Graybill-Wang방법의 합분산에 대한 분산비의 수정 신뢰구간에 관한 연구 (2인자 지분분산성분 모형에서)

김흔창 동아대학교 대학원 2015 국내석사

이 논문은 2인자 지분분산성분 모형에서 Graybill-Wang방법의 신뢰구간과 Kang의 수정 신뢰구간에 대한 시뮬레이션 결과를 비교하여 요약정리 하였다. Graybill-Wang방법의 신뢰구간의 시뮬레이션 결과에 의하면 I=J:3~5, K:3~10(정의역)에서는 100(1-a)%에 꼭 맞지 않거나 그 신뢰구간 범위의 폭이 넓다. 그러나 그 값은 100(1-a)%에 근사하는 경우는 J가 10~100이거나 실험횟수 K가 10000인 큰 수 일 때 이지만, 그 때 J나 K가 너무 커서 실제 실험과 검정에 사용 할 수가 없다. 그런데 수정신뢰구간은 J가 3~5실험횟수 K가(정의된) 3~10에서 사용이 가능하도록 수정하여 수정 신뢰구간이 더 좋다. 두 신뢰구간과 비교 결과는 다음과 같다. 1. I=J:3~5, K:3~10일 때 σ_A^2(σ_A^2+σ_B^2+σ_C^2)에 대한 상위 신뢰구간은 수정 신뢰구간의 범위가 더 좁아 Graybill-Wang방법의 신뢰구간보다 더 좋은 신 뢰구간 이였다. 그러나 그 하위 신뢰구간에서는 수정 신뢰구간과 Graybill– Wang방법의 신뢰구간의 값이 비슷하지만 Graybill–Wang방법의 신뢰구간이 100(1-a)%에 근사 하는 경우는 J가 100이거나 K가 10000일 때 이지만 그 때 J나 K가 너무 커서 실제 실험이나 검정에 사용 할 수가 없다. 그러나 수정 신뢰구간은 항상 정의된 J:3~5나 K가 3~10에서도 잘 근사 하므로 실제 실험과 검정에 사용할 수 있다. 그러므로 수정신뢰구간이 Graybill–Wang방법의 신뢰구간보다 더 좋다. 2. σ_B^2(σ_A^2+σ_B^2+σ_C^2)에서는 상위와 하위의 두 수정신뢰구간의 값이 Graybill- Wang방법의 신뢰구간과 비슷하다. 그런데 Graybill-Wang방법의 신뢰구간은 100(1-a)%에 근사 하는 경우는 I=5나 J=10인 경우인데 이 때 J가 너무 커서 실제 실험이나 검정에 사용 할 수 없다. 그러나 수정 신뢰구간은 I=J:3~5, K:3~10에서도 항상 잘 근 사하므로 실제 실험이나 검정에 사용할 수 있다. 그러므로 수정 신뢰구간이 Graybill-Wang방법의 신뢰구간 보다 더 좋다. 3. σ_C^2(σ_A^2+σ_B^2+σ_C^2)에서는 상위 신뢰구간은 수정 신뢰구간의 값이 Graybill- Wang방법의 신뢰구간과 비슷하다. 그러나 Graybill-Wang방법의 신뢰구간이 100(1-a)%에 근사 하는 경우는 I=5나 J=10인 경우인데 이 때 J가 너무 커서 실제 실험이나 검정에 사용 할 수 없다. 그러나 수정 신뢰구간은 I=J:3~5, K:3~10에서 잘 근사하므로 실제 실험에 사용할 수 있다. 그러므로 수정 신뢰구간이 Graybill-Wang방법의 신뢰구간보다 더 좋다. 그리고 하위 신뢰구간 은 I=J:3~5, K:3~10에서 수정 신뢰구간이 Graybill-Wang방법의 신뢰구간 보다 그 범위가 더 좁아 더 좋다. 그러므로 수정 신뢰구간이 Graybill-Wang 방법의 신뢰구간보다 더 좋은 신뢰구간 이다.

