복소수 사칙연산의 기하학적 의미

장봉규 仁荷大學敎 敎育大學院 2002 국내석사

복소수와 방정식에 대한 현직교사의 수학적 지식(MKT) 분석

이정희 한국교원대학교 교육대학원 2013 국내석사

본 연구에서는 수학 교사들이 복소수와 방정식의 개념들을 어떻게 이해하고 있으며 학생들을 지도할 때 어떤 방식으로 접근하는지를 심층적으로 살펴보았다. 이를 통해 복소수와 방정식을 지도하는 방법과 교사의 개념 이해의 관련성을 분석하는 과정에 대한 기초 자료를 제공하고, 학교 현장에서 수학 교사의 수업 전문성 강화를 위해 무엇이 필요하고 우선되어야하는지 현직 교사 재교육의 관점에서 교수학적 시사점을 제시하고자 했다. 연구 목적을 위해 연구문제를 다음과 같이 설정하였다. 1. 현직 교사들이 가진 복소수와 방정식 지도를 위한 ‘교과 내용 지식-특수 내용 지식(SCK)’은 어떠한가? 1-1. 교사는 복소수 연산에 대한 교과서의 진술 방식을 대수적 구조와 관련하여 어떻게 해석하는가? 1-2. 교사는 방정식 풀이의 대수적 구조를 어떻게 이해하고 있는가? 1-3. 교사는 복소수의 대수적 완비성에 대해 어떻게 이해하고 있는가? 2. 현직 교사들이 가진 복소수와 방정식 지도를 위한 ‘교수학적 내용 지식(PCK)’은 어떠한가? 2-1. 교사는 복소수의 대소 비교 불가능에 대해 학생이 범할 수 있는 오류를어떻게 예측하며, 이를 바로잡기 위해 어떻게 지도하는가? 2-2. 교사는 음수의 제곱근의 계산에서 학생이 범할 수 있는 오류를 어떻게 인식하며, 이를 바로잡기 위해 어떻게 지도하는가? 연구문제 해결을 위해 2012년 7월에서 8월까지 2개월 동안 경기도 광주시, 구리시, 남양주시, 성남시, 수원시, 경상남도 김해시에 소재한 8개 인문계열 일반계 고등학교의 현직 수학 교사들을 대상으로 설문조사를 실시하여, 62부의 설문지에 응답한 현직 교사들을 분석 대상으로 삼았다. 설문지를 분석하여 복소수와 방정식에 관한 현직 교사의 교과 내용 지식-특수 내용 지식(SCK)에 대해 다음과 같은 연구 결과를 얻었다. 복소수와 방정식에 관한 현직 교사의 SCK는 복소수의 연산과 이차방정식 풀이의 대수적 구조, 복소수의 대수적 완비성에 대한 수학적 지식으로 나누어 살펴보았다. 39%(24명)의 교사가 복소수 연산에 대한 교과서의 전개방식의 차이를 ‘역연산(대수적 구조) 관계’로 설명할 수 있는 수학적 지식을 갖추고 있었다. 또한 교사들은 교과서의 전개 순서를 대수적 구조와 관련시키기보다는 학생들이 복소수 계산에 능숙해지는데 어떤 방식이 더 효과적인가로 해석하고 판단하는 경향이 강했다. 즉, 현직 교사들이 교과서의 의도를 해석할 수 있도록 돕는 수체계의 대수적 구조에 대한 SCK보다는 수업 경험을 통해 복소수 연산에 대한 절차적 지도 관점(PCK)을 선택하고 있음을 알 수 있었다. 대부분의 교사들은 복소수가 실수의 연산 법칙을 그대로 만족하도록 정의되어 있는 점을 근거로 허수 계수의 이차방정식에서도 근의 공식과 근과 계수와의 관계가 성립한다고 판단할 수 있었다. 그러나 일부는 루트안에 허수가 들어가는 경우에 대해 혼란스러워하며 수학적 판단에 어려움을 겪었다. 마지막으로 대수학적 기본정리에 대한 교사의 수학적 지식이 복소계수 방정식으로 확장되지 못하고, ‘실수가 아니면 허수’와 같은 도식에 따라 복소수의 대수적 완비성을 이해하고 있는 경우가 많았다. 복소수에 관한 교수학적 내용 지식(PCK) 중에서 내용과 학생에 대한 지식(KCS)은 음수의 제곱근의 곱셈과 허수의 대소 비교에서 학생들이 자주 범하는 오류를 현직 교사들이 어떻게 예측하거나 판단하는지를 통해 알아보았다. 