초등학교 5학년의 산술적 사고 수준 분석

임미인 한국초등수학교육학회 2020 한국초등수학교육학회지 Vol.24 No.1

Since arithmetic is the foundation of school mathematics, it needs to be taught meaningfully in the direction of improving arithmetical thinking levels of students beyond the fluency of computing skills. Therefore, in this study, the arithmetical thinking levels of 100 students in 5th grade were analyzed by applying the arithmetical thinking level test. As a result, 82 students were at 1st level and 15 students were at 2nd level of the arithmetical thinking. I analyzed the characteristics of arithmetical thinking and types of errors and misconceptions made by the students, and derived some didactical implications for arithmetic education in elementary school mathematics. 산술은 학교수학의 기초가 되기 때문에 학생들의 계산 숙달의 측면을 넘어서 산술적 사고 수준을 신장시키는 방향으로 의미 있게 지도되어야 한다. 이에, 본 연구에서는 임미인, 장혜원(2017b)에서 개발한 산술적 사고 수준 검사 도구를 활용하여 초등학교 5학년 100명을 대상으로 산술적 사고 수준을 분석하였다. 분석 결과, 100명 중 82명이 산술적 사고의 1수준, 15명이 2수준에 해당하고, 0수준, 3수준, 4수준에 해당하는 학생이 각 1명인 것으로 나타났다. 이는 초등학교 고학년에 해당하는 5학년 학생들의 산술적 사고 수준이 일반적인 예상보다 낮음을 보여 주는 결과이다. 따라서, 높은 비율을 보인 1수준, 2수준 학생들이 지니는 산술적 사고의 특징, 오류 유형 등을 분석하고, 그에 대한 논의로부터 초등 수학에서 학생들의 산술적 사고 수준을 신장시키는 것에 관한 유의미한 시사점을 도출하였다.

초등학교 2학년의 초기 대수 관련 문제 해결 전략 분석

임미인,장혜원 대한수학교육학회 2019 수학교육학연구 Vol.29 No.3

The purpose of this study was to investigate the preparation for learning algebra of 2nd graders and to derive some didactic implications of transition from arithmetical thinking to algebraic thinking. 100 2nd graders in elementary school were selected as subjects of this study from H, J, K, W elementary schools in Seoul, and B elementary school in Gyeonggi-do. These students were found to be less than 1st level of arithmetical thinking as a result of the preliminary test according to the arithmetical thinking level test developed by Lim & Chang(2017). Questionnaires were prepared by adapting and reconstructing four word-problems for preparing algebraic learning which are proposed to be available to 1st and 2nd graders in elementary school by Caldwell et al.(2011), and Caldwell et al.(2014). Using the questionnaires, the students’ problem solving strategies were analyzed. From the results of the analysis, some meaningful implications for helping early algebraic learning and the elementary students’ transition from arithmetical thinking to algebraic thinking were found. 초등학교 시기의 초기 대수 교육은 학생들이 이후에 학습할 대수에 대해 폭넓은 시각을 제공할 뿐만 아니라, 양적 추론, 수학적 모델링, 함수적 사고 등으로 이어지는 다양한 진입점을 제공한다(Carraher & Schliemann, 2007). 이에 본 연구에서는 초등학교 2학년 학생들에게 초기 대수 관련 문제를 제공하고 그에 대한 학생들의 해결 전략을 분석함으로써, 2학년 학생들의 대수 학습 준비 정도를 파악하고 학생들의 산술적 사고에서 대수적 사고로의 전이에 관한 교수학적 시사점을 얻고자 하였다. 본 연구의 대상은 2학년 학생 100명이며, 이들은 산술적 사고 수준 검사 도구(Lim & Chang, 2017)를 이용한 사전 검사 결과, 모두 산술적 사고의 1수준 이하에 해당하는 것으로 파악되었다. 본 연구의 검사 도구는 Caldwell et al.(2011), Caldwell et al.(2014)에서 초등학교 저학년 학생들에게 적용 가능하다고 제안한 대수 학습 준비를 위한 문제 4종을 번안 및 재구성하여 마련하였다. 검사 도구를 연구 대상에게 적용한 후 자료를 수집하여 학생들의 문제 해결 전략을 분석하였다. 분석 결과, 학생들에게 양 사이의 관계를 일반화하고 수를 여러 가지로 분해하는 충분한 기회를 제공해야 하고 □와 같은 기호의 체계적 지도가 필요하다는 점 등 초기 대수 학습 및 산술적 사고에서 대수적 사고로의 전이를 돕는 초등학교 수학 교수‧학습을 위한 몇 가지 시사점을 도출하였다.