Broemeling방법의 합분산에 대한 분산비의 수정신뢰구간에 관한 연구 : 2인자 지분분산성분 모형에서

김민규 동아대학교 대학원 2015 국내석사

이 논문은 2인자 지분분산성분 모형에서 Broemeling방법의 신뢰구간과 Kang의 그 수정신뢰구간에 대한 시뮬레이션 결과를 비교하여 요약정리 하였다. Broemeling방법의 신뢰구간의 시뮬레이션 결과에 의하면, I=J:3~5, K:3~10 (정의역)에서는 100(1-α)%에 꼭 맞지 않거나 그 신뢰구간 범위의 폭이 다소 넓다. 그러나 그 값은 100(1-α)%에 근사하는 경우는 실험횟수 K가 10000인 큰 수 일 때 이지만, 그 때 K가 너무 커서 실제 실험과 검정에 사용 할 수가 없다. 그런데 수정신뢰구간은 I=J:3~5, 실험횟수 K가(정의된) 3~10에서 사용이 가능하도록 수정하여 수정신뢰구간이 더 좋다. 두 신뢰구간의 비교 결과는 다음과 같다. (1) I=J:3~5, K:3~10일 때 {σ_A}^2/{{σ_A}^2+ {σ_B}^2+ {σ_C}^2}에 대한 상위 신뢰구간의 값은 수정신뢰구간의 범위가 더 좁아 Broemeling방법의 신뢰구간보다 더 좋은 신뢰구간 이였다. 그러나 하위 신뢰구간에서는 수정신뢰구간 값이 더 좋거나 Broemeling방법의 신뢰구간의 값과 비슷하다. 그러나 Broemeling방법의 신뢰구간이 100(1-α)%에 근사 하는 경우는 K가 10000일 때 인데 그 때 K가 너무 커서 실제 실험이나 검정에 사용 할 수가 없다. 그러나 수정신뢰구간은 항상 정의된 J:3~5나 K가 3~10에서도 잘 근사 하므로 실제 실험과 검정에 사용할 수 있다. 그러므로 수정신뢰구간이 Broemeling방법의 신뢰구간보다 더 좋다. (2) I=J:3~5, K:3~10일 때 {σ_B}^2/{{σ_A}^2+ {σ_B}^2+ {σ_C}^2}에 대한 상위, 하위 신뢰구간은 수정신뢰구간의 값의 범위가 더 좁아 Broemeling방법의 신뢰구간보다 더 좋은 신뢰구간 이였다. 그러므로 수정신뢰구간이 Broemeling방법의 신뢰구간보다 더 좋다. (3) I=J:3~5, K:3~10일 때 {σ_C}^2/{{σ_A}^2+ {σ_B}^2+ {σ_C}^2}에 대한 상위, 하위 신뢰구간은 수정신뢰구간의 값의 범위가 더 좁아 Broemeling방법의 신뢰구간보다 더 좋은 신뢰구간 이였다. 그러므로 수정신뢰구간이 Broemeling방법의 신뢰구간보다 더 좋다.

분산 A에 대한 수정 Howe 신뢰구간의 근사도에 대한 연구 (1인자 분산구성모형에서)

이재용 동아대학교 대학원 2012 국내석사

분산 A에 대한 수정 Howe 신뢰구간의 근사도에 대한 비교연구 (1인자 분산구성모형에서) A Study on the Approximate Precision of Modified Howe's Confidence Intervals for Variance A (in One-Factor Components Variance Model) 수학교육전공 이 재 용 지 도 교 수 강 관 중 이 논문에서는 1인자 분산구성모형에서 Howe 근사방법을 사용한 선행연구자의 에 대한 신뢰구간의 연구결과를 조사비교하여 그 신뢰구간을 수정하여 보다 더 좋은 신뢰구간을 구하는 방법을 제시하고, 그 시뮬레이션 결과를 통하여 에 대한 수정 Howe 신뢰구간이 Howe 신뢰구간 보다 더 좋은 신뢰구간임을 보이고 그것을 활용할 수 있는 방법을 제시한 논문이다. 변량모형 에서 이고 이며, 를 인 분포라 하고 를 인 분포를 갖는다고 가정하면 합분산 꼴들이 생긴다. 여기서 은 급내 평균제곱이고 은 급간 평균제곱이다. 확률변수 는 관측 가능한 확률변수이고 와 는 독립 관측 불가능한 결합정규분포이다. 와 , 는 관측 불가능한 변수이다. 또, 모수 공간 는 와 에 의해 정의하면 이다. 이 모형에 대한 선행연구자들의 신뢰구간들이 대부분 근사 신뢰구간이기 때문에 이 신뢰계수가 에 꼭 맞는지 아닌지를 정확하게 알 수 없다. 그 중에서 Howe의 신뢰구간의 신뢰계수를 시뮬레이션 한 결과 하위 신뢰구간의 폭이 너무 넓고, 실험횟수가 너무 커서 신뢰구간으로 사용 할 수 없었다. 그래서 이 신뢰구간을 수정하여 새로운 신뢰구간을 제안 하였다. 본 논문에서는 Howe 방법에 사용한 신뢰구간에서 1) 변수 대신에 로 변환하고 2) 신뢰구간의 폭이 넓은 하위 신뢰구간은 다시 수정한 수정 Howe 신뢰구간을 Howe 신뢰구간과 비교한 결과 다음과 같은 결론을 얻었다. 1. 수정 Howe 신뢰구간의 신뢰계수가 Howe 신뢰구간의 신뢰계수보다 더 좋아져서 수정 신뢰구간의 신뢰도가 더 좋아졌음을 알 수 있었고, 또한 신뢰구간도 크게 개선되었다. 2. 변수 를 로 바꾼 수정 Howe 신뢰구간은 실험횟수 를 보다 더 줄일 수 있었고 이때 어떤 적당한 상수 를 잡으면 실험횟수가 으로 실제 실험에서도 사용이 가능해지고 그 때 원하는 신뢰계수를 찾을 수 있다. 3. 하위 신뢰구간은 신뢰구간의 폭이 너무 넓어 재수정하여 더 좋은 신뢰구간을 얻었다. 4. 이 실험은 통계패키지 SAS 9.1를 사용하였다. 또, 실험의 난해성 때문에 에서만 실험하였는데 0~10에서도 비슷한 결과를 얻을 것이라 생각되고, 다른 프로그램을 사용할 때에도 비슷한 결과를 얻을 것으로 생각된다. 주요어 : 신뢰계수, 수정 신뢰구간, 1인자 분산구성모형.