교사들은 음수의 제곱근의 계산에서 학생이 틀린 부분은 정확히 찾아내었으나 그 원인에 해당하는 오류를 학생의 풀이 과정 전체를 놓고 분석하기보다는 틀린 곳만 고립적으로 보고 판단하는 경향이 있었다. 또한 복소수의 대소 비교에서는 교사 자신이 수학적 판단에 어려움을 겪은 것과 마찬가지로 학생들 역시 실수 전체에서 성립하는 부등식의 성질 ‘a>b ⇔ a+c > b+c’을 복소수에 확대 적용하는 오류를 가장 많이 범하리라 예측하였다. PCK 중 내용과 교수에 대한 지식(KCT)은 현직 교사들이 음수의 제곱근의 곱셈과 허수의 대소 비교에서 학생이 범한 오류를 바로잡기 위해 어떻게 지도하는지를 통해 조사해보았다. 교사들은 대부분 계산 순서에 관한 지침을 주거나 계산 규칙을 제시하는 등 학생이 음수의 제곱근 곱셈을 헛갈리지 않고 능숙하게 계산하도록 도움을 주는데 초점을 두는 절차적 오류 교정 지도 관점을 가지고 있었다. 또한 허수가 대소 비교 가능하다는 오류에 대한 교정 지도는 단순히 ‘허수는 대소 비교 불가’라는 형식적인 설명이 주를 이뤘다. 학생이 개념적 어려움을 겪는 주제임에도 교사들이 형식적인 지도 방법을 선택할 수 밖에 없는데는 여러 이유가 있을 수 있겠지만, 허수의 대소 비교에 대해 복소평면, 복소수의 극형식이 빠진 교육과정 범위 안의 지식만으로 설명하기 쉽지 않기 때문에 교사들 역시 허수의 대소 비교에 대해 형식적인 접근을 하게 되며 이것이 오류를 범하는 학생을 지도하기 위한 KCT에도 영향을 미치고 있는 것으로 보인다. 결론적으로 상당수의 현직 교사들이 학교 수학을 고등 수학의 상위 관점에서 파악하고 그 수학적 타당성을 판단하기 보다는, 되도록 교육과정 범위 안의 내용과 방법으로 학교 수학을 이해하고 받아들이는 것으로 나타났다. 즉, 교사들은 다년간 교육과정, 교과서 중심의 수업을 수행하면서 자연스럽게 고등 수학적 지식보다는 교육과정 범위 안에서 사용할 수 있는 지식이나 방법을 기초로 학생들이 받아들이기 쉬운 내용과 친숙한 방법을 선택하는 경향을 갖고 있음을 알 수 있었다. 또한, 교사들에겐 학생의 풀이를 전체적으로 조망하고 분석하여 학생의 오류를 보다 정확하게 짚어낼 수 있는 KCS가 필요함을 알 수 있었다. 그리고 교사들은 학생의 오류를 바로잡기 위해 대부분 개념적 접근보다는 계산 순서를 제시하거나 형식적인 설명을 주로 제시하고 있었다. 이러한 연구 결과들은 교사들에게 학교 수학의 각 주제들을 학문적 관점에서 깊이 이해하고, 각 내용들이 서로 어떤 맥락으로 이어지는지 고등 수학의 상위 관점에서 파악할 수 있도록 돕는 수학적 지식이 필요함을 시사한다. 학교의 수업이 주로 교과서를 중심으로 이루어지는 현실에서, 수학 교사가 학생의 수학적 사고 과정에 의미있는 개념적 정보를 제공하여 학생의 수학적 탐구를 이끌어주고 개념적 이해를 심화시키는 역할을 수행하기 위해서는, 교사 자신의 수학적 지식을 바탕으로 교과서가 왜 어떤 내용을 포함하며, 왜 그렇게 전개되는가를 이해하고 있어야 하며, 수업에 맞게 수정․보완하여 재구성할 수 있어야 한다. 따라서 다양한 수학적 주제에 대한 교사의 개념 이해와 교수․학습 방법사이의 관련성을 분석하는 연구들이 이루어질 필요가 있다. 또한 현재 활발하게 일어나고 있는 수학 교사들의 수업 전문성 개발에 대한 논의가 수업 방법적인 측면뿐만 아니라 수학 교사들이 효과적인 수학 수업을 위한 수학적 지식을 갖추고 발전시켜나갈 수 있도록 지속적으로 수학 교사를 체계적으로 지원하는 방안에 대해서도 이루어져야할 것이다.