분수의 단위와 전체에 관한 수학 교과서의 내용 고찰 및 초등학생의 이해 분석

임미인 한국수학교육학회 2020 初等 數學敎育 Vol.23 No.3

Based on the current curriculum, students learn the concept of fraction in the 3rd grade for the first time. At that time, fraction is introduced as whole-part relationship. But as the idea of fraction expands to improper fraction and so on, fraction as measurement would be naturally appeared. In that situation where fraction as whole-part relationship and fraction as measurement are dealt together, it is necessary for students to get experiences of understanding and exploring unit and whole adequately in order to fully understand the concept of fractions. Therefore, the purpose of this study is to analyze how to deal with unit fractions, how to implement activities to find the standard of reference from the part, and what visual representations were used to help students to understand the concept of fractions in elementary mathematics textbooks from the 7th to the 2015 revised curriculum. And we analyzed 60 3rd graders’ understanding of finding and drawing the whole by looking at the part. Several didactical implications for teaching the concept of fractions were derived from the discussion according to the analysis results. 현행 교육과정에 기초할 때 학생들은 3학년 시기에 분수 개념을 처음 학습하게 된다. 이때 전체-부분 관계로서의 분수로 도입되지만, 이후 가분수, 대분수 등으로 분수의 아이디어가 확장되면서 측정으로서의 분수가 자연스럽게 출현한다. 분수의 여러 의미 중 전체-부분 관계로서의분수, 측정으로서의 분수가 혼재하는 상황에서 학생들이분수 개념을 충분히 이해하기 위해서는 분수 지도 시 주어진 분수의 단위와 전체가 무엇인지 이해하고 파악하는경험을 적절히 제공해야 한다. 이에, 본 연구에서는 분수의 단위와 전체에 관한 초등학교 수학 교과서의 내용을고찰하고, 2015 개정 교육과정에 따른 수학 교과서에 새롭게 도입된부분을 보고 전체 그리기’에 대한 초등학교 3 학년 학생 60명의 이해를 분석하였다. 분석 결과에 따른논의로부터 분수 개념 지도를 위한 교수학적 시사점을 도출하였다.

초등학교 6학년의 근/원 일반화 문제 해결 과정 분석을 통한 대수적 일반화 가능성 탐구

임미인,장혜원 대한수학교육학회 2020 수학교육학연구 Vol.30 No.4

Students who have learned arithmetic in elementary mathematics would learn algebra in middle schools in earnest. So, the transition from arithmetical thinking to algebraic thinking is an important success factor for algebra learning. Therefore, in this study, 64 sixth graders solved the problems of near generalization and far generalization concerning the generalization of some figure patterns. Subsequently we analyzed their problem solving. As a result of the analysis, several cases of students having difficulties in performing algebraic generalization were identified. Through the discussion of the research results, several pedagogical implications were drawn to support the transition from arithmetical thinking to algebraic thinking in elementary school students. 초등수학에서 산술을 학습한 학생들은 중학교에 진급하여 본격적으로 대수를 학습하게 되는데, 이때 산술적 사고에서 대수적 사고로의 원만한 전이는 대수 학습의 중요한 성공 요건이다. 이에 본 연구에서는 중학교 진급을 앞둔 6학년 학생 64명을 대상으로 도형 패턴에 관련된 근 일반화와 원 일반화 문제 해결 양상을 분석하였다. 분석 결과, 대수적 일반화를 수행하는 데 어려움을 겪는 다수의 학생 사례가 파악되었으며, 연구 결과에 대한 논의를 통해 초등학생들의 산술적 사고에서 대수적 사고로의 전이를 지원하기 위한 몇 가지 교수학적 시사점을 도출하였다.