2인자 지분 분산성분 모형에서 신뢰구간의 범위에 관한 연구

유호재 동아대학교 교육대학원 1998 국내석사

2인자 지분(nested) 분산성분 모형 y_(ijk)=μ+A_(i)+B_(ij)+C_(ijk)에서 σ^(2)_(A)/σ^(2)_(C)에 대한 분산성분 모형의 신뢰 구간을 구하는 문제는 몇몇 학자들에 의하여 많이 연구되어 여러 결과를 얻었는데 그 결과를 요약하면, Graybill[12]은 2인자 지분 분산성분 모형에 대한 신뢰구간을 분산분석법으로 구하는 방법을 발표하였고, Broemeling[2]은 σ^(2)_(A)/σ^(2)_(C)과 σ^(2)_(B)/σ^(2)_(C)에 대한 신뢰구간을 발표하였다. 또, Wang[28]은, σ^(2)_(A)/σ^(2)_(C)과 σ^(2)_(A)/σ^(2)_(B)에 대한 신뢰구간을 발표하였는데, 그 결과는 Bromeling[2]의 σ^(2)_(A)/σ^(2)_(C)과 σ^(2)_(B)/σ^(2)_(C)에 대한 신뢰구간의 범위보다 더 좋게 나왔음이 밝혀졌다. Graybill과 Wang[13]은 σ^(2)_(A)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C))의 신뢰구간과 σ^(2)_(B)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C))의 신뢰구간 및 σ^(2)_(C)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C))에 대한 신뢰구간, 즉 전분산에 대한 각각의 비의 신뢰구간을 발표하였다. 여기서 Graybill과 Wang[13]의 σ^(2)_(B)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C))과 σ^(2)_(C)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C))의 전분산에 대한 각각의 비에 대한 신뢰구간은 Satterthwaite[23]의 신뢰구간보다 더 좋은 결과를 보여 주었음이 밝혀졌다. Burdick[5]과 Graybill[12]은 σ^(2)_(A)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C))에 대한 신뢰구간의 범위를 구하였다. 최근 Burch[4]는 2인자 분산을 갖는 혼합모형에서의 분산성분의 비에 대한 가장 좋은 "Lamotte-Mcwhorter type" 신뢰구간을 찾는 절차를 개발하였다. 그리고 Ofversten[20]은 반복추출법에 의하여 불균형 혼합모형에서의 분산성분을 검정하기 위한 정확한 절차를 유도하는 방법을 제시하였다. Fayyad 등[10]은 반복추출 검정의 멱에 대한 한계를 정하기 위한 등식을 유도하였고, Christensen[7]은 Wald의 검정과 함께 Ofversten [20] 방법의 통일된 처리 방법을 제시하였다. 그리고 Ueng과 Iyer[27]는 이 문제를 더 개선하고 확장시켜 좋은 결과를 얻었다. 위와 같은 신뢰 구간을 참는 문제들은 지금도 연구가 계속되어지고 있고, 또 앞으로도 연구가 되어져야 할 것이다. 왜냐하면 이 신뢰구간들이 100(1-α)%에 꼭 맞는 지 또는 꼭 맞지 않다던 그 신뢰구간이 어느 정도 근사한지가 밝혀져서 앞으로 더 좋은 신뢰구간이 필요한지에 대한 의문이 해결되기 때문이다. 따라서 이 논문의 목적은 그 신뢰구간 중에서 σ^(2)_(A)/σ^(2)_(C)에 대한 신뢰구간의 확률범위가 100(1-α)%보다 큰 지, 또는 작은 지 아니면 같은 지를 수학적인 증명에 의하여 그 범위를 보여주고자 한다. In the two-factor nested variance component model with equal numbers in the cells given by y_(ijk)=μ+A_(i)+B_(ij)+C_(ijk), the confidence intervals of the variance component models on σ^(2)_(A)/σ^(2)_(C) were obtained in various forms by many authors. An analysis of variance for the model is displaced in Graybill[12]. Bromeling[2] found out the confidence intervals on σ^(2)_(A)/σ^(2)_(C) and σ^(2)_(B)/σ^(2)_(C). Wang[28] found out the confidence intervals on σ^(2)_(A)/σ^(2)_(C) and σ^(2)_(A)/σ^(2)_(B). Then, the ranger of confidence intervals on σ^(2)_(A)/σ^(2)_(C) and σ^(2)_(A)/σ^(2)_(B) of Wang's ate better than Broemeling's σ^(2)_(A)/σ^(2)_(C) andσ^(2)_(B)/σ^(2)_(C). As well as, Graybill and Wang[13] found out the ratio of total variances of confidence intervals on σ^(2)_(A)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C)), σ^(2)_(B)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C)) and σ^(2)_(C)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C)). Burdick[5] and Graybill[12] showed the range of confidence intervals σ^(2)_(A)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C)), σ^(2)_(B)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C)) and σ^(2)_(C)/(σ^(2)_(A)+σ^(2)_(B)+σ^(2)_(C)) of Graybill and Wang[13] were better than those of Satterthwate's. Lately, Burch[4] developed procedures for selecting the best "LaMotte-McWhorter type" confidence interval for a ratio of variance components in a mixed linear model with two sources of variation based on the unbiasedness and expected length of the intervals. fversten[20] presented a method for deriving exact procedures for testing variance components in unbalanced mixed lineat models by the so-called resampling method. Fayyad et al.[10] derived an equality to place a bound on the power of the resampling test. Christensen[7] proposed an unified treatment of fversten's method with Wald's test. And Ueng and Iyer[27] were more improved and extended in this problems. By the way, in the asymptotic confidence intervals of Wang's and Broemeling's on σ^(2)_(B)/(σ^(2)_(A), the simulation results were given in these paper. Then, this problems are still being studied and must continuous to be studied, they fit exactly the given confidence coefficient 1-α and to determine confidence intervals closer to the 100α percentile confidence coefficient. In this cases where the acquired confidence intervals do not exactly fit 1-α, they are asymptotically close to 1-α. So, the aims of in this paper, we would like to show by the mathematical computation that the probability range of these confidence intervals on σ^(2)_(A)/(σ^(2)_(C) are equals and whether greater than 1-α or not.

