GSP를 활용한 피타고라스 정리의 학습에 관한 연구

박인 전남대학교 교육대학원 2000 국내석사

중학교의 기하교육은 평면과 공간의 개념을 직관적으로 이해하고, 추측을 통해 문제 해결의 경험을 얻게 하는데 목적이 있다. 그러나 현재의 기하 교육은 단순한 지식의 전달과 연역적이고 형식적인 증명에 치중해 있으며 이를 개선하기 위하여 관찰과 탐구를 통해 규칙을 일반화하고 학습자의 흥미와 관심을 유발시키는 활동이 요구된다. 기하학습을 위한 소프트웨어인 GSP는 도형을 쉽고 정확하게 작도할 수 있고 마음대로 조작할 수 있어서 평면도형과 공간도형에 대한 학생들의 경험을 강화할 수 있으며 탐구와 추측을 통해서 수학적 개념을 이해하거나 스스로 발견할 수 있도록 하는 발견학습이 가능하다. 따라서, 본 연구는 GSP를 활용한 효과적인 교수-학습을 위하여 귀납적 추측과 Polya의 발견술에 의한 문제해결 방법, Lakatos의 증명과 반박의 방법을 고찰하고 이에 따른 피타고라스의 정리의 학습에 관한 GSP활용 방안을 제시하고자 한다. 또한 이 GSP활용 방안을 현장 적용하여 학생들의 사전, 사후 흥미·태도 검사와 호응도 검사, 면담을 실시 분석함으로써 더 나은 기하 수업에 대한 의견제시를 하였다. The general objective of geometry instruction in the middle school is that the students understand the concepts of a plane and a solid intuitively, and get experience of problem solving by reasoning. But these days, geometry instruction has focus on the transmission of the simple notions and formal proofs. To reform this trend, some activities are asked that can have the learners generalize the rules by observation and research, and motivate the learners' interests. GSP is a software for the geometry learning designed to draw figures easily and exactly. By using this software the learners are able to build up the experience of plane and solid figures, and discovery learning that the learners can understand or discover the mathematical concepts through research and inference for themselves. Accordingly, for the effective teaching - learning by GSP program, this study was intended to consider inductive reasoning, the methods of problem solving using Polya's mathematical heuristic, and Lakatos's ways of proofs and refutations. On the basis of the above consideration, this study suggested the way of application of GSP program to the learning of the Pythagorean theorem. And by the analysis of the students' attitude-interest tests, their respondency tests, and counseling 'prior and posterior' to the geometry classes using GSP program, this thesis proposed some ideas on the better and effective geometry instruction.

일차함수 기울기에 관한 학생들의 이해도 분석과 교수방법에 관한 연구

이미영 전남대학교 교육대학원 2013 국내석사

경사면의 기울어진 정도를 뜻하는 일상용어인 ‘기울기’는 8단계 함수영역의 일차함수에서 처음으로 도입되어 사용된다. 두 축의 속성이 같고, 단위 눈금의 길이가 같은 상황에서 직선의 기울기와 각은 경사도를 표현하는 서로 다른 표현이지만, 상황에 따라 두 축이 나타내는 속성이 다르고 또 단위 눈금의 길이도 이에 따라 결정되는 함수에서는 직선 그래프가 축과 이루는 각의 크기는 큰 의미가 없다. 따라서, 일차함수 지도 시 기하학적 의미가 강한 ‘기울기’라는 용어를 바로 도입하여 사용하기 보다는 ‘변화율’이라는 용어를 먼저 사용하게 하여 학생들이 경사도와 혼란을 일으키지 않고 일차함수의 핵심개념인 두 양사이의 변화 비율이 일정함을 이해할 수 있도록 한다. 이때, 학생들에게 실제와 관련된 함수적 상황을 표, 그래프, 식으로 나타내는 경험을 충분히 할 수 있도록 학습 자료를 제공해야한다. 이와 관련하여 본 논문은 8단계의 학생들이 일차함수를 학습하는 과정에서 기울기를 어떻게 이해하는지를 조사하고, 한국, 미국, 독일, 일본의 교과서에 일차함수의 기울기 도입 및 정의를 비교 분석한다. 이를 토대로 일차함수 기울기 개념의 이해를 도울 수 있는 학습 자료를 구성하여 적용한 결과를 분석하여 일차함수를 지도할 때, 잘못된 일차함수 기울기 개념을 예방하거나 치료하는 교수-학습 방법에 참고 자료가 되고자 한다.

