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APN 함수를 이용한 부호계열 발생 알고리즘 설계 빛 분석
이정재,Lee, Jeong-Jae 한국융합신호처리학회 2010 융합신호처리학회 논문지 (JISPS) Vol.11 No.1
암호화 시스템에서 대부분의 선형시스템은 쉽게 해석될 수 있기 때문에 비선형성은 매우 중요하다. 비선형 함수인 bent함수와 유사한 특성을 갖고 C.Bracken, Z.Zha 등에 의하여 제안된 APN(Almost Perfect Nonlinear) 함수를 이용하여 두 종류의 새로운 부호계열 발생 알고리즘을 제안하였다. 이를 이용하여 GF(2)상에서 발생된 부호계열의 자기상관함수 $R_{ii}(\tau)$, ${\tau}\;{\neq}\;0$와 상호상관함수 $R_{ik}(\tau)$의 값은 {-1, $-1-2^{n/2}$, $-1+2^{n/2}$}을 가진다. 이 개념을 확장한 GF(p), $p\;{\geq}\;3$상에서 발생된 비 이원부호계열의 자기상관함수 $R_{p,ii}(\tau}$, ${\tau}\;{\neq}\;0$와 상호상관함수 $R_{p,ik}(\tau)$의 값은 {$-1+p^{n-1}$, $-1-p^{(n-1)/2}+p^{n-1}$, $-1+p^{(n-1)/2}+p^{n-1}$} 로 역시 3종류 값을 가짐을 보였다. 이 분석결과로부터 발생된 부호계열의 상관함수가 Gold 부호계열과 유사한 특성을 가짐을 확인하였다. For cryptographic systems, nonlinearity is crucial since most linear systems are easily decipherable. C.Bracken, Z.Zhaetc., propose the APN(Almost Perfect Nonlinear) functions with the properties similar to those of the bent functions with perfect nonlinearity. We design two kinds of new code sequence generating algorithms using the above APN functions. And we find that the out of phase ${\tau}\;{\neq}\;0$, autocorrelation functions, $R_{ii}(\tau)$ and the crosscorrelation functions, $R_{ik}(\tau)$ of the binary code sequences generated by two new algorithms over GF(2), have three values of {-1, $-1-2^{n/2}$, $-1+2^{n/2}$}. We also find that the out of phase ${\tau}\;{\neq}\;0$, autocorrelation functions, $R_{p,ii}(\tau)$ and the crosscorrelation functions, $R_{p,ik}(\tau)$ of the nonbinary code sequences generated by the modified algorithms over GF(p), $p\;{\geq}\;3$, have also three values of {$-1+p^{n-1}$, $-1-p^{(n-1)/2}+p^{n-1}$, $-1+p^{(n-1)/2}p^{n-1}$}. We show that these code sequences have the characteristics of the correlation functions similar to those of Gold code sequences.
부울함수를 이용한 부호계열 발생알고리즘 분석 부호계열발생기 구성
이정재,Lee, Jeong-Jae 한국융합신호처리학회 2012 융합신호처리학회 논문지 (JISPS) Vol.13 No.4
본 논문에서는 S.Bostas와 V.Kumar[7]에 의하여 제안되고 $GF(2^n)$에서 정의되는 부호계열 발생알고리즘을 분석하고, 길이 n인 이진벡터로 이루어지는 벡터공간 $F_2$으로부터, 두 원소로 정의되는 공간 $F_2$로 사상할 수 있는 부울함수를 이용하여 발생기 구성 함수를 도출하였다. 차수 n=5와 n=7인 두 종류의 최소 다항식을 이용한 피드벡 쉬프트레지스터를 기반으로 Trace 함수로부터 부호계열 발생기 구성 부울함수를 도출하고 발생기를 설계 구성하였으며 이를 이용하여 두 종류의 부호계열 군을 발생하였다. 발생된 부호계열의 주기는 각각 31과 127로서 주기 $L=2^n-1$을 만족하고 ${\tau}=0$을 제외한 자기상관함수 값과 상호상관함수 값이 각각 {-9, -1, 7}과 {-17, -1, 15}로서 상관함수 값 $R_{i,j}({\tau})=\{-2^{(n+1)/2}-1,-1,2^{(n+1)/2}-1\}$의 특성을 만족하였다. 이 결과로부터 부울함수를 이용한 부호계열 발생기 설계와 구성이 타당함을 확인하였다. In this paper we analyze the code sequence generating algorism defined on $GF(2^n)$ proposed by S.Bostas and V.Kumar[7] and derive the implementation functions of code sequence generator using Boolean functions which can map the vector space $F_2^n$ of all binary vectors of length n, to the finite field with two elements $F_2$. We find the code sequence generating boolean functions based on two kinds of the primitive polynomials of degree, n=5 and n=7 from trace function. We then design and implement the code sequence generators using these functions, and produce two code sequence groups. The two groups have the period 31 and 127 and the magnitudes of out of phase(${\tau}{\neq}0$) autocorrelation and crosscorrelation functions {-9, -1, 7} and {-17, -1, 15}, satisfying the period $L=2^n-1$ and the correlation functions $R_{ij}({\tau})=\{-2^{(n+1)/2}-1,-1,2^{(n+l)/2}-1\}$ respectively. Through these results, we confirm that the code sequence generators using boolean functions are designed and implemented correctly.