받아올림이 있는 덧셈과 받아내림이 있는 뺄셈을 위한 수 모형의 조작과 시각적 표현 이해

임미인,장혜원 대한수학교육학회 2019 수학교육학연구 Vol.29 No.4

Base-ten blocks are widely used in teaching number and operation domains. So, the purpose of this study is to identify how students perform with base-ten blocks related to addition with carrying and subtraction with borrowing and students’ understanding the visual representations in textbooks about base-ten blocks. For this purpose, a total of eight students were selected, four for each of the 2nd and 3rd graders. The test questions are two items related to addition with carrying and subtraction with borrowing, presented in mathematics textbooks. The research contents are as follow. First, each student was provided with sufficient base-ten blocks and the addition and subtraction without the textbook was calculated using base-ten blocks. Second, the students' understanding of the visual representation presented in the textbook was confirmed by showing the relevant base-ten blocks of the textbook and explaining what the drawing represents and what they are doing. As a result of the analysis, some characteristics of students' manipulation of base-ten blocks for addition and subtraction were identified, and some students showed difficulties in understanding base-ten blocks presented in the textbook. Through the discussion of the research results, some implications for teaching and learning mathematics were drawn. 수 모형은 수와 연산 영역 지도 시 널리 활용되는 교구이다. 본 연구의 목적은 학생들이 받아올림이 있는 덧셈, 받아내림이 있는 뺄셈 학습 시 충분한 이해를 기반으로 수 모형을 조작하는지, 수 모형에 관한 교과서의 시각적 표현을 어느 정도 이해하는지 파악하는 것이다. 이를 위해 2학년과 3학년 학생 각 4명씩 총 8명을 연구 대상으로 선정하였다. 검사 문항은 2학년과 3학년 1학기에 학습한 수학 교과서에 제시된 받아올림이 있는 덧셈, 받아내림이 있는 뺄셈 관련 두 문항씩이다. 연구는 구체적으로 다음과 같이 실시되었다. 첫째, 각 학생에게 교과서 장면 없이 덧셈, 뺄셈을 수 모형 조작 활동을 통해 계산해 보도록 하였다. 둘째, 교과서의 관련 수 모형 그림을 보여주고 그림이 무엇을 나타내는 것인지, 무엇을 하고 있는 것인지 설명해 보도록 하여 교과서에 제시된 시각적 표현에 대한 학생들의 이해를 확인하였다. 분석 결과, 학생들이 덧셈과 뺄셈을 위한 수 모형 조작 시 보이는 몇 가지 특징이 파악되었고, 연구 대상 중 다수의 학생이 교과서에 제시된 수 모형 그림의 이해에 어려움을 보이는 것으로 나타났다. 연구 결과에 대한 논의를 통해 수학 교수·학습을 위한 몇 가지 시사점을 도출하였다.

수÷0에 대한 초등교사의 PCK 분석

임미인,장혜원 대한수학교육학회 2015 수학교육학연구 Vol.25 No.4

In this study, we are interested in the teachers’ MCK about ‘N÷0’ and MPCK in relation to the proper ways to teach it. Even though ‘N÷0’ is not on the current curriculum and textbooks of elementary school mathematics, a few students sometimes ask a question about it because the division of the form ‘a÷b’ is dealt in whole number including 0. Teacher's obvious understanding and appropriate guidance based on students’ levels can avoid students’ error and have positive effects on their subsequent learning. Therefore, we developed an interview form to investigate teachers’ MCK about ‘N÷0’ and MPCK of the proper ways to teach it and carried out individual interviews with 30 elementary school teachers. The results of the analysis of these interviews reveal that some teachers do not have proper MCK about ‘N÷0’ and many of them have no idea on how to teach their students who are asking about ‘N÷0’. Based on our discussion of the results, we suggest some didactical implications. 수÷0은 수학사에서도 드러나듯이 인식론적 어려움을 내포하고 있기 때문에 교수‧학습 상황에서 주의를 기울일 필요가 있는 연산이다. 우리나라의 현행 초등학교 수학과 교육과정과 교과서에서 수÷0을 다루고 있지 않지만, 초등학교 수학에서 0을 포함한 범자연수를 다루면서 수÷수를 지도하고 있기 때문에 수÷0에 대한 질문이 학생들에 의해 종종 제기되곤 한다. 이에 대한 교사의 명확한 이해와 학생 수준을 고려한 적절한 지도는 학생들의 계산 과정에서 발생할 수 있는 오개념 및 오류를 방지하여 후속 학습에 긍정적인 영향을 미칠 수 있다. 본 연구에서는 수÷0에 대한 초등교사들의 PCK 관련 중 내용지식 수준과 그들이 생각하는 수÷0의 적절한 지도 방법을 조사하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해, 초등교사 30명을 대상으로 개별 면담을 실시하였다. 면담 내용을 분석한 결과, 일부 초등교사는 수÷0과 그에 대한 적절한 지도 방법을 알고 있지 못하는 것으로 확인되었다. 분석 결과에 따른 논의로부터 몇 가지 교수학적 시사점을 제안하였다.

