비유클리드 거리함수를 활용한 수학 영재 교수 학습 자료의 개발 및 적용

김성식 한국교원대학교 교육대학원 2013 국내석사

본 연구의 목적은 수학 영재 학생들의 수학적 능력을 향상시키고 바람직한 교수․학습 자료의 개발에 도움을 줄 수 있는 자료 개발에 있다. 본 자료는 주제탐구형 교수․학습 자료의 개발 준거와 절차에 따라 4차시 분량으로 개발되었으며 연구 결과는 다음과 같다. 1. 수학 영재학생들의 특성을 고려한 교수․학습 자료의 개발 방향 및 절차는 어떠한가? 교수․학습 자료 개발의 방향을 탐구 주제 중심의 교수․학습 자료, 학생 중심의 자기 주도적 교수․학습 자료, 교육대상자의 특성을 고려한 교수․학습 자료, 교육 과정을 고려한 교수․학습 자료, 사고 수준의 향상을 위한 교수․학습 자료, 수학에 대한 긍정적 태도를 기를 수 있는 교수․학습 자료가 되도록 설정하고 최종현과 송상헌(2005)이 제시한 ‘주제 탐구형 수학 영재 교수․학습 자료 개발’의 절차에 따라 개발되었다. 개발된 자료는 현장 경험이 풍부한 선생님들을 통해 검토 되었다. 이러한 전문가들의 조언과 선행연구들을 토대로 수정 보완된 2차 교수․학습 자료를 실제 수업에 적용하였으며 수업 적용 후 나타난 문제점들을 보완하여 최종적인 교수․학습 자료를 개발하였다. 2. 개발된 교수․학습 자료의 실제 수업 적용 후 관찰되는 수학 영재 학생들의 수학적 능력 및 행동 특성과 자료의 특징들을 살펴본다. 1) 개발된 자료의 적용을 통해 나타나는 수학 영재 학생들의 수학적 능력 및 행동 특성은 무엇인가? 비유클리드 거리함수 활용한 교수․학습 프로그램을 통해 나타나는 수학 영재 학생들의 수학적 능력들을 알아보기 위해 적절한 분석틀을 설정하였다. 분석틀은 크루테스키의 수학적 능력의 구성 요소들을 정보수집, 정보처리, 정보파지의 3개 항목으로 나누고 이를 다시 7개의 세부 항목으로 분류하였는데 영재학생들의 수학적 능력 및 행동 특성들은 다음과 같다. 첫째, 교사의 발문과 동료들과의 토론을 통해 문제 해결을 위한 단서들을 모으고 이를 분석하여 종합적으로 이해하려는 모습을 보였다. 둘째, 익숙한 유클리드 평면에서의 수학적 대상이나 관계를 비유클리드 평면에 적용하여 수학적 기호의 사용과 수집한 정보의 조직화를 통해 관련된 문제를 비교적 쉽게 해결하는 모습을 볼 수 있었다. 셋째, 거리에 관한 고정 관념을 극복하고 주어진 함수가 거리함수가 될 수 있는지를 정의에 의하여 논리적으로 증명하는 등 일반화 및 적용 능력을 보여주고 있다. 넷째, 동료들과의 토론을 통해 많은 아이디어를 산출해 내고 서로의 생각들을 비판하고 공감하는 등 사고의 유연성을 보이고 있다. 다섯째, 유클리드 거리, 택시 거리, 정사각 거리 사이의 대소 관계나 비유클리드 평면에서의 점과 직선 사이의 거리 구하는 방법을 일반화하여 설명하는 등 문제 상황에 대한 관계적 이해 및 수학적 표현 양상을 보이고 있다. 2) 개발된 자료의 수업 적용 후 나타나는 특징들은 무엇인가? 첫째, 비유클리드 거리함수를 통해 학생들이 거리에 대한 고정 관념을 깨고 새로운 정의에 의한 여러 가지 수학적 성질들을 다시 확인해 보수 있어, 보통 고등학교 수준에서 학습되는 Van Hiele의 제 4 기하학습 수준인 형식적 연역 수준(Deduction)보다 향상된 학습 수준을 이끌어 낼만한 자료라 할 수 있다. 둘째, 매 차시 탐구과제를 제시하여 수업 후 동료들 간의 자유로운 토론을 통해 서로의 생각을 교환하고 학습 내용을 점검해 볼 수 있어 본시학습 내용에 대한 복습뿐만 아니라 선수학습 내용과 종합적 사고를 통해 문제를 해결할 수 있는 특징을 가지고 있다. 셋째, 차시별 학습 주제들 간의 유기적인 연관성과 학습 내용에 관한 단계적이고 체계적인 관계를 유지하도록 자료나 질문 순서를 구성하여 학생들의 사고의 집중과 보다 깊이 있는 사고를 유도할 수 있도록 고려하였다. 넷째, 학습 내용에 대한 활발한 토론과 탐색을 통해 좀 더 확장된 주제를 가지고 창의적 산출물을 생산할 수 있는 기초를 마련하였다. 내가 제안하는 탐구 문제를 통해 문제해결형 교수․학습 프로그램의 특징인 문제를 푸는 수준을 넘어 동료가 만든 문제를 평가해 보거나 직접 문제를 만들어 볼 수 있는 기회를 제공하고 있다. 다섯째, 학생들의 수학적 표현력, 관찰력, 논리적 비판의식 그리고 수학에 대한 흥미와 자신감을 갖도록 하는데 도움을 줄 수 있는 자료이다. 여섯째, 속진보다는 기존의 배웠던 내용들을 토대로 새로운 거리함수의 적용에 따른 여러 가지 성질들을 탐구할 수 있도록 개발되어 있어 심화 학습 자료의 성격을 띠고 있다고 할 수 있다. 일곱째, 택시 거리가 실생활에서 어떻게 응용될 수 있는지에 관련하여 간단히 언급을 하였지만 정사각 거리함수가 실생활에서 어떻게 적용되고 왜 유용한지에 대해 충분한 해결책을 제공할만한 질문이나 자료가 부족하다고 판단된다. 3. 개발된 자료가 영재교육 자료로서 시사하는 바는 무엇인가? 첫째, 비유클리드 거리함수는 이해하기가 쉽고 우리가 학교 수학에서 배워왔던 유클리드 거리함수에 관한 기본적인 지식만으로도 많은 다양한 문제 상황들을 만들어낼 수 있다. 유클리드 평면상에서 증명된 많은 성질들을 그대로 비유클리드 평면에서 적용해 볼 수 있어 영재 교육대상자의 특성을 고려한 다양한 교수․학습 자료로의 변형 및 개발이 가능한 장점을 가지고 있다. 또한 서로 다른 평면 위에서 여러 가지 도형의 성질들을 비교해 봄으로써 기존에 알고 있는 유클리드 평면 위의 도형에 관한 성질과 원리들을 좀 더 명확히 이해하고 응용할 수 있는 복습 효과를 기대할 수 있다. 둘째, 학생들이 유클리드 평면 위의 도형의 여러 가지 성질들을 탐구하면서 경험이나 직관에 의존하는 경향이 있으나 비유클리드 평면에서는 엄밀한 정의에 의한 도형의 성질들을 탐구하고 예상치 못한 결론들을 도출해 냄으로서 직관적 사고가 아닌 논리적 사고를 통한 수학 학습능력의 향상을 기대할 수 있다. 셋째, 비유클리드 거리함수 정의에 따른 탐구 결과들을 직접 그려보는 시각적, 경험적 자극을 통해 영재 학생들의 특징 중의 하나인 지적 호기심을 유발하고 사고의 유연성과 분석 능력을 키우기에 충분하다. 넷째, 교사의 역할을 최소화하면서 학생들이 문제 해결의 아이디어를 제안하고 토론하는 탐구 중심의 교수․학습 자료는 수학에 대한 흥미와 자신감 그리고 자기 주도적 학습 능력을 향상시키기에 충분하다. 다섯째, 토론 과정에서 동료의 사고방식에 영향을 많이 받아 생각의 폭이 좁아지거나 잘못된 결론에 도달할 수 있는 점을 고려하여 수업을 시작하면서 전시 학습 내용에 대한 정리와 생각의 결과들을 표현하게 하고 적절히 발문함으로서 학생 중심의 탐구학습의 취약점을 보완할 수 있다.