대수학 및 기하학을 이용한 복소수의 효율적인 지도 방안

박수환 전남대학교 교육대학원 2012 국내석사

본 논문은 고등학교에서 복소수를 지도할 때 대수적 방법뿐 만 아니라 기하학적 지도 방안을 도입하여 학생들이 복소수 개념을 더 쉽게 이해할 수 있게 하였다. 그리고 복소수의 다른 영역과의 연계를 통해 복소수의 유용성에 대해서 말하고자 한다. 이를 위하여 다음과 같이 하였다. 첫째, 복소수 개념을 확립하기까지 역사적으로 수학자들이 접근하는 방법에 대해서 조사하였다. 둘째, 복소수를 지도하는 기하학적 방안을 제시했다. 셋째, 개발한 지도 방안은 실제 수업에 적용하여 학생들의 학습 실태를 조사하였다. 넷째, 복소수의 활용을 제시하여 학생들이 복소수를 학습할 때 흥미를 느끼고 잘 이해할 수 있도록 한다.

복소수의 개념 및 연산의 기본 성질에 대한 오류 분석 : 고등학교 1학년 대상으로

최종민 한국교원대학교 대학원 2009 국내석사

This study aimed at examining tenth graders' understanding of the concept of basic numbers and the basic features of calculation involving complex numbers, types of misconceptions and errors they make in calculation involving complex numbers and the causes of the errors. In order to achieve such aim, the following three research questions were addressed in the study. 1. To what extent do tenth graders understand the concept of complex numbers? (1). How well do tenth graders understand the concept of complex numbers? (2). What types of misconceptions are made by tenth graders with poor understanding of the concept of complex numbers? 2. To what extend do tenth graders understand the basic features of calculation involving complex numbers? (1). How well do tenth graders understand the features of calculation involving complex numbers? (2). What types of errors do tenth graders make in the process of solving problems on the basic features of calculation involving complex numbers? 3. What are the causes of misconceptions and errors committed in the process of solving problems on the concept of complex numbers and the basic features of calculation involving complex numbers? For this study, four academic high schools in Daejeon metropolitan city were selected. The subjects of the study included students of eight classes (a total of 305), two from each of the four schools. The test paper used in the study contained a total of 10 questions created through the analysis of the unit ‘complex number’ of high school textbook <10-Ga> published under the 7th national mathematics curriculum. After testing, the collected test papers were analyzed in detail to examine high school students' understanding and application ability of the concept of complex numbers and the basic features of calculation involving complex numbers. In addition, interviews with the students were also conducted to identify the causes of the difficulties they experience in such processes. The findings of the study were as follows. First, an examination into tenth graders' understanding of the concept of complex numbers and the basic features of calculation involving complex numbers found that of a total of 305 students, 25.8% presented correct answers to a question of the concept of complex numbers, 20.45% to a question of the features of complex numbers and 41.15% to a calculation question that requires the application of the concept and features of complex numbers. Second, the types of misconceptions regarding the concept and features of complex features were classified into the following six types: misconception attributed to inappropriate formalization; misconception attributed to confusions over the use of terminologies and signs; misconception of failing to verify result, misconception attributed to lack of fundamental knowledge, misconception of concentrating only on the result of a theorem and ambiguous misconception. Except for ambiguous misconception, misconceptions attributed to inappropriate formalization took first place with 39.33%. Third, the types of errors committed in conducting calculation involving complex numbers were classified into the following five types: error attributed to lack of fundamental knowledge, errors attributed to the use of a misunderstood theorem, error of failing to verify result, technical error and ambiguous error. Of these, technical errors took first place with 32.18%. Fourth, the causes of misconceptions and errors the students made with regard to the concept of complex numbers and the basic features of calculation involving complex numbers were as follows. ① The students turned out to have difficulty using , the imaginary unit defined to introduce complex numbers, and newly introduced terminologies and signs. ② It was found that the students failed to understand accurately inclusion relations among numerical concepts. ③ It was found that the students applied real number calculation rules to calculation involving complex numbers with no conflicts, and temporarily memorized only result without considering given conditions when learning certain concept or features. ④ The students did not go through the process of verifying their answers sufficiently. As a result, they produced errors attributed to mistakes in calculation process, and failed to present the correct answer to a question. 본 연구의 목적은 고등학교 1학년 학생들의 복소수의 개념 및 연산의 기본 성질에 대한 이해상태와 연산 과정에서 나타나는 오개념 및 오류의 유형을 알아보고, 그에 대한 원인이 무엇인지 알아보고자 하였다. 따라서 본 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 3개의 연구문제를 설정하였다. 1. 복소수의 개념을 어느 정도 이해하고 있는가? (1) 복소수의 개념에 대한 이해 상태는 어떠한가? (2) 복소수의 개념에 대해 잘 이해하고 있지 못한 학생들이 범하는 오개념의 유형은 무엇인가? 2. 복소수 연산의 기본 성질을 어느 정도 이해하고 있는가? (1) 복소수 연산의 기본 성질에 대한 이해 상태는 어떠한가? (2) 복소수 연산의 기본 성질에 대한 문제 해결 과정에서 학생들이 범하는 오류의 유형은 무엇인가? 3. 복소수의 개념 및 연산의 기본 성질에 대한 문제 해결 과정에서 나타나는 오개념 및 오류에 대한 원인은 무엇인가? 본 연구를 수행하기 위하여 연구 대상을 대전광역시에 소재하고 있는 인문계 고등학교 4개를 선정하여 고등학교 1학년 각 2학급씩 8개 학급(총305명)을 연구 대상으로 하였으며, 검사지는 우리나라 7차 수학과 교육과정과 고등학교 교과서 <10-가>의 ‘복소수’ 단원을 분석하여 총 10문항으로 제작하였다. 검사 후 검사지를 분석하여 복소수의 개념 및 연산의 기본 성질에 대한 고등학교 학생들의 이해 상태와 그에 따른 적용 능력을 보다 구체적으로 분석하고 그 과정에서 학생들이 겪는 어려움과 원인을 알아보기 위하여 면담을 실시하였다. 그 결과는 다음과 같다. 첫째, 고등학교 1학년 학생들의 복소수의 개념과 복소수의 연산의 기본 성질에 관하여 검사한 결과 전체 305명 중 복소수의 개념에 관한 영역에서 25.8%, 복소수의 성질에 관한 영역에 20.45%, 복소수의 개념과 성질을 적용하는 계산 영역에서 41.15%의 정답률을 나타냈다. 둘째, 복소수의 개념과 성질에 대한 오개념의 유형에는 개념의 부적절한 형식화에 따른 오개념, 용어 및 기호 사용의 혼동에 의한 오개념, 결과의 타당성을 검증하지 않은 오개념, 기본적인 지식 결여에서 오는 오개념, 정리의 결과에만 집중하는 오개념, 애매한 오개념으로 6가지 유형으로 분류하였다. 애매한 오개념을 제외하고 개념의 부적절한 형식화에 따른 오개념이 39.33%로 가장 높게 나타났다. 셋째, 복소수의 계산 문제에 대한 오류의 유형에는 기본적인 지식 결여에서 오는 오류, 잘못 이해된 정리의 사용에서 오는 오류, 결과의 타당성을 검증하지 않은 오류, 기술적인 오류, 애매한 오류로 5가지 유형으로 분류하였다. 이 중에서 기술적인 오류가 32.18%로 가장 높게 나타났다. 넷째, 학생들이 복소수의 개념 및 연산의 기본 성질에 대한 오개념 및 오류에 대한 원인은 다음과 같다. ① 복소수를 도입하기 위해 정의한 허수단위 의 어려움과 새롭게 등장한 용어와 기호 사용에 있어서의 어려움을 갖고 있는 것으로 나타났다. ② 수 개념 사이의 포함관계를 정확하게 이해하지 못하는 것으로 나타났다. ③ 실수에서의 연산의 규칙을 복소수에서도 아무런 갈등 없이 그대로 받아들이며 사용할 뿐만 아니라 어떤 개념이나 성질을 학습할 때 조건을 무시한 채 결과만을 단편적으로 기억하는 것으로 나타났다. ④ 자신이 제시한 답의 타당성을 확인하는 과정이 많이 부족하였으며, 이로 인해 계산과정에서 실수로 인한 오류를 보였으며 문제가 요구하는 정확한 답을 표현하지 못하는 것으로 나타났다.

