Cyclic Codes over Finite Chain Rings = 유한 체인환에서의 순환부호

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

This thesis studies cyclic codes over finite chain rings.
Let R be a finite chain ring and <θ> be its maximal ideal.
K=Rl<θ> be its residue field of q elements and let p be the characteristic of K.
The main purpose of this thesis is to study cyclic codes over R of length N=nq^(k) divisible by q.
Let □ be the primitive (q^(m) - 1)th root of unity,
S=R[□]$, $ = S[u]/<u^(q^(k))-1> and
R=R[u]/<u^(q^(k))-1>. Then $\S$ is a Galois extension of R.
We obtain isomorphisms Ψ: R^(n)→ R^(N) and γ: R^(N) → □_(i∈I)S_(i) where S_(i)=
/<u^(q^(k))-1>, and S_(i) = R［□_(［mi］)◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요)
using the Frobenius automorphism and Discrete Fourier transform. From
these isomorphisms we obtain the decomposition of an ideal C of R^(N) as
◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) where C_(i) is the ideal◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요). We also prove
that all ideals of R have representation as ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) where either
r_(i)=O, or r_(i)=(u-1)^(ti)+Θ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요). Finally dual codes are studied.S_(i)〔u］/<u^(q^(k))-1>, and S_(i) = R［□_(［mi］)◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요)
using the Frobenius automorphism and Discrete Fourier transform. From
these isomorphisms we obtain the decomposition of an ideal C of R^(N) as
◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) where C_(i) is the ideal◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요). We also prove
that all ideals of R have representation as ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) where either
r_(i)=O, or r_(i)=(u-1)^(ti)+Θ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요). Finally dual codes are studied.

국문 초록 (Abstract)

이 논문은 유한체인환 위에서의 순환부호에 대한 연구이다. R를 유한체인환 이라하고 <θ>를 이환에서의 최대 이데알이라고 하자.
K=Rl<θ>>은 characteristic 이 p이고, 원소의 개수가 q인 체가 된다. 이 논문의 목적은 R 위에서 q에 의하여 나누어지는 길이가 ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) 이 두 개의 isomorphism을 이용하면 R^(N)상에서의 이데알 Csms ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요) R^(N)상에서의 이데알 C는 ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요)와 동치임을 알 수 있다. ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요)여기서 Ci는 S_(i)◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요). 이 두 개의 isomorphis을 이용하면 R^(N)상에서의 이데알 ◁수식 삽입▷(원문을 참조하세요)마지막으로 쌍호부호에 대하여 연구하고 마친다.

목차 (Table of Contents)

• 1 Introduction = 1
• 2 Codes over finite chain rings = 3
• 2.1 Codes over rings = 3
• 2.2 Finite chain rings = 4
• 2.3 Polynomials over chain rings = 6
• 2.4 Generator matrices = 7
• 3 Non-degenerate Cyclic Codes = 11
• 4 Degenerate Cyclic Codes = 16
• 4.1 Hensel's Lemma = 16
• 4.2 Galois extensions = 18
• 4.3 Constacyclic codes = 22
• 4.4 Isomorphisms = 24
• 5 Inverse map r^(-1) = 31
• 6 Ideals of R = 39
• 7 Dual Code = 42
• REFERENCES = 47