공업계 고등학교 토목 건축 학과의 전문 교과와 수학 교과와의 연관성 분석 및 개선방안

조민혜 한국교원대학교 대학원 2013 국내석사

본 연구의 목적은 2007 개정 교육과정에 맞춘 공업계 고등학교의 전문 교과와 수학 교과와의 연관성을 살펴보고 공업계 고등학교의 수학교육에 보다 효과적인 지도를 위한 학습요소 추출과 지도 방법을 연관성에 입각하여 제안하고, 전문 교과와 수학 교과의 연관성을 고려한 학생 수준에 맞는 학교별 교육과정 수립의 토대를 마련하며, 수학 교육과정을 고려한 전문 교과의 교과서 개선에 도움이 되고자 한다. 이를 위해 2007 개정 교육과정의 총론과 공업계 고등학교 전문 교과와 수학 교과의 교육과정 내용을 분석하고, 전국 지역 할당 12개 고등학교의 학교 교육과정을 분석하였으며, 연구 대상인 토목학과와 건축학과에서 운영 중인 전문 교과와 수학 교과의 교과서 분석을 실시하였다. 연구 결과 세 가지 결론에 이끌어 낼 수 있었다. 학교 교육과정 구성 시 전문 교과와 수학 교과에 대한 연관성을 고려하여 전공별 차별성을 두어 구성하여야 하고, 전문 교과의 교과서 내용 구성 시 수학 교육과정의 측면에서의 검토가 불충분한 증거들이 발견되었으므로 교육과정 및 교과서 개선이 필요하다. 또한 전문 교과와 수학 교과와의 연관성은 긴밀한 것으로 조사되었으므로, 공업계 고등학교에서 현장 교사들은 교과 간의 연관성을 인식하고 교수학습 개선을 마련해야 한다.

엑셀을 통한 일차함수의 과정-대상관점 형성

이광상 한국교원대학교 2005 국내박사

시각화 도구로써 NuCalc(Graphing Calculator 4.0)의 활용 사례 연구 : 고등학교 1학년을 대상으로

소주희 한국교원대학교 교육대학원 2013 국내석사

본 연구는 수학 수업에서 시각화 도구로써 NuCalc(Graphing Calculator 4.0)의 활용에 대한 사례 연구를 하고자 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다. 1. NuCalc(Graphing Calculator 4.0)을 활용한 수업은 방정식·부등식과 함수, 연립방정식과 도형의 방정식의 내적 연결성에 어떤 기여를 하는가? 2. NuCalc(Graphing Calculator 4.0)을 활용한 수업은 방정식·부등식과 함수의 개념의 이해에 어떤 도움을 주는가? 3. NuCalc(Graphing Calculator 4.0)을 활용한 수업은 수학에 대한 태도에 어떠한 영향을 미치는가? 4. NuCalc(Graphing Calculator 4.0)을 활용한 수업은 자기 주도적 학습에 어떤 영향을 미치는가? 연구 문제의 해결을 위해서 NuCalc(Graphing Calculator 4.0)을 활용하여 방정식·부등식, 함수와 도형의 방정식에 대한 탐구 활동을 할 수 있는 학습 자료를 구성하여 수업에 적용하였으며 질적 사례 연구를 실시하였다. 연구 대상자로 선정된 6명의 학생은 고등학교 1학년 학생으로 본 연구에 참가 희망을 한 학생들이다. 학습지는 Graphing Calculator 4.0을 활용하여 자기 주도적 학습이 가능하도록 구성되었다. 각 활동은 면담지, 관찰지 녹음된 자료, 동형으로 제작된 사전·사후 성취도 평가, 사전·사후 설문지, 학생들이 수업시간에 작성한 학습지를 분석하였다. 본 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 연구 대상자들은 Graphing Calculator 4.0을 활용한 수업을 통해 대수적 표현과 기하적 표현을 같은 화면에 표현하는 것이 가능함에 따라 대수적 표현과 기하적 표현의 연결성을 탐구할 수 있는 기회를 갖게 되었고, 학생들이 사용한 Graphing Calculator 4.0은 대수적, 기하적, 수적 연결성을 만든 촉매제 역할을 하였다고 할 수 있다. 둘째, Graphing Calculator 4.0의 시각적 기능은 연역적·논리적 증명에만 치중했던 교수·학습 방법을 직관적·귀납적으로 변화시켜 다양하고 폭넓은 수학적 사고를 하게 되었고, 직접 조작하고 변형시켜보고 확인하는 과정에서 자연스럽게 방정식·부등식과 함수의 개념 형성이 이루어졌다. 셋째, 학생들은 그래핑 계산기를 활용한 수업이 진행되는 동안 지루해하지 않았고, 직접 조작해보고 그래프를 관찰하는 시간이 있어서 수학 내용에 대한 이해도가 높았으며, 재미있었다는 반응이었다. Graphing Calculator 4.0을 활용한 수업이 학생들의 수학에 태도에 긍정적인 변화를 가져왔다고 볼 수 있다. 넷째, Graphing Calculator 4.0의 시각적 측면과 쉬운 사용법은 학생들 스스로 수학적 법칙이나 원리를 발견하고 타당성을 확인하는 능동적인 탐구학습이 가능하게 하였고, Graphing Calculator 4.0의 활용으로 인하여 스스로 학습을 주도해 나감으로써 자기 주도적 수학 학습에서 긍정적인 영향을 주었다고 할 수 있다. 시각화 도구로써 Graphing Calculator 4.0는 수학에서 사용가능한 대부분의 그래프 표현이 가능하기 때문에 상위 수준의 학습 내용 또는 영재 학생을 대상으로 학습 내용을 구성을 잘 한다면 그 활용도가 높을 것이라 기대 되고 이에 대한 연구도 이루어지기를 바란다.