Broemeling 방법의 합 분산에 대한 분산 비 B에 대한 신뢰구간 : 2인자 지분 분산성분 모형에서

이승열 동아대학교 대학원 2013 국내석사

Broemeling 방법의 합 분산에 대한 분산 비 B에 대한 신뢰구간 (2인자 지분 분산성분 모형에서) Broemeling's Method Confidence Intervals for the Ratio B of Total Variance (in Two-Factor Nested Variance Components Model) 수 학 과 이 승 열 지도교수 강 관 중 본 논문은 2인자 지분 분산성분 모형 를 공부하고 그 성질과 신뢰구간의 근사방법을 공부하여 정리하였으며 분산 비 과 에 대한 Broemeling(1969) 방법의 신뢰구간을 이용하여 에 대한 신뢰구간을 찾는 방법을 공부하였다. 또 수정 Broemeling(1969) 방법의 신뢰구간의 시뮬레이션 결과를 비교하여 그 신뢰구간의 정도를 밝히고 그들의 추정과 검정에 사용하는 방법을 공부하여 정리하였다. 이 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻었다. 1. Broemeling(1969) 신뢰구간에서 변수 가 클수록 근사도가 좋아지지만 그 값이 너무 커서 실제 실험에 사용할 수가 없어서 /를 로 수정하여 실험횟수를 줄일 수 있었고 이 때 어떤 적당한 상수 를 잡으면 실험 횟수 으로 실제 실험에서도 사용이 가능해지고 그 때 원하는 신뢰구간을 찾을 수 있음을 알 수 있었다. 2. Broemeling(1969) 신뢰구간의 범위가 너무 넓어 수정 신뢰구간을 사용해야 하고 그 수정 신뢰구간의 신뢰도가 더 높은 것을 알 수 있었다. 또한 수정 신뢰구간이 크게 개선되었음을 알 수 있었다. 3. 하위 신뢰구간은 최솟값은 음수이고 최댓값은 보다 커서 신뢰구간의 폭이 너무 넓어 , , , 에서 을 로 바꾸고, 에서 와 의 분모에서 을 로 바꾸는 재수정을 하여 더 좋은 신뢰구간을 얻었다. 이 실험은 통계패키지 SAS 9.1를 사용하였고 실험의 난해성 때문에 : 로 제한하여 실험한 결과이다. 만약 의 값의 범위를 더 넓게 하였을 경우에 이 결과가 어떻게 될지 실험해 볼 필요가 있다. 주요단어: 신뢰구간, 2인자 지분 분산성분 모형, 분산성분.