복소수를 활용한 수학 영재 교수-학습 자료 개발

권종욱 한국교원대학교 대학원 2011 국내석사

본 연구의 목적은 창의적 산출물로 다루어질 수 있는 복소수에 관한 소재를 찾고, 이에 관한 수학 영재 교수-학습 자료 개발을 하는 것이다. 본 논문에서 창의적 산출물로 다루어 질 수 있는 복소수에 관한 소재란 패턴을 이용하여 가우스 정수에서 소수 찾기, 복소수의 극형식을 이용하여 별자리 찾기, 가우스 정수를 2차원으로 보았을 때 3차원으로 볼 수 있는 집합이 존재하지 않는 이유, 프랙탈 기하에서의 복소수의 역할 등 연구자가 선택한 복소수에 관한 내용이다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 가. 창의적 산출물로 다루어질 수 있는 복소수에 관한 소재는 무엇인가? 나. 개발한 복소수를 활용한 수학 영재 교수-학습 자료는 어떠한가? 본 연구의 목적을 달성하기 위하여 교과서 및 교육과정에 있는 복소수에 관한 내용을 검토한 후 연구자의 목적에 맞게 교과서 및 교육과정 외의 복소수에 관한 내용을 검토하였다. 그리고 신현용, 한인기, 이종욱(2000)이 제시한 창의성 신장을 위한 학습 자료 개발 연구의 준거를 가지고 교수-학습 자료의 개발 기준을 선정하여 창의적 산출물을 중시하는 교수-학습 자료를 개발하였다. 개발한 자료의 타당성을 검증받기 위하여 평가 문항을 전문가 4명에게 의뢰하여 개발한 자료의 통계 결과를 분석하였다. 그리고 분석한 결과로 자료를 수정 및 보완하였다. 본 연구를 통하여 얻은 결과는 다음과 같다. 첫째, 창의적 산출물로 다루어질 수 있는 복소수에 관한 소재가 무엇인지 연구를 한 결과 자연 탐구활동을 통한 복소수에 관한 소재를 찾을 수 있었다. 소재로는 복소수의 극형식을 이용하여 별자리를 찾는 것, 고사리나 눈꽃송이 같은 프랙탈 기하에서의 복소수의 역할, 3차원 공간으로 볼 수 있는 집합이 존재하지 않는 이유, 양자 역학과 같은 실생활에서의 복소수의 활용이다. 둘째, 개발한 복소수를 활용한 수학 영재 교수-학습 자료는 총 2차시로 구성된다. 1차시에는 복소수와 가우스 평면 의 사칙연산을 이용하여 활동 4개를 제시하였다. 패턴을 이용하여 에서 소수가 에선 소수가 안 되는 수들을 찾는 활동, 5개의 격자점을 택하여 비둘기집의 원리를 이해하는 활동, 복소수의 일반적인 라는 표현을 극형식으로 표현함으로써 밤하늘에 떠 있는 별자리를 찾는 활동, 양자역학 같은 물리학에서 복소수가 실생활에서 어떻게 이용되는지 이해하는 활동이다. 2차시에는 3개의 활동을 제시하였다. 복소수를 2차원 공간으로 봄으로써 얻을 수 있는 유용성과 3차원 공간으로 볼 수 있는 집합은 왜 없는지 생각해 보는 활동, 차원의 확대와 4차원 공간의 도입에 대한 활동, 프랙탈 기하에서 구체적으로 복소수가 어떤 역할을 하는지 수학영재들에게 학습의 기회를 제공하는 활동이다.