한국의 수학 교과서와 MIC 교과서 비교연구 : '도형의 닮음'을 중심으로

임영선 한국교원대학교 교육대학원 2013 국내석사

본 연구의 목적은 한국 중학교 수학 교과서와 미국의 MIC 교과서를 비교․분석함으로써, 교육과정 및 교과서 개발과 학습지도 방법 개선을 위한 유의미한 시사점을 찾고자 하는 것이다. 이를 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 한국의 수학 교과서와 MIC 교과서는 ‘수학의 내용 구성 중 기하영역에서의 기대(목표)를 잘 반영하고 있는가?’ 2. 한국의 수학 교과서와 MIC 교과서는 ‘수학의 활동 과정 중 연결성 측면에서 어떤 차이가 있는가?’ 2-1. 내적 연결성에서는 어떤 차이가 있는가? 2-2. 외적 연결성에서는 어떤 차이가 있는가? 연구문제 1을 해결하기 위하여 NCTM 기하 영역에서의 기대(목표)를 근거로 비교·분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 한국 교과서는 입체도형의 닮음의 성질과 부피의 비 등 3차원까지 닮음의 성질을 다루지만, MIC 교과서는 2차원 닮음의 성질만 다룬다. 한국 교과서가 MIC 교과서에 비해 2차원, 3차원 도형의 특징과 성질 및 기하 관계를 알기 쉽게 구성 하고 있다. 둘째, 한국 교과서는 개념을 배운 후 닮음의 중심 위치를 다양하게 변화시켜 가면서 닮은 도형을 그려봄으로 닮음의 성질이 유지됨을 확인하지만, MIC 교과서는 개념 설명 없이 현실 문제 해결과정에 변환을 적용한다. 연구문제 2를 해결하기 위하여 수학적 연결성 유형 빈도수를 비교·분석한 결과 한국 교과서와 MIC 교과서가 외적(교과와 맥락) 연결성에서는 차이가 없으나 내적(개념과 표현) 연결성에서는 차이를 보였다. 그 결과를 자세히 살펴보면 다음과 같다. 첫째, 개념 연결성은 한국 교과서가 MIC 교과서에 비해 높았다. 개념 연결성이 높다는 것은 개념과 개념, 개념과 절차가 서로 연결되어 수준 높은 문제 및 다양한 사고를 할 수는 있지만, 지나치면 논증에 치우칠 수 있으므로 모든 학생들에게 엄밀한 연역적 증명을 강조하기보다는 학생들 수준에 따라 그 정도와 방법을 다르게 해야 한다. 둘째, 표현 연결성은 K-M 교과서 모두 높았다. 표현 연결성이 높다는 것은 소단원별로 수학을 수학적 기호 사이의 관계 및 표나 그림 등의 표상과 적절히 연결하여 다양하게 표현함으로 학습 이해에 도움을 주고 있음을 의미한다. 셋째, 교과 연결성은 K-M 교과서 모두 낮았다. 교과 연결성이 낮다는 것은 타 교과와 관련된 통합 교육이 낮음을 의미한다. 다양한 교과와의 연결은 수학을 고립된 내용이 아니라 통합된 전체로 바라보고 인식하는데 도움을 준다. 넷째, 맥락 연결성은 K-M 교과서 모두 높지만, 그 의미는 다르다. 테크놀로지 활용을 MIC 교과서는 다루지 않지만, 한국 교과서는 컴퓨터를 활용하여 닮음의 성질을 쉽게 이해할 수 있도록 제시한다. 실생활 활용이 한국 교과서는 단원 초 또는 문제의 소재로 제시되는 소재 중심이라면, MIC 교과서는 수학적 본질로 연결되는 학습의 대상이다. 테크놀로지를 활용하면 다양한 현상과 관련이 깊은 풍부한 맥락 문제 적용이 가능하여 실생활 활용의 범위를 넓힐 수 있다. 위의 연구 결과로부터 내적 연결성에서는 학생들 수준을 고려해 개념 연결과 표현 연결을 제시할 수 있는 학습지도 방법 개선이 요구되고, 외적 연결성에서는 다양한 교과 연결과 실생활 활용 범위를 높일 수 있는 교육과정 및 교과서 개발이 필요하다.