근사신뢰구간에 대한 수정신뢰구간

구선경 동아대학교 교육대학원 2006 국내석사

이 논문은 1인자 분산구성모형에서 Tukey([41])-Williams([45])의 근사방법을 사용한 Graybill과 Wang([15])의 에 대한 근사신뢰구간을 수정하여 보다 더 좋은 신뢰구간을 구하는 방법을 제시하고 그 시뮬레이션 결과를 통하여 에 대한 수정신뢰구간이 주어진 근사신뢰구간보다 더 좋은 신뢰구간인지를 보이고 실제로 그것을 활용할 수 있는 방법을 제시한 논문이다. 변량모형 에서 이고 이며, 를 인 분포라 하고 를 인 분포를 갖는다고 가정하면 합분산 꼴들이 생긴다. 여기서 은 급내 평균제곱이고 은 급간 평균제곱이다. 확률변수 는 관측 가능한 확률변수이고, 와 는 독립 관측 불가능한 결합정규분포이다. 와 , 는 관측 불가능한 변수이다. 또, 모수 공간 는 이고 에 의해 정의되고 , , 이다. 이 모형에 대한 선행연구자들의 신뢰구간들이 대부분 근사신뢰구간이기 때문에 이 신뢰계수가 에 꼭 맞는지 또는 아닌지를 정확하게 알 수 없다. 또, 밝혀지지 않은 많은 신뢰구간들은 그 신뢰계수를 찾아야 하고, 밝혀진 근사신뢰구간들은 그 신뢰계수가 에 보다 더 가까운 신뢰구간을 찾아야 하기 때문에 이 문제들은 지금도 계속 연구되고 있고 또, 앞으로도 계속 연구되어야 한다. 1인자 분산구성모형의 신뢰구간 중 Tukey([41])-Williams([45])의 방법을 사용한 Graybill과 Wang([15])의 근사신뢰구간을 보조정리 3.2.1에서 소개한다. 그런데 이 신뢰구간의 신뢰계수가 에 근사하는 경우 가 너무 커서 실제 실험에 사용하기가 곤란하기 때문에 이 을 수정하고 또, 이 신뢰구간의 폭을 좁게 하는 조건을 추가하여 다음과 같이 수정하였다. 임의의 자연수 와 가 존재하여 (1) , 단 은 (2) , 단 은 (3) , 단 과 은 (4)와 (5)의 , 이다. 이 결과는 본 논문에서 시뮬레이션으로 보여주고 비교하였다.

Confidence intervals for survival function : a comparison study

김아령 高麗大學校 大學院 2015 국내석사

생존함수의 신뢰구간 추정에는 Greenwood 공식을 이용하여 정규근사 신뢰구간은 계산하는 Greenwood 신뢰구간 방법이 널리 사용되고 있다. 생존자료는 중도절단이 존재하고, 표본크기도 크지 않아 이러한 Greenwood 신뢰구간을 적용하는 데 많은 어려움이 있다. 이에 대한 대안으로 Peto 신뢰구간, Wilson 신뢰구간, Agresti-Coull 신뢰구간, Higher-order asymptotic likelihood 신뢰구간, Constrained-beta 신뢰구간, Beta product confidence procedure(BPCP) 신뢰구간 등의 많은 신뢰구간들이 제안되었다. 본 논문에서는 생존시간의 분포, 중도절단의 정도, 표본의 크기 등의 다양한 조건 하에서 위에 제시된 신뢰구간을 비교하는 모의실험을 실행함으로써 생존함수의 신뢰구간 선택에 도움이 되고자 한다. A most common approach for constructing a confidence interval for survival function is to build a Greenwood confidence interval, which is a Wald type confidence interval with the variance estimated by Greenwood formula. Unique difficulties arise in survival analysis due to censoring and small sample size and these problems are hard to be dealt with by the usual statistical methods. Many attempts have been made to propose the alternative confidence interval for survival function, such as the Peto confidence interval, the Wilson confidence interval, the Agresti-Coull confidence interval, the higher-order asymptotic likelihood confidence interval, the constrained-beta confidence interval and the beta product confidence procedure(BPCP). In the study, simulations are conducted to compare these multiple confidence intervals for survival function under the various distributions of death time, censoring rates and sample sizes.