기하적 특성을 강조하는 복소수 지도

최효정 전남대학교 교육대학원 2008 국내석사

초등학교에서 중학교에 이르기까지 수의 확장에 대한 지도는 눈에 보이는 사물이나 수직선등을 통하여 이루어져 왔다. 이에 비하여 고등학교에서 처음 배우는 복소수의 경우, 단순히 이차방정식 을 만족하는 새로운 수라는 대수적 성질만으로 를 도입하고 있다. 그렇기 때문에 많은 학생들이 복소수 개념을 습득하는데 어려움을 겪고 있다. 따라서 본 논문은 고등학교에서 복소수를 지도할 때 대수적 측면 뿐 아니라 기하적인 측면을 도입하여 학생들이 복소수 개념을 더 쉽게 이해하고, 수학교과뿐 아니라 물리 및 다른 영역과의 연계로 자연스럽게 이루어질 수 있도록 지도법을 제시하고자 하였다. 이를 위하여 복소수 개념을 확립하기까지 수학자들이 역사적으로 접근한 기하학적 방법들을 조사하고, 현행학교에서의 복소수 지도 현황을 분석하였다. 이를 바탕으로 기하적 측면을 강조하는 복소수 지도 방법을 제시하였다. From elementary school to middle school, the guidance in expansion of number has been performed through visible objets or a verticle line. But in case of a complex number, which is learned first in high school, it introduces simply as a new number that satisfies a quadratic equation. As a result many students have much difficulty in acquiring the concept of a complex number. This paper aims to present the method of guidance that leads students to understand easier the concept of a complex number and can be connected with physics or other fields as well as mathematics by introducing the geometrical side in addition to algebraical side. So I determined historical methods of geometry that mathematicians had used in order to find out the concept of a complex number, and analyzed the present status of guidance on a complex number in school. Finally I presented the method of guidance to emphasize the geometrical side.