분석활동을 강조한 삼각형의 중심(中心)단원 교수-학습 자료개발

윤준정 전남대학교 2016 국내석사

본 연구에서는 삼각형의 외심, 내심, 무게중심단원에서 삼각형의 외심, 내심, 무게중심의 이해를 촉진시키기 위해 분석법을 기반으로 한 교사발문을 연구하고 학생활동을 강조한 교수-학습 자료를 개발하여, 개발된 교수-학습 자료를 수업에 적용하고자 하였다. 이를 위해 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 가. 삼각형의 외심, 내심, 무게중심단원에서 분석법을 기반으로 한 교사발문을 연 구하고 학생활동을 강조한 교수-학습 자료를 개발한다. 나. 개발된 교수-학습 자료를 수업에 적용한 결과를 분석한다. 연구문제를 해결하기 위해 먼저 분석활동을 통한 삼각형의 중심지도 방안에 관한 선행연구와 학생활동중심수업을 위한 문헌연구를 분석하였다. 삼각형의 외심, 내심, 무게중심을 지도할 때 분석적 활동을 통해 교사가 발문을 하고 학생들이 그려보고 관찰하면서 스스로가 찾는 과정 속에서 선분의 수직이등분선, 각의 이등분선, 중선을 생각하는 이유를 설명할 수 있었다. 작도와 종이접기, GSP프로그램 적용, EBSMATH 동영상 시청, 중력을 이용한 무게중심 찾기 실험 등 교 구를 이용하여 학생활동중심이 가능한 교수-학습 자료 개발하여 수업에서의 적용한 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 1. 학생들이 삼각형의 외심에서 외접원의 중심을 찾기 위해 두 꼭짓점에서 같은 거리에 있는 점을 찾고 내심에서 내접원을 찾기 위해 두 변에서 같은 거리에 있는 점을 찾아가는 분석활동은 학생들의 이해를 촉진시켜주었다. 2. 중력을 이용한 삼각형의 무게중심 실험과 삼각형을 이루는 선분이나 삼각형에 내접하는 직사각형의 무게중심을 찾는 과정을 통해 학생은 중선의 역할을 이해할 수 있었다. 3. 학생활동중심을 통한 삼각형의 중심지도는 학생들에게 흥미를 갖게 하여 지적 호기심을 유발하고 관련 성질을 이해하는데 긍정적인 영향을 미쳤다. 4. 교구를 활용하고 논리적 정당성이 가능한 분석활동을 통해 학생들은 암기학습이 아닌 정확한 이해를 기반으로 스스로 의미를 구성하여 삼각형의 중심을 이해하고 설명할 수 있었다. 5. 소통의 매개체로 교구를 활용한 수학수업은 학생들의 흥미와 관심을 유발하고 모둠원과 협동학습을 통해 수학 교과에 대한 긍정적인 변화를 유도하였다.