GeoGebra를 활용한 구분구적법 지도

정가람 한국교원대학교 대학원 2013 국내석사

본 연구는 GeoGebra를 활용한 구분구적법 지도를 위한 학습 자료를 구성하고 이를 적용해서 실험수업을 진행할 때 나타나는 학습 지도 상의 특징을 분석함으로써 GeoGebra를 활용하여 구분구적법 단원을 지도하는 상황에 대한 실제적 지식을 마련하고자 하였다. 이를 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 가. 구분구적법 단원의 주요 학습 개념은 무엇이며 이에 대한 학생들의 이해 정도는 어떠한가? 나. GeoGebra를 활용한 수업환경에서 구분구적법 학습과정은 어떠한가? 이와 같은 연구문제를 해결하기 위하여 충북 청원군 H고등학교 자연계 2학년 학생 4명을 대상으로 3차시에 걸쳐 사례 연구를 실시하였다. 이 연구의 분석은 주로 오디오 전사 자료와 동영상, 활동지, 면담 자료를 이용하였다. 본 연구에서는 구분구적법 학습 지도에 대한 선행 연구를 검토한 결과로 정적분에 대한 이해는 구분구적법과 리만합의 극한에 대한 이해에 기반한다고 판단을 내리고, 극한을 통해 넓이를 정의하는 구분구적법의 타당성을 학생들이 인식하고 구분구적법을 통해 구한 결과가 넓이의 근삿값이 아니고 정확한 결과 값 자체임을 알도록 하는 것이 중요하다고 생각하였다. 이어서 GeoGeobra를 활용한 수학 수업에 관한 연구를 검토한 결과 GeoGeobra의 기능 중에서도 특히 그래프 그리기 기능, 슬라이더 기능을 활용한 구체적인 탐구 활동을 통해 구분구적법 이해를 도울 수 있다고 생각하고 3차시 분량의 활동지를 구성하였다. 따라서 구성한 활동지를 수업에 적용하였을 때 나타난 교수 학습 상의 특징을 분석하여 GeoGeobra를 활용한 탐구활동을 통해 구분구적법에 대한 학생들의 이해 수준이 어떻게 발전되는지, 정적분 영역의 구분구적법 학습에 미치는 GeoGeobra의 효과는 무엇인지를 분석하고자 한다. 본 논문의 결론은 다음과 같다. 첫째, 수학적 시각화를 통하여 구분구적법에 대한 이해가 보다 명확해진다. GeoGebra의 그래프 기능에 의해 선수학습을 통하여 배웠던 그래프들을 확인할 수 있는 기회를 갖게 되고 그에 따라 다양한 함수의 구분구적법을 통한 넓이를 구하는 등 학생들의 학생들은 자기주도적인 탐구 학습을 하게 된다. 둘째, GeoGebra의 슬라이더 기능에 의해 임의의 구간을 등분하여 을 증가시킴으로써 상합과 하합의 차이가 줄어드는 것을 시각적으로 확인 할 수 있게 해준다. 이에 따라 학생들은 정적분의 정의가 구분구적법과 관련된다는 관계 이해에 도움을 주고 구분구적법의 필요성을 인식하게 된다. 또한 스프레드시트 창을 활용하여 구분구적법으로 구한 값을 비교할 수 있으며 분할하여 구한 넓이의 합이 수열을 이루게 되고 수열의 극한을 통하여 구한 값이 근삿값이 아니라 정확한 넓이 값임을 인식하게 된다. 셋째, GeoGebra를 통하여 구분구적법을 학습하는데 무한급수의 합의 근삿값들을 신속하게 계산하여 보여줌으로써 지필 환경에서의 복잡한 계산 과정을 거치지 않더라도 쉽게 원리를 파악할 수 있다. 또한 이러한 과정 속에서 학생들은 계산 시간을 줄일 수 있고 문제에 대하여 가능한 한 많은 양의 아이디어를 산출하는 유창성을 보이게 된다. 이러한 교수실험 결과는 GeoGebra를 활용한 탐구학습 환경이 지필환경을 보완할 수 있음을 시사한다. 또한, GeoGebra를 활용한 수업 환경은 교사나 교과서에 의해 제시되고 학생들이 모방. 암기하는 학습이 아니라 학생들의 활동이 활발히 일어날 수 있어날 수 있는 자연스러운 환경을 제공해 줄 수 있을 것이다. 그러나, GeoGebra의 제시로 구분구적법 학습지도 문제가 해결될 수 있는 것은 아니다. 여기에는 교육과정 구성, 평가, 교실문화의 변화 특히 교사 역할과 학생 역할의 재정립 등 복잡한 문제들이 얽혀있다.