교과서에 표현된 복소수와 이에 대한 학생들의 이해실태분석

박선호 경북대학교 교육대학원 2011 국내석사

본 연구는 ‘2007 개정 교육과정 해설서’와 16종의 수학교과서 내용을 먼저 분석하였고, 이를 토대로 복소수 단원의 내용을 학생들이 어떻게 이해하고 있는가를 조사하는 검사지를 제작하여 일반계 고등학생들의 이해 실태를 알아내는데 목적이 있다. 즉, 일반계 고등학교 교과서의 복소수 단원 내용은 어떻게 구성되어 있는지, 학생들이 복소수 개념을 어떻게 이해하고 있는지를 알아보고자 하였다. 이러한 연구 목적을 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 연구문제 1. 개정 7차 교육과정에서 복소수 단원의 내용은 어떻게 구성되어 있는가? 그리고 교과서의 복소수 단원의 내용은 복소수 개념을 학습하기에 적절하게 구성되어 있는가? 연구문제 2. 일반계 고등학생들은 복소수 단원을 학습한 이 후, 복소수 개념을 파악하고 있는가? 연구문제 1을 수행하기 위하여 ‘2007 고등학교 교육과정 해설서를 분석하고, 16종의 일반계 고등학교 수학 교과서를 비교 검토하였다. 그리고 연구문제 2를 수행하기 위하여 대구에 있는 일반계 고등학교 상위수준 학생들을 대상으로 정하였다. 검사를 위해서 교육과정의 내용을 기반으로 복소수 개념에 관련된 4문제를 제작하여 검사를 실시하였다. 연구문제에 대한 연구결과는 다음과 같이 요약할 수 있다. 첫째, 교과서의 복소수 단원 내용은 복소수 개념을 논리적으로 구성하지 못하고 있다. 허수단위의 도입에서 두 가지 표기가 이유 없이 제시되고 있고, 이는 음수 제곱근의 두 가지 표기법으로 이어지고 있다. 구분기호와 연산기호의 차이에 대한 설명이 전혀 없다. 복소평면의 제외는 복소수 개념 자체의 형성을 더 어렵게 하고 있다. 개념들이 논리적 설명 없이 정의로서 제시되고 있다. 둘째, 첫째에서 지적한 내용의 교과서로 학습한 학생들로서는 너무도 당연하게 복소수 개념이 형성되어 있는 것이 아니라 실수 집합의 연산의 확장 정도로 인식하고 있다. 이는 복소수 연산의 혼란을 야기하고 있고 복소수 수체계 자체에 대한 이미지 형성이 이루어지지 않았다고 할 수 있다. 본 연구로부터 다음과 같은 시사점을 얻을 수 있다. 첫째, 7차 교육과정으로 넘어오면서 학습부담 경감을 위하여 복소수 단원의 내용이 지나치게 축약된 결과 단원의 논리적 구성이 불가능해졌으므로 단원 내용의 올바른 구성을 위해서는 양적 확충이 필요하며, 형식적 조작기에 해당되는 고등학생 단계에 맞게 논리적으로 구성할 필요가 있다. 둘째, 교사들은 복소수 단원 내용의 중요성을 인지하고 학생들이 개념적이고 논리적인 사고를 할 수 있도록 단원의 내용을 재구성하고 정확한 개념구성과 논리적 내용전개를 통하여 지도할 필요가 있다고 생각된다. In this study, contents of ‘the 2007 revised curriculum handbook’ and 16 kinds of mathematics textbook were analyzed first. The purpose of this study is to examine the understanding state of students at general high schools by making questionnaires to survey the understanding state on contents of chapter of complex number based on above analysis. In other words, I would like to investigate the compositions of chapter of complex number on the textbook of general high schools and how students understand the concept of complex number. Research question 1 How is the content of chapter of complex number configured in the 7th revision of curriculum? Is the configuration of content of chapter of complex number appropriate for students to learn the concept of complex number ? Research question 2 Once students in general high schools learned the chapter of complex number, did they understand the concept of complex number? In order to perform the research question 1, ‘2007 high school curriculum handbooks were analyzed and 16 kinds of mathematics textbook for general high schools were compared. In order to perform the research question 2, high-level students of freshmen at general high schools located in Daegu were set as target. For the test, 4 questions related to the concept of complex number on the basis of contents of curriculum were made and the test was conducted. Results of research on these research questions can be summarized as follows. First, the content of chapter of complex number in textbook was not logically organized. In the introduction of imaginary number unit, two kinds of marks were presented without any reason and it has led to two kinds of notation of negative square root. There was no explanation of difference between delimiter symbol and operator symbol at all. The exclusion of complex plane made it difficult to form the concept of complex number itself. The concepts were presented as definition without logical explanations. Second, students who learned with textbook in which problems were pointed out above did not have concept of complex number for granted, and recognized it as expansion of operation of set of real numbers. It meant that they were confused of operation of complex numbers and did not form the image about number system itself of complex number. Implications from this study can be obtained as follows. First, as we came over to the 7th curriculum, the contents of chapter of complex number were too abbreviated to have the logical configuration of chapter in order to remove the burden for learning. Therefore, the quantitative expansion and logical configuration fit to the level for high school students corresponding to the formal operating stage are required for correct configuration of contents of chapter. Second, teachers realize the importance of chapter of complex number and reconstruct the contents of chapter to let students think conceptually and logically. Also they need to teach them through the accurate concept configuration and logical deployment of contents.

수학사를 활용한 교수-학습 자료 개발 : 복소수 영역을 중심으로

박지호 전남대학교 2015 국내석사

본 연구의 목표는 수학사를 바탕으로 학생들이 보다 쉽게 복소수의 개념을 이해하고 능동적으로 수학을 학습할 수 있도록 복소수의 효과적인 교수-학습 자료를 개발하고자 한다. 개발한 교수-학습 자료는 복소수의 개념, 복소수의 연산, 복소수의 확장으로 세 가지 주요 영역으로 구성되어 있다. 이를 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 수학사를 통해 복소수 개념의 형성과정을 조사한다. 2. 수학사를 활용하여 학생들이 복소수 개념을 이해할 수 있는 효과적인 교수-학습 자료를 개발한다. 본 연구의 목적을 달성하기 위해, 복소수에 대한 이론적인 배경을 조사하고 고등학교 교과서 및 교사 지도서를 참고하여 복소수 개념의 지도방안을 살펴보았다. 효과적인 교수-학습 자료를 개발하기 위해, 광주시 인문계 고등학교 2학년 남학생 2명과 여학생 2명을 대상으로 총 3차시에 해당하는 사례연구를 실시하였다. 본 연구의 결과, 수학사를 활용한 수업방식이 기존의 전통적인 수업방식보다 학생들의 적극적인 수업참여와 능동적인 태도를 갖게 하는데 매우 효과적임을 보여주었다. 따라서 개발한 학습자료는 학생들에게 수학을 공부할 수 있는 동기를 부여 할 수 있으며, 수학적 사고와 개념을 이해하는데 도움을 줄 수 있다.