암호화를 위한 정규기저 기반 부호계열 발생 알고리즘 분석 및 발생기 구성
이정재,Lee, Jeong-Jae 한국융합신호처리학회 2014 융합신호처리학회 논문지 (JISPS) Vol.15 No.2
For the element ${\alpha}{\in}GF(p^n)$, two kinds of bases are known. One is a conventional polynomial basis of the form $\{1,{\alpha},{\alpha}^2,{\cdots},{\alpha}^{n-1}\}$, and the other is a normal basis of the form $\{{\alpha},{\alpha}^p,{\alpha}^{p^2},{\cdots},{\alpha}^{p^{n-1}}\}$. In this paper we consider the method of generating normal bases which construct the finite field $GF(p^n)$, as an n-dimensional extension of the finite field GF(p). And we analyze the code sequence generating algorithm and derive the implementation functions of code sequence generator based on the normal bases. We find the normal polynomials of degrees, n=5 and n=7, which can generate normal bases respectively, design, and construct the code sequence generators based on these normal bases. Finally, we produce two code sequence groups(n=5, n=7) by using Simulink, and analyze the characteristics of the autocorrelation function, $R_{i,i}(\tau)$, and crosscorrelation function, $R_{i,j}(\tau)$, $i{\neq}j$ between two different code sequences. Based on these results, we confirm that the analysis of generating algorithms and the design and implementation of the code sequence generators based on normal bases are correct. 원소 ${\in}F(p)$에 대하여 두 종류의 기저함수가 알려져 있다. 통상적인 다항식 기저(polynomial bases)는 $\{1,{\alpha},{\alpha}^2,{\cdots},{\alpha}^{n-1}\}$로 이루어지고 이와 다르게 정규 기저(normal bases)는 $\{{\alpha},{\alpha}^p,{\alpha}^{p^2},{\cdots},{\alpha}^{p^{n-1}}\}$의 형태를 갖는다. 본 논문에서는 소수 p의 원소로 이루어지는 유한장 GF(p)상에서 n차원 벡터공간인 확대장 $GF(p^n)$을 이룰 수 있는 정규기저의 발생과 생성에 대하여 검토하고 정규기저를 기반으로 부호계열 발생알고리즘을 분석하여 발생기구성함수를 도출하였다. 차수 n=5와 n=7인 두 종류의 정규기저를 생성할 수 있는 정규다항식을 발견하고 부호계열 발생기를 설계 구성하였다. 마지막으로 Simulink를 이용하여 두 종류(n=5, n=7)의 부호계열 그룹을 발생시키고 발생된 부호계열간의 자기상관함수, $R_{i,i}(\tau)$와 상호상관함수, $R_{i,j}(\tau)$, $i{\neq}j$ 특성을 분석하였다. 이 결과로부터 정규기저를 이용한 부호계열 발생알고리즘의 분석, 그리고 부호계열 발생기 설계와 구성이 타당함을 확인하였다.