신뢰구간에 대한 예비교사들의 지식 분석

김경태 서울대학교 대학원 2022 국내석사

현재 통계적 소양은 우리나라를 포함한 여러 국가에서 통계교육의 목적으로 강조되고 있다. 통계교육을 통해 학생들이 통계적 소양을 갖추기 위해서는 교사가 먼저 통계적 소양을 갖추고 있어야 한다. 통계적 추정과 가설검정은 통계적 소양을 기르기 위해 필수적인 통계적 지식이고, 우리나라 중등 교육과정에서는 그중에서 통계적 추정만을 가르친다. 통계적 추정 단원의 핵심은 신뢰구간을 구해 모수에 대해 구간 추정을 하는 것이므로, 통계적 소양을 길러주기 위해서 교사는 신뢰구간을 중심으로 통계적 소양을 갖추고 있어야 한다. 한편 통계적 소양은 실세계 자료를 대할 때 필요한 능력이고 통계적 사고의 핵심은 통계적 영역과 맥락적 영역을 결합하는 것이다. 따라서 이 연구에서는 우선 실생활 자료에서 나타나는 신뢰구간의 양상을 파악하여 이를 위한 통계적 소양을 탐구하고, 설문 조사를 통해 예비교사들이 이러한 통계적 소양을 갖추었는지 교수 지식의 관점에서 분석한다. 실생활 자료 조사에서는 크게 대중매체 자료와 관공서 자료를 그 대상으로 선정하여 자료에서 나타나는 신뢰구간 관련 양상(추정 모수의 유형, 관련 용어, 신뢰구간 표현 방식 등)을 조사한다. 예비교사 대상 설문조사에서는 실생활 자료 분석 결과와 선행연구에서 마련한 통계적 소양을 측정할 수 있는 행동 목표를 바탕으로 하여 실생활 자료를 제공하면서 이와 관련한 신뢰구간 지식, 통계적 추론 등을 묻는다. 연구 결과, 중앙행정기관의 자료와 언론 자료에서 모비율 추정의 빈도가 모평균 추정의 빈도보다 높게 나타났고, ‘신뢰도’라는 용어보다 ‘신뢰수준’이라는 용어가 더 자주 등장했으며, 교과서에서 다루지 않는 ‘표본오차’와 그 유사어, 그리고 ‘표준오차’가 자주 등장하였다. 이를 바탕으로 정리한 예비교사들이 갖춰야 할 신뢰구간 관련 통계적 소양은 ‘다양한 맥락에서 접하는 통계 자료에서 모평균 및 모비율에 대한 신뢰구간의 의미를 이해하고 자료를 해석할 수 있다.’, ‘다양한 맥락에서 신뢰구간과 관련된 여러 용어의 뜻을 정확하게 알고 적절하게 활용한다.’, ‘다양한 맥락에서 접하는 통계 자료에서 표본오차를 포함한 신뢰구간의 구성 요소 사이의 상호 관계를 이해한다.’이다. 실생활의 통계 자료에서 나타나는 통계 양상과 위의 소양을 반영하여 예비교사들에게 관련 통계적 소양을 갖추고 있는지 물었다. 그 결과 모비율의 추정에서 요소들의 관계를 제대로 파악하지 못하는 예비교사가 많았고, 모평균의 추정과 모비율의 추정에 관계없이 교육과정에서 다루지 않는 신뢰구간 관련 용어에 대한 이해가 낮았으며, 이로 인해 신뢰구간을 바탕으로 두 모수가 유의미하게 차이가 있는지 판단하는 통계적 추론 능력이 높지 않았다. 그뿐만 아니라 대부분 예비교사가 모비율의 추정을 교육과정에서 다시 다루는 것과 실생활 자료에서 나타나는 신뢰구간 관련 용어를 함께 다루는 것을 제안하였다. Currently, statistical literacy is emphasized for the purpose of statistics education in several countries, including South Korea. In order for students to have statistical literacy through statistics education, teachers must first have statistical literacy. Statistical estimation and hypothesis test are statistical knowledge which are essential to develop statistical literacy, and only statistical estimation is taught in the secondary curriculum of South Korea. The core of statistical estimation in the secondary curriculum of South Korea is to estimate the interval for the parameter by obtaining the confidence interval. Consequently, the teacher must have statistical knowledge on the confidence interval for students to develop the same statistical knowledge. On the other hand, statistical literacy is necessary to deal with real-world data, and the core of statistical thinking is to combine statistical areas and contextual ones. Therefore, this study first identifies the aspects of the confidence interval in real life data, explores the statistical literacy which is necessary to understand and make use of them, and analyzes whether prelimanary teachers have such statistical literacy from the perspective of knowledge of teaching. In the survey of real-life data, mass media data and government office data are selected to investigate aspects related to the confidence interval(e.g. type of estimated parameters, related terms, expression method of confidence interval). The survey of preliminary teachers is conducted making use of real-life data based on the analysis results of real-life data and behavioral objectives that can measure statistical literacy prepared in previous studies, and asks about knowledge and statistical reasoning on confidence interval. As a result of the study, data from central administrative agencies and media data showed that the frequency of population ratio estimation is higher than that of population mean estimation, the term "reliability level" appeared more often than the term "reliability", and the term “sample error” and its similar ones as well as the term “standard error” appeared frequently. Based on this, the statistical literacy on confidence interval which prelimanary teachers must have is to understand the meaning of confidence intervals on both population mean and population raio and interpret data in various contexts, to exactly understand the meaning of terms related to the confidence interval and utilize them in a proper manner, and to understand the correlationship between components of the confidence interval including sample error in various contexts. Reflecting the statistical aspects of real-life statistical data and the above literacy, preliminary teachers were asked if they had relevant statistical literacy. As a result, many preliminary teachers did not properly grasp the relationship between factors in the estimation of the population ratio, and their understanding of the terms related to the confidence interval not covered in the curriculum was low regardless of the type of the estimated parameters. In addition, most preliminary teachers suggested that the estimation of the population ratio be dealt with again in the curriculum as well as the terms related to the confidence interval that appear in real life data.