고등학교에서 순서쌍을 이용한 복소수 지도에 관한 연구

이종철 檀國大學校 敎育大學院 2003 국내석사

수학에서 가장 기초가 되는 것은 곧 수이다. 따라서 이 수로부터 형성된 수체계는 수학을 연구하는데 있어서 가장 기초가 된다고 하겠다. 이러한 수체계에서 가장 확장된 것이 복소수체계이다. 수체계는 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수로 확장된다. 현재 고등학교에서 도입하고 있는 복소수 또한 실수의 확장으로서 그 의미를 설명하고 있다. 실수의 세계에서 방정식을 풀 때에도 복소수는 필요하며 함수나 기하에서도 실수 속에서만 생각하는 것보다는 복소수 속에서 생각하는 것이 보다 많은 이론을 만들어낼 수 있다. 또한 전기나 물리학에서 허수는 반드시 필요하다. 양자역학에서 물리량은 무수한 복소수의 조합으로 표현되기도 하고, 상태를 나타내는 파동함수도 복소함수이다. 따라서 자연계의 현상과 법칙을 알기 위해서는 복소수를 사용하지 않을 수 없다. 복소수의 이와 같은 효용성으로 볼 때, 고등학교 수학에서 효율적인 복소수의 도입을 생각하고 그 방법을 모색해보는 것은 의의 있는 일이다. 현행 고등학교 수학에서는 이차방정식의 허근에서 를 도입하고 실수의 확장으로 이 를 사용하여 단, 는 실수)를 복소수로 도입하고 있다. 이 방법보다는 보다 자연스러운 확장방법으로 실수가 한 개의 수로 나타내어진 수 곧 일차원의 수임에 비해 복소수는 두 개의 수로 나타내어진 순서쌍 , 곧 이차원의 수로 도입을 하는 방법은 바람직한 한 방법이다. 따라서 여기서는 기존의 방법과 순서쌍으로 도입하는 것을 비교 검토하여 순서쌍으로 도입이 가능한 가를 알아보았고 그 활용 곧, 복소수와 평면, 일차변환, 벡터, 행렬에 대해서도 알아보았다. 이상에서 알아본 결과로 복소수는 평면과 연계할 수도 있는 순서쌍으로 도입되고, 복소수를 순서쌍으로 도입한 후에 를 사용하여 (단, 는 실수)로 표현하는 것이 바람직한 지도의 방법이라 생각된다. 결국 복소수를 지도함에 있어서 복소수 그 자체만을 지도하는 것보다는 복소수를 학습함으로 인하여 다른 학습에 연계될 수 있는 여러 가지 현상들을 학생 스스로 연상하고 계획할 수 있는 창의적인 학습활동이 될 수 있도록 지도하여야 하고, 또한 교사는 부단히 노력하여 교과과정은 물론이며 그 이상의 내용도 필요하다면 재구성하여 학생들에게 소개할 필요가 있다고 생각된다.