수와 연산 영역에서 부진을 경험한 중학생의 산술적 사고 수준 변화 및 대수적 사고로의 이행에 관한 사례 연구

임미인,장혜원 대한수학교육학회 2018 수학교육학연구 Vol.28 No.3

Arithmetic and algebra are considered to be the most basic and core contents in school mathematics. However, many students in elementary and middle school have difficulties in arithmetic and algebra learning, and immense studies have been carried out in the field of mathematics education to solve these problems. The present study is a follow-up study which was conducted following the previous study conducted on a student who had difficulties in number and operation domain. This study investigated the manner in which the level of arithmetical thinking changed and how the transition from arithmetical thinking to algebraic thinking occurred after that student spent a year studying mathematics in middle school. Based on the results of the analysis, we suggest several implications for teaching and learning of number and operation domain at elementary and middle school in terms of the development of arithmetical thinking. 산술과 대수는 학교수학에서 가장 기본이고 핵심적인 내용으로 간주된다. 그러나 실제 학교 현장에서 많은 학생들이 산술과 대수 학습에 있어서 어려움을 겪고 있고, 이러한 어려움을 해소하고자 수학교육계에서 다수의 관련 연구가 이루어지고 있다. 본 연구는 수와 연산 영역 부진 학생 1명을 대상으로 실시했던 선행 연구에 이어서 중학교 1학년 동안의 수학 학습 이후에 그 학생의 산술적 사고 수준이 어떻게 변화되었으며 산술적 사고에서 대수적 사고로의 이행 양상은 어떠한지를 파악하기 위한 후속 사례 연구이다. 분석 결과, 2016년 6학년 때 산술적 사고 1수준이었던 연구 대상은 중학교 1학년 수학 학습을 완료한 2018년 현재, 산술적 사고 4수준으로 판별되었으며, 일반화, 문자 기호의 이해와 사용, 추론 측면에서 대수적 사고로의 이행 양상을 확인할 수 있었다. 본 연구에서는 구체적인 분석 결과에 기초하여 산술적 사고의 관점에서 수와 연산 영역의 교수‧학습을 위한 몇 가지 시사점을 도출하였다.

초등학교 2학년의 부러진 자를 이용한 길이 측정 활동 분석

임미인,장혜원 대한수학교육학회 2018 수학교육학연구 Vol.28 No.1

This study focuses on investigating the strategies that are used to measure length by using two broken rulers by second grade students that can measure length using a normal ruler. As per the results of the study, when students measure length using broken rulers, the strategies they use are counting units, thinking of the starting point as 0 and reading the number corresponding to the hash mark, and using subtraction to get the number of units of length. Also, some errors were observed in the study. Some students thought of the starting point as 1 and read the number corresponding to the hash mark. Another students unconditionally read the number of the end point. Based on the results of the analysis, some significant implications for the teaching and learning of the measurement domain were derived. 길이 측정을 위해 측정 도구로서 눈금 있는 자를 이용하며, 이에 대한 학습은 측정 영역의 주요 내용 요소이다. 길이 측정이란 자의 0 눈금을 기준으로 단위가 몇 번 되풀이 되는지 파악하는 활동인데, 0 부분이 부러져 있다면 자의 눈금을 읽는 것 이상의 전략을 요구한다는 의미에서 진정한 수학적 문제 해결 상황이 될 수 있다. 본 연구에서는 보통의 자를 이용하여 길이 측정이 가능한 초등학교 2학년 학생들을 대상으로 두 가지 종류의 부러진 자를 이용한 길이 측정 활동을 하도록 하고 그 과정을 분석하였다. 연구 결과, 부러진 자를 이용하여 길이를 측정할 때 학생들이 사용하는 전략은 크게 단위량 세기, 시작점을 0으로 생각하고 눈금에 대응하는 수 읽기, 뺄셈의 세 가지였으며, 시작점을 1로 생각하고 눈금에 대응하는 수를 읽거나 무조건 끝점에 해당하는 수를 읽는 오류도 파악되었다. 분석 결과를 토대로 길이 측정과 관련하여 부러진 자의 활용에 관한 몇 가지 유의미한 시사점을 도출하였다.