수정 Moriguti-Bulmer방법의 신뢰구간 : 1인자 분산구성모형에서

김형환 동아대학교 교육대학원 2008 국내석사

표본의 크기가 작을 때 표준화율 차이에 대한 동시신뢰구간

고진영 숭실대학교 대학원 2020 국내석사

The standardized rate is defined as a weighted sum of the stratum-specific crude rates, with its weights derived from a standard population. For the comparison of several regions the directly standardized rate is often employed to adjust for confounding effects arising from heterogeneous demographic structures such as age, gender, income level, and so on, among different populations. Directly standardized rates are usually compared in the absolute or relative forms i.e., standardized rate difference (SRD) or standardized rate ratio (SRR), respectively (Rothman, 2008). To the best of our knowledge, there is rather very limited literature regarding statistical procedures for testing standardized rates. In face, we have found only a few relevant methods including adjusted the Wald confidence interval proposed by Price and Bonett (2002) and the stratified score confidence interval proposed by Yan and Su (2010). Statistical methods applicable for comparing standardized rates are even harder to find. The Wald-type confidence interval may be the most straightforward method than can be construct to apply for comparing SRDs. In many previous studies, however, it has been repeatedly reported that the coverage properties of Wald confidence intervals using the maximum likelihood estimates of binomial proportions perform very poorly: they did not achieve targeted nominal levels, especially when sample sizes are small and at the boundary points of binomial proportions. The stratified Newcombe confidence interval proposed by Yan and Su (2010) appears to be the more one possibly utilized for testing SRDs. This method demonstrated its coverage probabilities close to targeted nominal levels. In this study, we propose novel statistical procedures of simultaneous confidence intervals for the comparsion of standardized rates, conveniently referred as to the extended Wald confidence interval and the hetero extended Wald confidence interval, Both confidence intervals stemmed from the stratified score confidence interval and more specifically, we derived the extended Wald confidence interval assuming the homogeneity between the binomial proportions of sub-groups whereas the hetero extended Wald confidence interval was derived under the assumption of the heterogeneity among the binomial proportions of sub-groups. In our simulation studies, we first compared the performance of the Wald confidence interval, the stratified Newcombe confidence interval, the extended Wald confidence interval, and the hetero extended Wald confidence interval when applied to the comparsion of SDRs. Since the extended Wald confidence interval and the hetero extended Wald confidence interval fundamentally differ in their assumptions over the heterogeneity levels of binomial proportions, we conducted simulation studies under various scenarios considering different heterogeneity levels. For objectively assessing the performance of different confidence intervals in comparison, we measured their coverage probabilities, powers, distances from a targetted nominal level, their interval lengths and the proportions of cases with their coverage probabilities below 0.93. The coverage probability of the Wald confidence interval was consistently lower than a nominal level regardless of the size and the heterogeneity levels of proportions of sub-groups. In the case of the stratified Newcombe confidence interval, its coverage probability were near the nominal level even if sample sizes for each sub-group were small. However, as the heterogeneity levels of proportions of sub-groups increase, its coverage probability became more conservative, and its power became lower compared to that of the Wald confidence interval. The coverage probability of the hetero extended Wald was close to the targetted nominal level regardless of sample sizes as long as the heterogeneity levels of proportions of sub-groups were positive, but its performance became poor when the heterogeneity levels of proportions of sub-groups were small or 0. For the extended Wald confidence interval, its coverage probability was near the targetted