robustness. 삼각형간의 교차 계산은 많은 3차원 기하 문제들을 해결하는데 있어서 기본적으로 요구되는 연산 과정이다. 본 논문에서는 대량의 삼각형 집합 안에서의 교차 계산을 효율적이며 강인하게 처리할 수 있는 GPU 알고리즘을 제안한다. 이알고리즘은 k-d 트리의 구성, 삼각형쌍 생성, 정확한 교차 계산을 모두 GPU에서 처리한다. 여기서 사용되는 k-d 트리에서는 분할 과정 중에 삼각형들의 복사가 많이 발생한다. 이렇게 복사된 삼각형들로 인하여 중복된 삼각형쌍들이 많이생성되는데,이러한중복삼각형쌍들을효율적으로제거하기위하여분할인덱스를도입하였다.분할인덱스는간단한논리곱연산만으로중복여부를효과적으로판단할수있다.수치적강인성을높이기위하여는부동소숫점필터링을통해불안전한삼각형쌍들을분리하고, CLP(controlled linear perturbation)를이용하여CPU쓰레드에서처리하도록하였다. 제안한 알고리즘은 기존의 민코스키합 알고리즘의 합삼각형 교차계산에 적용하여 효율성과강인성을입증하였다
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경민호,Elisha Sacks (사)한국컴퓨터그래픽스학회 2010 컴퓨터그래픽스학회논문지 Vol.16 No.2
기하학에서 민코스키합은 두 집합에 들어 있는 모든 점들간의 합으로 이루어지는 집합을 구하는 연산으로 정의되는데, 로보틱스, NC 가공, 솔리드 모델링 등의 다양한 분야의 기하학적 문제를 다루는 매우 유용한 이론적 도구로 사용되고 있다. 하지만, 단순한 정의에도 불구하고 수치연산의 반올림 오차로 인하여 다면체간의 민코스키합을 정밀하고 강건하게 계산하는 것은 매우 어렵다. 본 논문에서는 컨볼루션 계산방법을 이용하여 다면체간의 민코스키합 경계를 계산하는 알고리즘을 제안한다. 알고리즘의 강건성을 보장하기 위한 방법으로 CLP(controlled linear perturbation) 기법을 처음으로 적용하였다. CLP는 인위적 교란방법의 하나로 알고리즘의 강건성을 해치는 반올림 오차에 의한 논리적 오류발생을 막는다. 본 논문의 알고리즘은 실험 예제들에서 민코스키합의 경계면을 구성하는 완전한 2차원 다양체 구조메시를 10⁻¹⁴의 정밀도로 출력하고, 이때 입력 다면체의 꼭지점 좌표는 10⁻¹⁰까지 교란되는 결과를 얻었다 Minkowski sum of two polyedra is an operation to compute the sum of all pairs of points contained in the polyhedra. It has been a very useful tool to solve many geometric problems arising in the areas of robotics, NC machining, solid modeling, and so on. However, very few algorithms have been proposed to compute Minkowski sum of polyhedra, because computing Minkowski sum boundaries is susceptible to roundoff errors. We propose an algorithm to robustly compute the Minkowski sum boundaries by employing the controlled linear perturbation scheme to prevent numerically ambiguous and degenerate cases from occurring. According to our experiments, our algorithm computes the Minkowski sum boundaries with the precision of 10⁻¹⁴ by perturbing the vertices of the input polyhedra up to 10⁻¹⁰.
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