Representations of special numbers and polynomials with q-parameter via p-adic q-integral on Z_p : p-진 정수환에서의 p-진 q-적분을 이용한 q-매개변수를 갖는 특별한 수와 다항식의 표현

국문 초록 (Abstract)

최근 p-진 이론은 수학 및 수리물리 분야에서 활발히 연구되는 분야이며, 특히 p-진 물리학의 영역에서는 띠 이론과 연관시켜서 많은 물리학자들이 연구하고 있다. 이러한 이론들은 수학적 관점에서 접근한 매우 흥미로운 결과의 한 분야로 볼 수 있다. 특히 p-진 공간에서 적분을 취급하는 문제는 미세공간에서 일어나는 물리적, 공학적 현상을 해석하는데 중요한 역할을 할 뿐 아니라, 수학의 정수론을 p-진 양자역학과 관련시켜 연구하는데 중요한 도구가 된다. p-진 공간에서의 p-진 q-적분은 p-진 공간에서의 비아르키메디언 적분으로서 수학 및 물리의 영역에서 현재 다양하게 활용되고 있다.

본 논문에서는 이미 잘 알려진 베르누이 및 오일러 다항식의 p-진 정수환에서의 p-진 불변적분 표현을 비롯, 이와 관련된 바네스-형태 다항식, modified q-대희 다항식 그리고degenerate 제노치 다항식 등에 대하여 p-진 q-적분을 이용하여 표현하고 그 성질을 조사하였다.

2장에서는 다중 p-진 불변적분을 이용하여 바네스-베르누이 수와 다항식에 대한 위트 공식 및 분배 관계식을 포함한 여러 가지 항등식을 표현하였으며, 동시에 바네스-형태 오일러 및 제노치 수와 다항식을 다중 p-진 페르미오닉 불변적분을 이용하여 여러 항등식으로 표현하고 그 성질을 연구하였다. 특히 바네스-형태 제노치 수의 경우 n차 다항식의 기저가 될 수 있음을 보였으며, 일반다항식 x^n과 여러 가지 바네스-형태의 다항식을 바네스-형태 제노치 기저의 일차결합으로 표현하였다.

논문의 3장과 4장에서 다루게 되는 대희 다항식은 L. Carlitz에 의해 연구된 degenerate 베르누이 다항식과 함께 또 다른 형태의 degenerate 베르누이 다항식이다. 3장에서는 p-진 q-적분을 이용하여 modified q-대희 다항식의 생성함수를 정의하고 modified q-대희 다항식에 대한 여러 가지 항등식을 유도하였다. 또한, 제1종 및 2종 스털링 수를 이용하여modified q-베르누이 다항식과 역 공식 관계에 있음을 보였으며, 고차의 modified q-대희 수 및 다항식, twisted modified q-대희 다항식 그리고 디리끌레 표수가 붙은 일반화된 modified q-대희 다항식 등에 대하여 여러 가지 항등식을 연구하고 조사하였다.

4장에서는 (h,q)-Daehee 수와 다항식을 정의하여 p-진 q-적분을 이용한 여러 가지 성질을 연구하였다. 특히, h=0인 경우에는 q-대희 수와 다항식이 되었고, h=1인 경우에는 3장에서 연구한 modified q-대희 수와 다항식이 됨을 알 수 있었으며, 이러한 (h,q)-대희 다항식을 여러 각도로 확장시켜 twisted (h,q)-대희 수와 다항식, (q,lambda)-대희 수와 다항식 그
리고 poly 대희 수와 다항식에 대한 여러 가지 항등식을 도출하였다.

마지막 5장에서는 여러 가지 특수 함수에 대하여 p-진 q-적분 표현과 관련된 결과를 몇 가지 기록하였다. 제노치 다항식 및 고차의 제노치 다항식에 대한 degenerate 형태에 대하여 연구하였으며, partially degenerate 대희 다항식의 정의와 함께 베르누이 다항식 등과 의 관계를 연구하였다. 또한 q-불 다항식을 이용하여 p-정수환 위에서 정의된 p-진 q-측도에 대한 르벡-라돈-니코딤 정리를 증명하였다. 마지막으로 lambda변수를 갖는 바네스 형태 대희 다항식을 정의하고 연구하였다.

목차 (Table of Contents)

• 1.Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
• 2. Barnes-type special numbers and polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
• 2.1 Barnes-Bernoulli polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 2.2 Barnes-type Euler polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 2.3 Barnes-type Genocchi polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
• 2.3.1 Identities of Barnes-type Genocchi polynomials . . . . . . . 31
• 2.3.2 Barnes-type Genocchi basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 3. Daehee numbers and polynomials with q-parameter . . . . . . . . . . . . 41
• 3.1 Modied q-Daehee numbers and polynomials . . . . . . . . . . . . . 42
• 3.2 Higher-order modified q-Daehee polynomials . . . . . . . . . . . . . 48
• 3.3 Twisted modified Daehee polynomials with q-parameter . . . . . . . 53
• 3.4 Generalized modied q-Daehee polynomials attached to chi . . . . . . 61
• 4. Special polynomials related to Daehee polynomials . . . . . . . . . . . . . 69
• 4.1 (h,q)-Daehee numbers and polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 70
• 4.2 Twisted (h,q)-Daehee numbers and polynomials . . . . . . . . . . . 75
• 4.3 (q,lambda)-Daehee polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 4.4 Poly-Daehee numbers and polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . 84
• 5. Further results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
• 5.1 Degenerate Genocchi polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
• 5.2 Partially degenerate Daehee numbers and polynomials . . . . . . . 100
• 5.3 Lebesgue-Radon-Nikodym Theorem with respect to p-adic q-measure
• on Zp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 5.4 Barnes-type Daehee polynomials with lambda-parameter . . . . . . . . . 111
• Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
• Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120