재귀적 패턴의 탐구 단계에 기초한 '수열의 귀납적 정의' 단원의 교수·학습 방안 연구

최영란 한국교원대학교 대학원 2014 국내박사

본 연구의 목적은 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 학습 실태 분석 결과와 문헌 검토를 바탕으로 재귀적 패턴의 탐구 단계에 기초한 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 국소적 수업 이론과 가설 학습 경로를 설정하고, 이를 활용한 수업 과정의 분석을 통해 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 교수·학습 방안을 탐색하는 것이다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 가. 고등학교 2학년 학생들의 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 학습 실태는 어떠한가? 나. 재귀적 패턴의 탐구 단계에 기초한 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 국소적 수업 이론과 가설 학습 경로는 무엇인가? 다. 가설 학습 경로에 따른 수업에서 스프레드시트의 역할과 학생들의 상호작용의 특징은 어떠한가? 1) 스프레드시트가 학생들의 재귀적 패턴의 탐구 단계 활동에 어떤 영향을 미치는가? 2) 학생들의 상호작용 과정에서 나타나는 탐구협동모델의 요소는 무엇인가? 본 연구에서 설정한 연구 문제를 해결하기 위한 연구 방법 및 절차는 다음과 같다. 연구 문제 가를 해결하기 위해 문헌 검토를 바탕으로 재귀적 패턴의 탐구 단계를 설정하고 이 단계에 따른 검사 도구를 개발하여 고등학교 학생들의 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 학습 실태를 파악하였다. 연구 문제 나를 해결하기 위해 문헌 검토와 연구 문제 가의 결과를 토대로 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 국소적 수업 이론과 가설 학습 경로를 설정하였다. 연구 문제 다를 해결하기 위해 고등학교 3학년 학생 4명을 대상으로 교수 실험을 실시하였고, 수업 과정을 분석하기 위해 교수 실험의 모든 과정과 학생들이 스프레드시트로 활동한 과정을 녹화한 동영상 자료, 활동지 자료 등을 수집하였다. 연구자가 모든 수업을 직접 진행하였으며 이러한 과정을 거쳐 재귀적 패턴의 탐구 단계에 기초한 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 교수·학습 방안을 모색하였다. 본 연구의 결과를 통해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 학생들이 스스로 규칙을 찾고 그 규칙을 수학 기호로 표현하는 비형식적 단계와 기호화 단계의 활동 기회를 충분히 제공해야 한다. ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 학습 실태를 분석한 결과 약 13%의 학생들이 비형식적 단계 활동을 통해 인식한 수열의 규칙을 기호화하지 못하였고, 교수 실험 과정에서 학생들의 상호작용의 특징을 분석한 결과 비형식적 단계에서 학생들의 상호작용이 가장 활발하게 나타났다. 따라서 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 교수·학습 과정에서 학생들이 스스로 수열의 규칙을 찾고 그 규칙을 수학 기호로 표현하는 기회를 충분히 제공할 필요가 있다. 즉, 점화식의 유형별로 일반항 구하는 절차를 공식처럼 암기하여 기계적으로 문제 풀이에 적용하는 현재의 교수·학습 방법을 지양하고, 학생들이 스스로 규칙을 찾고 점화식을 구해보는 비형식적 단계와 기호화 단계의 활동을 활성화 할 필요가 있다. 둘째, 학생들이 수열을 귀납적으로 정의할 때 첫째항이 정의되어야 한다는 것을 이해하게 하기 위해 비형식적 단계에서 스프레드시트를 활용하여 수열을 표로 나타내는 활동의 기회를 제공할 필요가 있다. 학생들이 비형식적 단계에서 스프레드시트에 자료를 입력하는 활동을 통해 수열을 귀납적으로 정의할 때 첫째항이 정의되어야 한다는 것을 체험적으로 이해할 수 있음을 확인하였다. 따라서 대부분의 학생들이 수열을 귀납적으로 정의할 때 첫째항이 정의되어야 한다는 것을 이해하고 있지 못한 상황에서 학생들이 그 필요성을 직접적으로 깨닫게 하기 위해 비형식적 단계에서 스프레드시트를 활용하여 수열을 표로 나타내는 활동의 기회를 제공할 필요가 있다. 셋째, 수열을 좌표평면에 나타내봄으로써 학생들이 수열을 시각적인 표상으로 연결하는 기회를 갖도록 해야 한다. ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 학습 실태를 분석한 결과 연결 단계 과제의 정답률은 재귀적 패턴의 탐구 다섯 단계 중 엄밀화 단계에 이어 두 번째로 낮았고, 대부분의 학생들이 주어진 문제 상황을 좌표평면에 나타내는 표상의 전환에 어려움을 나타냈다. 본 연구에서 학생들은 스프레드시트의 그래프 그리기 기능을 이용하여 수열을 좌표평면에 나타내어 시각화함으로써 수열을 함수와 연결시켜 생각할 수 있게 되었다. 이는 수열의 극한에서 함수의 극한으로, 그리고 미분으로 이어지는 학습에 도움이 될 수 있다. 수열은 수열의 극한과 더불어 함수의 극한 및 미분의 기초 개념이 되는 중요한 단원이기 때문에 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 교수·학습 과정에서 수열을 좌표평면에 나타내봄으로써 수열을 시각적인 표상으로 연결할 기회를 제공할 필요가 있다. 넷째, 학생들이 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 학습에서 겪는 어려움을 줄이기 위해 이 단원의 교수·학습 과정에 스프레드시트를 활용해야 한다. 학생들은 규칙을 찾기 힘든 문제 상황에서 서로 활발한 의사소통을 바탕으로 말로 규칙을 표현하면서 스프레드시트에 표로 나타내는 활동을 하였고, 스프레드시트의 즉각적인 피드백으로 학생들은 잘못 입력한 것을 쉽게 깨닫고 바르게 정정할 수 있었으며, 스프레드시트의 셀 참조 기능으로 어렵지 않게 점화식을 구할 수 있었다. 즉, ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 교수·학습 과정에 스프레드시트를 활용하는 것이 학생들이 이 단원의 학습에서 어려움을 느끼는 점을 해소하는 데 도움이 되었다. 다섯째, 학생들끼리의 상호작용을 촉진하고 협동 학습 활동이 수행되도록 학습 과제를 제시해야 한다. 학생들은 수열의 규칙을 찾는 게 어렵거나 스프레드시트의 표에 입력하는 것이 어려운 경우 서로 의사소통을 하며 문제를 해결해 나갔고, 특히 비형식적 단계에서 상호작용이 가장 활발하게 나타났다. 따라서 교사는 일방적인 강의식 수업에서 탈피하여 학생들의 상호작용을 극대화할 수 있는 학생 활동을 포함한 가설 학습 경로를 구성함으로써 학생들의 학습 과정을 연구하고 가설 학습 경로를 반성적으로 고찰할 필요가 있다. 본 연구에서는 스프레드시트를 활용하여 재귀적 패턴의 탐구 단계에 따른 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 학습 과제를 해결하는 과정을 통해 지필환경에서 규칙을 수학 기호로 표현하지 못했던 학생들이 기호로 표현할 수 있게 되고, 수열을 기하학적인 관점에서 살펴봄으로써 여러 가지 수열을 다양한 함수와 연결시킬 수 있음을 확인하였으며, 학생들의 상호작용이 촉진됨을 확인하였다. 따라서 본 연구는 현재의 ‘수열의 귀납적 정의’ 단원의 교수·학습 방법의 문제점을 극복할 수 있는 방안을 제시할 수 있을 것으로 기대된다.

