수학적 모델링을 활용한 수업이 학업성취도에 미치는 효과

다국어 초록 (Multilingual Abstract)

The objective of this study is to observe the effects that mathematical modeling has on learning in a first year middle school classroom, specifically in the area of utilizing linear equations.
The study is based on a worksheet developed by the researcher and data from previous studies. The focuses of
study are the following:

1) Is there a significant difference in academic achievement between an experimental group in which mathematical modeling is applied and a control group in which it is not?
2) Is there a significant effect in mathematics attitude within the experimental group?
3) Analysis of the errors that students showed through mathematical modeling.

Two classes from the same middle school in Daegu were chosen, one class was assigned as the experimental group, the other the control goup. Comparative analysis via t-test on scores from the same mid-term exam showed that the two classes were a homogeneous group.
Research was conducted on the experimental group based on worksheets developed by the researcher over the course of five trials while the control group took classes based on traditional teaching methods. For verification of effectiveness of the study, a test was given to both groups after each of the five trials. Additionally, the experimental group underwent a mathematics attitude test before and after each trial. SPSS12.0k was used in the analysis of results.

The conclusion of this study is as follows:

Firstly, there was no significant difference in academic achievement between the two groups. However after dividing the problems into three categories :(1)quantities and age (2)distance and time (3)solvent concentration analysis showed that there was no significant difference in the first two categories, but there was a significant difference in the third. In this respect it may be stated that mathematical modeling has a positive effect given the fact that the majority of students find the third category more difficult than the first two.
Note that the duration of research was four weeks long which has proven too short a time to prove any significant difference between the two groups. Also the significant difference in the third category must not be overlooked and further extended research is necessary to show positive results in the first two categories.

Secondly, there was significant difference in the attitude towards mathematics within the experimental group. Six categories were tested and analyzed. There was no significant difference in the categories of volition and value while there was significant difference in the categories of confidence, flexibility, curiosity, and self-reflection. These results help us come to the conclusion that mathematical modeling may have a positive impact on students who are more or less uninterested in, and who may have a negative attitude towards mathematics.

Thirdly, the errors that students committed were analyzed. Calculation errors were most abundant followed by errors in forming equations, setting variables, logical errors, and converting answers respectively. Students who showed errors in setting variables appeared to have a narrow range in selecting variables due to the notion that "variable=X". Extensive coaching in the prerequisite unit "symbols and equations" is thought to be needed in these students. Students who showed errors in logic either had a tendency to substitute variables with numbers based on guessing, or used mental calculation.
Furthermore, in observing the students' work on the worksheets and the exams, students who drew up accurate models which contained all critical elements of the problem without error were able to proceed in solving the problem successfully. This is meaningful in the aspect that through this kind of process the student is given a basis for understanding the mathematical interpretation of the real world through mathematical modeling.

In conclusion, not only has it been shown that mathematical modeling can be a promising method by which a student can learn
how to solve problems in a more progressive and systematic manner, but also that it has a positive effect on a students'
mathematical attitude.

국문 초록 (Abstract)

이 연구는 중학교 1학년을 대상으로 수학적 모델링을 활용한 수업이 학업 성취도에 미치는 효과를 알아보기 위해 일차방정식 활용 단원을 중심으로 연구자가 개발한 활동지와 여러 선행 연구들을 바탕으로 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.

1) 수학적 모델링을 적용한 실험집단과 전통적인 수업을 한 비교집단 사이에
학업 성취도 면에서 유의미한 차이가 있는가?
2) 수학적 모델링을 적용한 수업을 한 학생들이 수학적 태도에 있어서 유의미한 영향
을 미치는가?
3) 수학적 모델을 통해 학생들이 보인 오류를 분석하고자 한다.

이와 같은 연구문제를 해결하기 위하여 대구시에 소재한 S중학교 1학년 2개 학급을 대상으로 실험집단 1학급, 비교집단 1학급을 선정하였고, 실험 처지 전 두 집단의 1학기 중간고사 성적을 t-test를 실시하여 비교 분석한 결과 동질집단임이 확인되었다.

실험집단은 연구자가 개발한 활동지를 토대로 5차시에 걸쳐 진행하였고, 비교집단은 전통적 설명식 수업을 중심으로 연구를 실시하였다. 또한 연구의 효과성 검증을 위해 매 차시마다 실험집단과 비교집단 학생들에게 동일한 형성평가를 실시하였으며, 실험집단은 실험 전과 실험 후 수학적 태도 검사를 실시하였다. 연구문제의 실험 결과에 대한 데이터 분석은 성취도 검사 부분과 수학적 태도 검사 부분에 대해 SPSS12.0k를 사용하여 분석하였다.

이 연구의 결론은 다음과 같다.