nominal level regardless of sample sizes and the heterogeneity levels of proportions of sub-groups. Also, the power of the extended Wald confidence interval was not significantly lower than that of the Wald confidence interval. The problem of multiple comparisons occurs as comparing the standardized rates of several regions in pair-wise fashion. In Agresti et al. (2008), the Tukey-Kramer method and Bonferroni correction were applied to deal with multiple testing issue as comparing the binomial proportions of different populations. Through simulation studies in this article, it was shown that the simultaneous confidence interval with the Tukey-Kramer method controls the family-wise error rate (FWER) reasonably well under the significance level even when the number of populations increases. On the other hand, Bonferroni correction showed too conservative patterns as the number of populations increases. Therefore, in our study, to handle with multiple comparions, we employed the Tukey-Kramer method to construct simultaneous confidence intervals for comparing the standardization rates. As applied the Tukey-Kramer method, the Wald simultaneous confidence interval did not show satisfactory performance in controlling FWER especially when sample sizes were small. The stratified Newcombe simultaneous confidence interval was very conservative when the heterogeneity levels of proportions of sub-groups was somewhat high. The hetero extended Wald confidence interval did not control FWER under the significance level when the heterogeneity levels of proportions of sub-groups were small or 0. The extended Wald simultaneous confidence interval overall outperformed the other methods, reasonably well controlling FWER under the significance level regardless of the heterogeneity levels of proportions of sub-groups and sample sizes. 표준화율은 지역 간 인구 구조의 차이를 보정한 지표로 각 층의 유병률의 가중 합으로 정의된다. 표준화율은 지역 간 유병률 비교 시 유용하며, 표준화 방법으로 직접 표준화(direct standardization) 방법이 흔히 사용된다. 지역 간 직접 표준화율 차이 검정에는 표준화율의 차이, SRD(standardized rate difference) 또는 표준화율의 비율, SRR(standardized rate ratio) 형태의 통계량이 사용되고 있다(Rothman, 2008). 표준화율 검정에 적용 가능한 선행 연구는 매우 제한적이며, Price와 Bonett (2002)이 제안한 수정 왈드 신뢰구간(adjusted Wald confidence interval)과 Yan과 Su (2010)가 제안한 층화 스코어 신뢰구간(stratified score confidence interval)이 있다. 표준화율 차이 검정으로는 SRD의 왈드 신뢰구간과 Yan과 Su (2010)가 제안한 층화 뉴콤 신뢰구간(stratified Newcombe confidence interval)이 있다. 일반적으로 비율 검정 시 왈드 신뢰구간은 표본의 크기가 작을 때 포함확률이 명목수준에 미치지 못한다. 반면 층화 뉴콤 신뢰구간은 포함확률이 명목수준과 가깝다고 알려져 있다. 본 연구에서는 표본의 크기가 작을 때 표준화율 차이 검정에 적용 가능한 동시신뢰구간을 제안한다. Agresti와 Caffo (2000)에서 비율 검정 시 스코어 신뢰구간을 수정하여 왈드 신뢰구간의 형태로 만든 수정 왈드 신뢰구간을 제안하였다. 이와 유사하게 이 연구에서는 층화 스코어 신뢰구간을 수정하여 확장 왈드 신뢰구간(extended Wald confidence interval), 이질확장 왈드 신뢰구간(hetero extended Wald confidence interval)을 제안한다. Yan과 Su (2010) 연구에서 모든 층의 비율이 동질적인 경우와 이질적인 경우를 고려한 두 가지 형태의 층화 스코어 신뢰구간을 제안하였다. 확장 왈드 신뢰구간은 층간 이질성이 0일 때를 가정하고 도출한 신뢰구간이며, 이질확장 왈드 신뢰구간은 층간 이질성이 0보다 클 때를 가정하고 도출한 신뢰구간이다. 이 연구에서는 표준화 비율 차이 검정에 대한 왈드 신뢰구간, 층화 뉴콤 신뢰구간, 확장 왈드 신뢰구간 그리고 이질확장 왈드 신뢰구간의 성능을 모의실험을 통해 비교했다. 이때, 확장 왈드 신뢰구간과 이질확장 왈드 신뢰구간은 층간 이질성에 대한 가정이 다르기 때문에 다양한 층간 비율을 고려하여 모의실험을 진행했다. 서로 다른 통계량의 성능 비교를 위해 포함확률(coverage probability), 검정력(power), 의 평균 거리, 신뢰구간의 길이와 포함확률이 0.93 밑으로 떨어지는 비율을 평가 지표로 사용했다. 모의실험을 통해 SRD의 왈드 신뢰구간은 층간 이질성의 크기에 상관없이 표본의 크기가 작을 때 포함확률이 유의수준에 미치지 못함을 확인했다. 층화 뉴콤 신뢰구간은 층간 이질성의 크기가 커지면 굉장히 보수적으로 변했으며, 또한 검정력은 왈드 신뢰구간에 비해 매우 떨어졌다. 이질확장 왈드 신뢰구간은 표본의 크기에 상관없이 층간 이질성이 0보다 클 때 포함확률이 명목수준과 가까웠으나, 층간 이질성이 0일 때는 전반적으로 성능이 좋지 않았다. 확장 왈드 신뢰구간은 표본의 크기와 층간 이질성의 크기에 상관없이 포함확률이 명목수준과 가까웠으며, 확장 왈드 신뢰구간의 검정력은 왈드 신뢰구간에 비해 크게 떨어지지 않았다. 서로 다른 여러 지역의 표준화율 비교 시 FWER(family-wise error rate)을 유의수준 내로 통제하지 못하는 다중비교 문제가 발생한다. Agresti 등 (2008)에서 여러 집단의 비율 비교 시 다중비교 문제를 해결하기 위한 방법으로 투키-크레이머 방법(Tukey-Kramer method)과 본페로니 교정(Bonferroni correction)을 사용하였다. 선행 연구에서 투키-크레이머 방법을 적용한 동시신뢰구간은 비교 집단의 개수가 증가해도 FWER을 유의수준 내로 잘 통제하는 경향을 보였다. 반면, 본페로니 교정을 사용한 방법은 비교 집단의 개수가 많아지면 보수적으로 변했다. 따라서 이 연구에서는 표준화율 비교 시 다중비교 문제를 해결하기 위해 투키-크레이머 방법을 적용한 동시신뢰구간을 사용했다. 투키-크레이머 방법을 적용하였을 때, SRD의 왈드 동시신뢰구간은 표본의 수가 작은 경우에는 FWER을 유의수준 내에서 잘 통제하지 못했으며, 층화 뉴콤 동시신뢰구간은 층간 이질성이 클 때 굉장히 보수적인 경향을 보였다. 투키-크레이머 방법을 적용한 이질확장 왈드 동시신뢰구간은 층간 이질성이 0일 때 FWER을 유의수준 내로 통제하지 못했으나, 확장 왈드 동시신뢰구간은 층간 이질성의 정도와 표본의 크기에 상관없이 FWER이 유의수준을 크게 벗어나지 않았다.