'페르마 점'을 활용한 수학-과학 통합수업에서 학생들의 수학적 사고

윤경원 한국교원대학교 대학원 2013 국내석사

본 연구에서는 문헌탐구에 기초하여 수학-과학 교과적 배경지식이 풍부하여 통합수업에 적합하고 과학 분야와 수학의 연결성을 경험할 수 있는 소재를 선정하고 선정한 소재를 활용한 교수 · 학습을 고등학교 학생들에게 직접 적용하여 활동과정에서 과학적인 현상을 수학적 도구를 이용해서 설명하고, 반대로 과학 이론이 수학 문제 해결의 실마리를 제공하는 상황에서 학생들의 수학적 사고가 어떠한지를 분석해봄으로써 실제 수학교육 현장으로의 적용가능성을 모색해 보고자 하였다. 본 연구의 목적을 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 고등학교 학생들을 대상으로 수학-과학 통합수업을 어떻게 구성할 것인가? 2. 구성된 수학-과학 통합수업에서 학생들의 수학적 사고는 어떠한가? 2-1. 귀납적 사고는 어떠한가? 2-2. 연역적 사고는 어떠한가? 2-3. 유추적 사고는 어떠한가? 2-4. 비판적 사고는 어떠한가? 이와 같은 연구문제를 해결하기 위하여 본 연구에서는 문헌탐구에 기초하여 과학과 통합된 수업에 적절한 교수 · 학습 소재를 발굴하여 이를 활용한 수업을 구성하여 실제 고등학교 학생들에게 적용하였다. 연구대상은 진주시에 소재하고 있는 한 과학고등학교의 1학년 학생 3명을 선정하였으며, 동영상 촬영, GSP파일, 학생 활동지, 관찰 노트 등 수집된 자료를 바탕으로 각 단계별 학생들의 수학적 사고의 유형이 어떠한지를 분석하였다. 이하에서는 본론의 내용을 요약하면서 결론을 덧붙이고자 한다. 연구문제1에서 과학과 통합된 수업을 구성하기 위하여 과학 분야와 수학의 연결성을 경험할 수 있고 활동과정에서 과학적인 현상을 수학적 도구를 이용해서 설명하고, 반대로 과학 이론이 수학 문제 해결의 실마리를 제공할 수 있는 적절한 교수 · 학습 소재를 발굴하기 위하여 문헌탐구에 기초하여 ‘페르마 점(Fermat Point)'을 주제로 선정하였다. ’페르마 점‘의 성질을 탐구하기 위하여 표면장력을 이용한 ’비누막 실험‘과 역학적 에너지를 이용한 ’역학 실험‘의 2차시 수업으로 구성하였으며, 수업은 과학 실험을 통한 구체적 조작 단계, 발견한 수학적 아이디어나 성질을 정당화 하는 단계, 기하학적 해의 작도 방법이나 패턴의 일반화를 시도하는 반성적 사고 단계로 진행하였다. 연구문제2의 해결을 위해서 진주시에 소재한 한 과학고등학교 1학년 학생 3명을 대상으로 120분 단위의 활동 2차시를 실시하였으며 황혜정(2001)의 수학적 사고의 분류에서 귀납적 사고, 연역적 사고, 유추적 사고 그리고 비판적 사고의 측면에서 교수 · 학습 상황을 분석하였으며 그 결론은 다음과 같다. 첫째, 과학 실험을 통하여 수학적 성질이나 문제 해결의 아이디어를 얻기 위한 구체적 조작 단계에서 학생들은 귀납적 사고, 연역적 사고와 유추적 사고를 하였다. ‘비누막 실험’에서 학생들은 다양한 형태의 삼각형을 이용한 실험을 통하여 비누막들이 직사각형 모양으로 형성됨을 관찰하였다. 이는 표면적을 최소화하기 위한 비누막의 표면장력에 따른 것으로 직사각형의 넓이의 합이 최소가 되기 위해서는 세 꼭짓점으로부터 비누막의 교점까지의 거리의 합이 최소가 되어야 함을 이용하여 비누막의 교점이 페르마의 점이라는 결론에 도달하였다. 또한 다양한 삼각형을 관찰하여 귀납적으로 페르마 점에서 세 비누막이 이루는 각이 임을 추측하였다. 비누막 실험의 관찰을 통하여 페르마 점의 존재성을 확인하고 페르마 점의 위치를 추측하는 과정에서 학생들은 GSP를 이용한 작도와 측정을 활용하여 다양한 삼각형을 관찰하고 귀납적으로 추측을 제안하거나 산술기하평균을 이용하여 페르마 점의 위치를 내심, 외심, 무게중심임을 유추적으로 제안하였다. ‘역학 실험’에서 학생들은 실험의 관찰을 통하여 세 실의 매듭으로부터 세 꼭짓점(도드래)을 잇는 선분이 이루는 각이 임을 귀납적으로 추론하였고, 세 도드래는 위치에너지의 합이 최소가 되는 지점에서 힘의 평형을 이루기 때문에 세 실의 매듭에서 세 꼭짓점을 잇는 선분의 길이의 합이 최소가 됨을 이용하여 세 실의 매듭이 페르마의 점이 됨을 추론하였다. 둘째, 수학적 성질이나 아이디어를 정당화하는 단계에서 학생들은 연역적 사고를 하였다. ‘비누막 실험’에서는 페르마 점에서 세 꼭짓점을 잇는 선분이 이루는 각이 임을 보이기 위하여 도형의 회전, 합동을 이용하여 연역적으로 증명하였다. ‘역학 실험’에서 학생들은 관찰을 통하여 페르마 점의 존재성을 확인하고 물리 시간에 배운 힘의 평형이론을 바탕으로 세 힘이 평형을 이루기 위해서는 세 벡터의 합이 임을 이용하여 삼각형법과 평행사변형법으로 세 선분이 를 이룬다는 결론에 연역적으로 도달하였다. 셋째, 기하학적 해의 작도 방법이나 패턴의 일반화를 시도하는 반성적 사고 단계에서 학생들은 연역적 사고, 유추적 사고와 비판적 사고를 하였다. ‘비누막 실험’에서 학생들은 세 점을 이용한 실험을 바탕으로 네 점으로 확장한 ‘스타이너 트리’에서도 비누막들이 를 이룬다는 결과를 유추적으로 추론하고, 연역적인 방법으로 증명하였다. ‘역학 실험’에서 학생들은 세 개의 도드래를 이용한 실험의 결과를 바탕으로 유추적 사고를 통하여 네 개의 점으로 확장하고, 도르래에 추의 무게를 달리하는 실험을 통하여 각 점에 가중치를 부여하는 경우까지 일반화하였다. 페르마의 점을 작도하는 방법을 찾는 과정에서 학생들은 비누막 실험과 역학 실험을 통하여 발견된 수학적인 성질을 바탕으로 정삼각형과 원의 내접하는 사각형의 성질을 이용하여 연역적으로 방법을 이끌어내었다. 각 점에 가중치를 부여한 경우 유추적인 방법으로 각 점으로 부터 거리의 합이 최소인 점의 작도를 여러 차례 시도하였으나 실패하였다. 기하학적 해의 작도 방법이나 패턴의 일반화를 시도하는 과정에서 학생들은 다른 학생들이 제시한 추측을 비판적인 관점에서 접근하여 자신들이 기존에 알고 있는 지식 또는 GSP 등의 보조 매체를 통하여 반례를 제시하여 다른 방향으로 논의가 가능하도록 하였다. 이와 같이 실험을 통한 과학과 통합된 수업을 활용한 교수 · 학습 환경에서 학생들은 실험의 결과를 바탕으로 문제를 해결하기 위한 아이디어를 발견하고, 이를 수학적으로 정당화하고 일반화하는 과정을 통하여 획일적이고 표준화된 사고를 지향하는 기존의 교수 · 학습과는 달리 다양한 매체의 활용 및 구체물의 조작을 통해 학생들의 다양한 수학적 사고가 발현되었다. 결론적으로 본 연구를 통해서 과학과 통합된 수업을 활용한 교수 · 학습은 학생들이 과학적인 현상을 수학적 도구를 이용해서 설명하고, 반대로 과학 이론이 수학 문제 해결의 실마리를 제공하는 상황을 통해 과학 분야와 수학의 연결성을 경험하게 하고, 자연과학의 언어로써 수학의 유용성 및 수학의 가치를 느끼게 하였다. 그러한 과정에서 학생들에게 관찰, 추론, 일반화, 비판적 사고 등 다양한 수학적 사고가 발현되고, 수학적 사고력을 신장시킬 수 있다는 측면에서 교육적 가치가 있다는 점을 확인할 수 있었다. 그리고 본 연구에서 활용한 교수 · 학습 소재인 ‘페르마의 점’의 성질을 탐구하기 위해 ‘비누막 실험’과 ‘역학 실험’은 수학-과학적 배경지식이 풍부하여 고등학교 학생들을 대상으로 한 과학 통합형 수업의 소재로 충분한 가치가 있다고 판단된다. 따라서 본 연구에 제시된 교수 · 학습 상황의 예를 목적에 맞게 수정 및 보완하여 활용한다면 의미 있는 교수 · 학습 활동이 가능하리라 여겨진다.