첫째, 수학적 모델링을 적용한 실험집단과 전통적인 수업을 한 비교집단 사이에 학업 성취도 면에서 유의미한 차이가 없었다. 그러나 연구자가 전체 문항을 세 부분으로 나누어 분석한 결과 수량 및 나이 부분과 거리 및 시간 부분에서는 유의미한 차이가 없었지만 농도 부분에서는 유의미한 차이를 보였다. 학생들이 활용문제 중에서 수량 및 나이 부분과 거리 및 시간 부분보다 농도 부분을 더 어려워 한다는 것을 감안해 볼 때 미비하지만 긍정적인 효과가 있었음을 알 수 있다. 실험 처지 가간이 4주간의 짧은 기간이었기 때문에 수학적 모델링을 적용하여 유의미한 차이를 보이는데 무리가 있었을 것이라 보인다. 하지만 농도부분에서 유의미한 차이를 보였다는 것을 간과해서는 안 되며 이 연구를 좀 더 긴 시간을 가지고 체계적인 연구와 분석을 통하여 진행한다면 수량 및 나이 부분과 거리 및 시간 부분에 대해서도 긍정적인 결과가 나올 것이라 판단된다.

둘째, 수학적 모델링을 적용한 수업을 한 학생들이 수학적 태도에 있어서 유의미한 차이가 나타났다. 이것을 6개의 영역으로 나누어 분석해본 결과 의지력과 가치영역에 대해서는 유의미한 차이가 없었지만 자신감, 융통성, 호기심, 반성의 4영역에서 실험 전과 실험 후에 유의미한 차이를 보였다. 이러한 결과는 수학교과에 자신감이 없고, 문제 해결 방법을 외워버리는 학생들에게 그리고 수학 교과에 흥미가 없고, 특히 수학의 실용성에 대하여 부정적인 태도를 가진 학생들에게 수학적 모델링 지도를 통하여, 실생활 문제를 직접 접하게 함으로써 학생들의 흥미와 자신감, 수학에 대한 학생들의 태도가 긍정적으로 변할 것으로 기대된다.

셋째, 학생들의 문제 해결 과정에서 보인 오류를 분석하였다. 여전히 계산오류가 가장 많았고, 그 다음으로는 수학적 모델로 변환시키는 과정에서 식 세우기 오류, 미지수 설정의 오류, 논리적 과정의 오류, 실세계로 답을 변환시키지 못한 오류 순으로 나타났다.5가지의 오류 유형 중에서 미지수 설정단계에서 오류를 보인 학생들은 ‘미지수 = ’라고 생각하여 미지수 선택의 폭이 제한적임을 보여주는데, 선행학습인 ‘문자와 식’ 단원에서 좀 더 폭넓은 교사의 지도가 필요하다고 보인다. 그리고 논리적 과정의 오류를 보인 학생들은 암산하거나 예상되는 숫자를 대입하여 답을 유도하였다.
또한 활동지와 형성평가지에 나타난 학생들의 풀이과정 중 ‘그림’ 부분을 살펴보면 문제의 상황과 주어진 조건을 빠짐없이 그림으로 잘 나타낸 학생들은 뒤 이은 풀이 과정에서도 성공적으로 해결한 것을 볼 수 있었다. 단순한 그림이지만 이러한 과정을 통해 실세계상황을 수학적 모델로 해석하는 것에 대한 충분한 이해를 제공할 수 있다는 점에 큰 의미가 있다고 판단된다.

종합적으로, 수학적 모델링을 적용한 수업이 학생들이 어려워하는 활용 부분에서 좀 더 단계적이고 체계적으로 문제를 해결해 나갈 수 있는 교수방법임을 보여주었으며 수학에 대한 태도에도 긍정적인 영향을 미치는 방법이라 할 수 있다.

목차 (Table of Contents)

• Ⅰ. 서 론 = 1
• 1. 연구의 필요성 및 목적 = 1
• 2. 연구문제 = 2
• 3. 연구 내용 및 방법 = 3
• 4. 용어의 정의 = 3
• 5. 연구의 제한점 = 4
• Ⅱ. 이론적 배경 = 5
• 1. 수학적 모델 = 5
• 2. 수학적 모델링 = 7
• 3. 수학적 모델링의 과정 = 8
• 4. 수학적 모델링의교수-학습 필요성 = 11
• 5. 선행연구 = 14
• Ⅲ. 연구 방법 및 절차 = 16
• 1. 연구 대상 및 연구 설계 = 16
• 2. 연구의 절차 및 계획 = 17
• 3. 검사 도구 = 17
• 4. 자료처리 및 분석 방법 = 20
• 5. 기대되는 효과 = 20
• Ⅳ. 결과분석 = 21
• 1. 성취도 분석 = 21
• 1) 실험집단과 비교집단의 동질성 검사 = 21
• 2) 사후 성취도 결과 및 분석 = 22
• 2. 수학적 태도에 대한 분석 = 23
• 3. 오류 분석 = 29
• 1) 오류 분석 방법 및 오류 유형 분석 = 29
• 2) 대표적인 오류 분석 = 30
• 3) 이해의 완성도와 풀이의 특징 = 37
• Ⅴ. 결론 및 제언 = 40
• 1. 결론 = 40
• 2. 제언 = 42
• 참고문헌 = 43
• 부 록 = 44
• <부록1> 활동지 = 45
• <부록2> 형성평가지 = 50
• <부록3> 활동지 타당도 의뢰검사지 = 53
• <부록4> 수학적 태도 검사지 = 55
• <부록5> 수업지도안 = 59
• Abstract = 68