2009 개정 교육과정의 수학적 과정과 CCSSM의 수학적 실천의 비교에 따른 초등 수학 교과서 분석

임미인,장혜원 대한수학교육학회 2015 학교수학 Vol.17 No.1

The mathematical processes are strongly emphasized in 2009 revised national curriculum for mathematics and are expected to be complemented and extended in 2015 revised one. This study aims to investigate how much the processes are being implemented in mathematics classroom and select some elements which need complementation. To do this, we selected the mathematical practices of CCSSM as a reference, because it plays the corresponding role in the United States to the mathematical processes in Korea. We recognized common elements and different elements between the two and analyzed. Considering those, we searched the possibility of newer mathematical process and analyzed the 4th grade mathematics textbooks in relation to questions for mathematical practices. We provided the results of analyses and several suggestions for revising mathematics curriculum and textbooks. 본 연구는 2009 개정 교육과정에서 그 중요성이 강조되었으며 새로운 2015 교육과정의 개정에서 확대 적용이 예상되는 수학적 과정이 수학 교과서에 구현된 정도를 확인하고 그 내용에 있어서 보완이 요구되는 요소를 추출하는 것을 목적으로 한다. 이를 위해 2009 개정 수학과 교육과정의 수학적 과정과 미국의 CCSSM의 수학적 실천의 비교를 통해 공통 요소와 차이나는 요소를 파악함으로써 우리나라 학교수학에 추가적으로 필요한 수학적 과정 요소를 탐색하고, 현행 초등학교 4학년 수학 교과서를 대상으로 수학적 과정에 있으나 구현되지 않은 수학적 실천 요소 또는 수학적 과정이 아니지만 구현된 수학적 실천 요소에 대해서 분석하였다. 각각에 대한 분석 결과를 제시하고, 그에 따른 논의로부터 교육과정 개정 및 수학 교과서 개발시 수학적 과정의 보완 및 구현을 위한 시사점을 제안한다.

산술적 사고의 의미와 요소 분석

임미인,장혜원 대한수학교육학회 2017 수학교육학연구 Vol.27 No.4

Arithmetic is the basis of school mathematics and in fact, number and operation in elementary school curriculum is the most basic and essential domain. Even though there has been a consensus that arithmetic should be taught more meaningfully beyond the emphasis of calculation skills and teachers should emphasize the aspect of the arithmetical thinking, it is difficult to find studies which focus on the arithmetical thinking itself. So this research aims to explore the meaning of the arithmetical thinking and extract the arithmetical thinking factors. In order to solve the research problems, we reviewed and analyzed the literatures and then conducted Delphi survey to extract arithmetical thinking factors. From the results of this research, we found the meaning of arithmetical thinking and the arithmetical thinking factors. Especially, the arithmetical thinking consists of 18 factors. It is important to pay attention to students' arithmetical thinking because there are various factors of the arithmetical thinking. It is necessary to identify the aspects of arithmetical thinking reflected in school mathematics based on the meaning of arithmetical thinking and its factors. Based on this, it is possible to find effective teaching and learning methods of arithmetic focusing on the arithmetical thinking. 산술 지도 시 산술적 사고의 측면을 강조해야 한다는 데에 다수의 동의가 있어왔음에도 불구하고, 국내에서 산술적 사고 자체에 주목한 연구는 찾아보기 어렵다. 산술적 사고에 초점을 맞춘 지도를 위해서는 산술적 사고의 의미와 요소를 면밀히 분석할 필요가 있다. 본 연구에서는 산술적 사고의 의미와 요소를 파악하기 위해 문헌 분석을 실시하였고, 산술적 사고의 요소를 추출하기 위한 이차적인 방법으로 전문가 델파이 조사를 실시하여 종합적으로 산술적 사고의 요소를 추출하였다. 연구 결과, 내용적 사고로서 산술적 사고의 의미를 파악하고, 수 관련 5가지, 연산 관련 11가지, 공통 요소 2가지로 총 18가지의 산술적 사고 요소를 추출하였다.