중학생들의 닮은 도형 문제 해결력에 대한 분석

박은지 한국교원대학교 대학원 2013 국내석사

본 연구의 목적은 여러 가지 유형의 닮은 도형 문제에 집중하여 학생들이 닮은 도형 문제를 해결하는 과정에서 겪는 여러 가지 어려움을 조사함으로써 보다 효과적인 교수 학습 방안 마련을 위한 자료를 제공하고자 하였다. 이것은 학생에 대한 자료로써 교사는 수학 내용 지식과 함께 학생에 대한 지식을 갖추고 있어야 학생들의 수학 학습을 효과적으로 도울 수 있기 때문이다. 이와 같은 연구의 목적을 위하여 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다. 1. 닮은 도형 문제 해결 과정에서 학생들이 보인 어려움의 원인은 무엇인가? 2. 닮은 도형 문제의 유형에 따른 학생들의 문제 해결력에는 어떤 차이가 있는가? 본 연구의 문제를 해결하기 위하여 이미 도형의 닮음 단원을 학습한 청원군의 M중학교 3학년 3개 학급의 95명의 학생들을 연구대상으로 선정하였다. 연구 문제를 달성하기 위해 두 가지 검사 도구 '닮은 도형 검사 문항'과 '지식 검사 문항'으로 조사 연구를 실시하였고 심층적인 자료를 얻기 위해 임상적 개별 면담을 실시하였다. 두 가지 검사 도구를 통해 얻은 학생 답안과 문서화된 대화 내용을 토대로 유형별 닮은 도형 문제 해결력을 비교하였고, 닮은 도형 문제 해결과정에서 나타나는 어려움과 원인을 분석하였다. 본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 학생들은 닮은 도형 문제를 해결할 때 가지고 있는 지식을 적절히 적용하는데 어려움을 가지고 있었다. 학생들은 닮은 도형을 찾기 위한 탐구 방법과 조건들을 말할 수 있었지만 실제적으로 닮은 삼각형을 찾는데 적용하지 못하는 모습을 보였다. 이는 학생들이 직접 조건들을 구성하는 경험이 부족하여 조건 각각의 의미와 필요성을 인지하지 못하기 때문이라 할 수 있다. 둘째, 학생들은 문제마다 정확히 해석하여 해결하는 것이 아니라 연습을 통해 익숙해진 풀이를 적용하는 경향을 보였다. 특히 닮은 도형 단원에서는 닮은 삼각형을 정확히 찾았다면 변의 비를 구하는 문제가 대부분을 이루기 때문에 논리적인 이유 없이 무조건 비례식을 세워 문제를 푸는 모습을 보였다. 도형의 닮음 단원이 학생들에게 의미 있기 위해서는 여러 도형들에 대한 닮음의 성질을 이용하는 문제를 다루기전에 실생활에서의 닮음의 개념을 문제 해결로 이용할 수 있는 상황을 많이 다루어 봄으로써 닮은 도형 단원의 진정한 의미를 알 수 있도록 해야 할 것이다. 이러한 상황을 충분히 다루어 본 후 실생활의 상황을 간결하게 표현한 도형의 닮음에 대해 학습한다면 닮음의 필요성과 유용성을 인식하는데 더욱 도움이 될 것이다. 셋째, 중학교 1학년 때 학습한 도형의 합동 개념에서부터 닮은 도형의 개념을 도입해야 한다. 면담 과정에서 학생들은 닮은 삼각형을 찾기 위하여 막연하게 변의 비를 조사하는 모습을 많이 보였는데 이는 1학년 때 배운 합동인 삼각형을 찾기 위해서 변의 길이를 먼저 조사해야 한다는 생각이 닮은 삼각형을 찾는 과정에서도 강하게 작용한 것으로 나타났다. 이러한 어려움을 단순히 제거하는 것으로 끝나는 것이 아니라, 합동인 도형에 대해서 학생들이 갖고 있는 지식을 바탕으로 닮은 도형의 개념을 설명하고 학생들이 닮은 도형을 찾기 위한 방법에 대해서 합동인 도형과 비교하여 인식할 수 있도록 한다면 닮은 삼각형을 찾기 위하여 변의 길이의 비와 각에 대해서 유연성 있게 생각하게 하는데 도움이 될 것이다. 넷째, 학교 수업시간에 닮은 도형의 성질을 이용하는 문제를 다루기 전에 닮은 도형을 판단하는 본질적인 문제를 먼저 충분히 다루어야 한다. ‘닮은 도형 검사 문항’의 5, 6, 7, 8번에서 닮은 삼각형을 찾고 이유를 제시하는 (1), (2)번의 정답률은 닮은 도형의 성질을 이용하는 (3)번의 정답률 보다 모두 낮게 나타났다. 이는 학생들이 닮은 삼각형을 정확히 수학적으로 찾을 수 없으나 닮은 도형 단원에서 비례식을 이용하여 문제를 푼다는 방식을 외워 문제에 적용하여 우연히 정답에 이르게 된 것이라 할 수 있다. 닮은 도형을 수학적으로 정확히 찾지 못한다면 전형적이지 않은 문제에서 학생들은 많은 어려움을 겪으며, 닮은 도형의 실용적인 측면에 대한 유용성을 인식하는데 어려움이 있을 것이다. 다섯째, 삼각형의 닮음 조건이 삼각형의 닮음을 판단할 수 있는 도구로써 인식하도록 지도해야 한다. 학생들은 삼각형의 닮음 조건에 대해서 언급을 하지만 닮음 조건을 닮은 삼각형을 정확히 판단하기 위한 도구로써 인식하지 못하고 조건의 의미를 이해하지 못하는 모습을 보였다. 이는 닮음의 개념을 학습한 후 삼각형의 닮음 조건을 학생들 스스로 구성해 보는 경험이 미흡하였기 때문에 학생들에게 내면화 되지 못한 것으로 보인다. 학생들이 배운 닮음의 개념으로부터 두 삼각형이 닮음이 되기 위해서 각과 변의 관계가 어떻게 되어야 하는지에 대해 생각해 보는 활동이 수업시간에 학생들에게 주어져야 할 것이다. 미흡하게라도 학생들이 필요한 조건을 구성해보는 경험을 한다면 학생들이 직관적으로 받아들인 닮음의 정의와 연결하여 삼각형의 닮음 조건을 닮은 삼각형을 찾기 위한 도구로써 인식하는데 도움이 될 것이다.