Redundant Binary 연산을 이용한 실수/복소수 승산기

홍종욱 연세대학교 대학원 2000 국내석사

본 논문에서는 DSP 연산기능을 내장한 프로세서 응용에 유용한 실수/복소수 승산기의 구조를 제시한다. DSP 연산기능에는 일반적으로 복소수 연산이 포함되며 복소수 연산은 푸우리에 변환 (Fourier transformation), 콘볼루션 (convolution), 필터링 (filtering) 등의 다양한 신호처리 분야에서 필수적인 연산 기능이다. 따라서 본 연구에서는 이러한 DSP 기능을 내장한 프로세서에서 복소수 연산을 효율적으로 처리하기 위해 실수 승산과 복소수 승산을 단일 승산기 구조에서 효율적으로 수행하는 실수/복소수 승산기를 설계한다. 설계된 실수/복소수 승산기는 (1) 배정도 (double precision) signed 실수 승산 (16 bit × 16 bit), (2) 단정도 (single precision) signed 복소수 승산 (8bit 실수부, 8bit 허수부), (3) 단정도 signed 실수 승산 (8 bit × 8 bit), (4) 단정도 unsigned 실수 승산 (8 bit × 8bit) 의 네 가지 승산을 모두 단일 사이클에 수행할 수 있으며 기존의 실수 또는 복소수 승산기에 비하여 하드웨어와 지연시간의 오버헤드 (overhead)가 거의 없어 추가의 비용없이 실수/복소수 승산을 모두 효율적으로 처리할 수 있다. 본 승산기 설계에서는 보다 빠른 승산기 구현을 위해 기존의 일반적인 binary 연산대신에 Signed Digit (SD) 수 체계를 이용한 Redundant Binary (RB) 연산을 채택하였으며 RB 연산은 수 체계의 특성상 가산 시 캐리의 수평적 전달이 발생하지 않는 CPF (Carry Propagation Free) 특성을 가져 승산기에서 RB 부분곱 가산시 속도를 향상시킬 수 있다. 부분곱 가산 부분은 승산기 구조에서 하드웨어 측면에서나 지연시간 측면에서나 전체 승산기의 성능에 큰 영향을 미치게 되며 본 연구에서는 RB 부분곱 가산 부분을 더욱 개선하기 위하여 기존의 RB 가산기들보다 속도는 뒤떨어지지 않으면서 12 % 이상 적은 트랜지스터 수를 가지는 새로운 RB 가산기를 제안하여 전체 승산기의 하드웨어 비용을 줄일 수 있도록 한다. 전체 승산기 설계 방식은 full-custom 방식을 채택하여 우선 전체 구조에 대한 검증을 위해 8bit × 8 bit 실수 승산과 각각 4bit 의 실수부와 허수부를 가지는 복소수 승산을 수행하는 복소수/실수 승산기를 HDL (Hardware Description Language)로 기술하여 2^(16) 개의 입력 가능한 모든 오퍼랜드 조합에 대한 구조 검증을 한 후 트랜지스터 레벨로 설계를 진행하였다. 설계 후 SPICE 시뮬레이션을 통한 성능 평가 결과 설계된 실수/복소수 승산기는 총 9,654 개의 트랜지스터수를 가지며 최대 지연 시간은 정상조건 (3.3v/25 ℃)에서 8.59 ns 이고 최악 조건에서 (3.0v/80 ℃)에서 10.2ns 로서 최악조건에서 100 MHz 정도의 동작 속도를 가진다. 기존의 실수 승산기 또는 복소수 승산기들과 비교해 보았을 때 설계된 실수/복소수 승산기는 하드웨어 측면에서나 지연 시간 측면에서 거의 추가의 비용이 들지 않아 실수 승산과 복소수 승산을 모두 필요로 하는 프로세서 구조에 유용하게 사용되어 질 수 있다. In this dissertation, a real/complex number multiplier (RCMUL) suitable for microprocessors with DSP functionality is designed. The DSP functions usually include complex arithmetic which is a key operation in various signal processing applications such as Fourier transform, convolution, and filtering. Therefore, in this study, the RCMUL which performs both real and complex number multiplications in a single multiplier architecture is designed. This multiplier processes efficiently complex number data in microprocessors which integrate DSP capability into its core logic. The designed RCMUL performs four multiplications which are double precision (16 bit × 16 bit) signed real multiplication, single precision (8 bit real part, 8 bit imaginary part) signed complex multiplication, single precision signed real multiplication, and single precision unsigned multiplication, respectively in a single cycle. As compared with the conventional real or complex number multipliers, the designed RCMUL efficiently executes the both multiplications. For fast multiplication, redundant binary (RB) arithmetic which uses signed digit (SD) number system rather than conventional normal binary (NB) number system is adopted for the RCMUL. Because of its carry propagation free (CPF) addition characteristic, RB arithmetic is suitable for adding binary partial products (BPP). Since the BPP addition tree occupies a significant portion of the whole multiplier and composes critical path due to hardware complexity, a new RB adder (RBA) is proposed to more improve the RB adder tree. The proposed RBA reduces the number of transistors by 12 % or more in comparison with conventional RBAs, while still maintaining its high speed. Using this new RBAs, a fast RB multiplier can be designed with less hardware complexity. The full-custom design methodology is adopted in the design phase of the RCMUL. For the verification of the whole architecture of the designed RCMUL, a RCMUL which performs 8-bit × 8-bit real number multiplication and complex number multiplication with 4-bit real part and 4-bit imaginary part is modeled with a gate level using an HDL (Hardware Description Language) and verified with fully exhaustive test vectors of 2^(16). After the verification, transistor level design is carried out and performance is measured by SPICE simulation. The designed RCMUL has total 9,654 transistors. Its delay is 8.59 ns at the typical-case condition of (3.3v and 25 ℃) and 10.2 ns at the worst-case condition of (3.0v and 80 ℃). Compared with the conventional real or complex number multiplier, the designed RCMUL has nearly no overhead with respect to hardware complexity and critical path delay. Therefore, the designed RCMUL will be efficiently applied to microprocessors which need both real and complex number multiplication.