Characterization of Various classes of Einstein's Metrics : Hwang, Seung Wu

국문 초록 (Abstract)

이 논문은 두 부분으로 구성되어 있다. 첫 부분은 Einstein 다양체에 어떤 써클 action 이 주어졌을때 그러한 메트릭은 유일함을 보인 것이고, 둘째 부분은 긴밀한 리만 다양체에 Einstein 메트릭이 존재함을 보이고자 한 것이다. 첫 번째 부분은 리찌곡률(Ricci curvature)이 영인 임의의 차원의 완비 리만 다양체(complete Riemann manifold)에 어떤 isometric한 S¹action이 있을 경우를 다루고 있다. S¹action으로 인한 submersion의 기저 다양체가, 주어진 다양체의 부분 다양체가 되는 경우를 static이라고 한다. 이 경우 기저 다양체가 스핀(spin)이고 유도되는 메트릭이 점근적으로 평평(flat)해질 때 주어진 리만 다양체가 리만 Schwarzschild메트릭이 됨을 보였다(정리3). 이 사살은 4차원일 경우에는 알려져 있는데 이 논문에서는 임의의 차원에 대해서도 성립함을 보인 것이다 또한 임의의 n개의 조화함수들이 주어지면, (n+3)차원의 리찌곡퓰 영인 리만 다양체를 구성할 수 있음도 보였다. 두 번째 부분은 주어진 긴밀한 리만 다양체(complete Riemann manifold)에 대한 Yamabe 메트릭 공간 상의 스칼라 곡률 범함수 (scalar curvature functional)의 특이점이 Einstein임을 보이고자 하였다. Yamabe 메트릭 공간이란 스칼라 곡률이 상수인 메트릭들의 집합이다. 주어진 특이점 메트릭의 스칼라 곡률이 양이 아닐 경우에는 Einstein 임이 이미 알려져 있다. 그러나 양일 경우에는 알려져 있지 않다. 이 논문에서는 리만 다양체가 3차원이고 스칼라 곡률이 양일 경우를 다루고 있다. 먼저 포텐셜 함수 f의 level집합들의 위상적 구조를 다루었다(정리6). 또한 주어진 특이점 메트릭의 여러 기하학적 구조를 조사한 후, ()가 f의 함수일때 특이점이 Einstein임을 보였다.(정리7).