고등학생들의 수학에 대한 긍정심리와 학업성취도의 관계

이재신 한국교원대학교 대학원 2013 국내석사

본 연구의 목적은 고등학교 1학년 학생을 대상으로 수학 성취수준별로 수학에 대한 긍정심리는 어떠한지 차이를 살피고 수학 문제해결 과정에서 경험하는 긍정심리의 변화는 어떠하며 차이가 존재하는지 알아봄으로써 수학에 대한 긍정심리와 수학 학업성취도의 관계를 알아보는 것이다. 이를 위하여 다음과 같이 연구문제를 설정하였다. 1. 수학 성취수준에 따라 수학에 대한 긍정심리는 차이가 존재하는가? 2. 수학 성취수준에 따라 수학 문제해결 과정에서 경험하는 긍정심리는 어떻게 변화하며 차이가 존재하는가? 연구문제를 해결하기 위해 대구시에 소재한 고등학교 1학년 6학급을 대상으로 3차례에 걸쳐 긍정적 심리체험 검사를 실시하였다. 1차 검사는 학생들이 평상시에 가지고 있는 수학에 대한 긍정심리를 측정하기 위하여 긍정적 심리체험 검사를 실시하였고 2차 검사는 문제해결 과정에서 경험하게 되는 긍정심리를 측정하기 위해 쉬운 문항으로 구성된 수학 문제해결 검사를 실시한 후 긍정적 심리체험 검사를 실시하였다. 그리고 3차 검사는 어려운 문항으로 구성된 수학 문제해결 검사를 실시한 후 긍정적 심리체험 검사를 실시하였다. 수집된 자료는 엑셀과 SPSS 18.0을 이용하여 분석을 실시하였다. 이상의 방법으로 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 수학 성취수준에 따라 수학에 대한 긍정심리는 차이가 존재하는지 알아본 결과 유의미한 차이가 존재하였다. 수학 성취수준이 높은 집단이 유의미한 수준에서 나머지 집단에 비해 긍정심리 점수가 높은 것으로 나타났으며 성취수준이 중간인 집단과 성취수준이 낮은 집단의 긍정심리 점수는 유의미한 차이가 존재하지 않았다. 둘째, 수학 성취수준에 따라 수학에 대한 긍정심리의 영역별 차이가 존재하는지 알아본 결과 용기 영역을 제외한 나머지 4개의 영역에 대해서 유의미한 차이가 존재하였고 영역별로 가장 높은 긍정심리 점수를 나타낸 집단은 조금씩 상이하였다. 지혜와 지식, 절제, 초월성과 상대적 유능감 영역의 긍정심리 점수는 성취수준이 높은 집단의 점수가 가장 높았으며 긍정적 자아의식 영역의 긍정심리 점수는 성취수준이 낮은 집단의 점수가 가장 높게 나타났다. 셋째, 수학 학업성취와 수학에 대한 긍정심리는 유의미한 양의 상관을 보였으며 수학 학업성취에 대한 단순회귀분석의 설명력은 35.1%이다. 또한 긍정심리의 5가지 영역을 단계적으로 투입하는 방식을 사용하여 실시한 다중회귀분석의 설명력은 50.5%이다. 넷째, 수학 문제해결 과정에서 경험하는 긍정심리는 어떻게 변화하며 수학 성취수준에 따라 차이가 존재하는지 알아본 결과 문항의 난이도에 따라 긍정심리 점수는 유의미한 차이를 보였다. 또한 세 집단 모두 측정시기에 따라 긍정심리 점수의 증가 혹은 감소의 방향이 동일하였으며 성취수준이 중간인 집단의 변화가 가장 민감한 것으로 나타났다. 본 연구의 결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 수학 성취수준에 따라 수학에 대한 긍정심리는 유의미한 차이가 존재하였다. 성취수준이 높은 집단이 수학에 대해 느끼는 긍정심리가 높게 나타났으며 이는 일반적인 인식과 부합하는 결과라 할 수 있다. 하지만 나머지 두 집단의 경우를 통해 수학 성취수준과 수학에 대해 가지고 있는 긍정심리가 반드시 정의 관계에 있는 것은 아님을 알 수 있다. 둘째, 수학 성취수준에 따라 수학에 대한 긍정심리의 하위 영역별로 차이가 존재하였고 영역별로 긍정심리가 높게 나타난 집단은 조금씩 상이하였다. 또한 수학에 대한 긍정심리의 하위 영역들이 수학 학업성취를 설명하는 예언변인으로 활용될 수 있다. 즉 긍정심리가 낮게 나타난 영역을 높여줄 수 있는 방법과 더불어 본 연구의 이론적 배경이 되는 긍정심리학에서 주장하는 바와 같이 높게 나타난 긍정적 특질을 계발할 수 있는 방법을 통해 수학 학업성취에 도움을 줄 수 있는 가능성을 제시하고 있다. 셋째, 수학 문제해결 과정에서 경험하는 수학에 대한 긍정심리는 문항의 난이도에 따라 유동적인 것으로 나타났다. 또한 성취수준 집단에 따라 경험하는 긍정심리의 변화의 정도는 상이하였다. 이러한 변화는 문제해결 과정에서 뿐만 아니라 수학 수업 시간 중에도 수업 내용의 난이도에 따라 경험할 것이라 예상할 수 있으며 현행 교육과정에서 시행되고 있는 수준별 수업에 참고자료로 활용될 수 있다.