深層面接을 위한 效率的인 敎授-學習 方向 探索 : 數學敎科를 中心으로

신춘희 전남대학교 교육대학원 2002 국내석사

대학입학전형의 형태는 상황에 따라 매우 다양하게 변하고 있으며 수시 모집 비율이 점차 높아짐에 따라 심층면접에 대한 중요성이 더욱 부각되고 있다. 교사, 학생, 학부모 모두 혼란을 겪고 있으며 어떻게 대처하는 것이 좋을 것인가에 대해 고심하고 있다. 이에 수학과목을 담당하고 있는 교사의 한 사람으로서 부담감과 함께 본인이 담당하고 있는 학생들이 좀 더 효율적으로 대학입학전형에 대비하기를 바라면서 심층면접을 위한 효율적인 방안이 무엇인가를 생각하여 문항을 개발하고 교수-학습에 적용해 보았다. 본 연구를 수행하게 된 직접적인 동기는 대학입학전형 자료 중 다른 것들은 교사나 학생 모두 잘 알고 대비하고 있지만 심층면접에 대해서는 무방비 상태에 있는 것이 매우 안타까운 일이며 먼저 내 자신부터 심층면접이 무엇인지 알아야 할 필요가 있었다. 본 연구에서는 먼저 심층면접에 대한 전반적인 것을 수학교과를 중심으로 살펴보았고 모든 과목의 가장 기초가 되는 수학의 중요성에 비추어 볼 때 수학과 내용이 심층면접의 내용에 많이 포함되기를 바라는 마음에서 수학에 대한 내용 을 여러 측면에서 살펴보았다. 다음으로 심층면접문항이 즉흥적으로 구성되어져서는 안 된다는 판단 하에 교육과정의 목표에 부합되는 문항을 구성하였고, 이것에 맞는 교수-학습 방법을 도입하였다. 시간이 날 때마다 본 연구에서 개발한 심층면접의 문항으로 교수-학습 을 진행하였으며 수업 후 느낌을 발표해 봄으로써, 수학과목에 대한 이해를 더욱 깊이하고 소중하게 여기는 계기가 되었으며 또한 막연하게만 느껴졌던 심층면접 이 교육과정 목표에 충실한 교수 -학습에 의해 해결될 수 있다는 것을 알게 되었다. 마지막으로 각 대학에서 출제자들이 전문성을 가지고 교육과정의 목표에 충실한 문항으로 심층면접 문제를 제시하기를 바라면서 학생과 교사가 같이 해결해 보았던 문제들을 예로 제시하였고, 이를 부록에 수록하였다. A form of entrance selection for universities has been greatly changed by various situation and the importance of the depth-interview has been emphasized as the ratio of any-time registration has been gradually increased. All of teachers, students, and parents have been confused about it and also tried to find out how to cope with the current situation. As one of mathematics teachers, I have got some stress on this matter and really hoped that my universities. To make some contribution on finding out an efficient way of the depth-interview, I have developed several problems and applied those to teaching-learning in class. The direct motivation for being conducted this research was that firstly, I felt impatient for the fact that there was no useful guideline for the depth-interview, whereas the other data about entrance selection for universities are well prepared for teachers and students and secondly, I also felt that I should clearly understand what the depth-interview might be. In this thesis, I have reviewed the overall meaning of the depth-interview focused on the subject of mathematics and also reviewed several topics of mathematics, in the hope that problems which is closely related to mathematics that plays an important role in all subjects of study as the key basis would be utilized in the depth-interview as many as possible. Based on my own judgment that it should be avoided that problems which is consistent with the objectives of mathematics curriculum and also introduced a teaching-learning methodology suited to those problems. I have often used problems developed in this research for the progress of teaching-learning and had such a wonderful experience that the understanding for mathematics could be deepened through letting students present their feelings. Moreover I have understood that the depth-interview considered as an ambiguous stuff so far could be well prepared through the teaching-learning methodology based on the objectives of mathematics curriculum. Finally, I strongly hope that whenever each university takes the depth-interview, problems based on the objectives of mathematics curriculum as well as developed by experts would be chosen. I have presented several problems developed in this thesis in the appendix.

원뿔곡선 지도를 위한 교수학습 자료개발 및 적용에 관한 연구

심규철 전남대학교 교육대학원 2013 국내석사

이차곡선은 중등교육과정의 해석기하 단원에서 중요한 부분을 차지하고 있지만 기하학적 의미 탐구 보다는 단순히 대수적으로 정의되고 탐구된다. 본 논문에서 이차곡선의 이론적 분석을 통해 이차곡선의 의미를 재해석하고 여러 가지 성질을 재발견함으로써 효율적인 수업방안을 모색하기 위한 기반을 조성하고자 한다. 즉, 이차곡선을 해석적 측면과 기하적 측면에서 탐구하고 이차곡선의 역사적 발달과정을 분석함으로써 공간곡선으로서의 원뿔곡선이 평면곡선으로서의 이차곡선으로 변환되어 가는 과정 및 원뿔곡선의 기하학적 특성의 대한 재발견을 시도하였다. 그 결과를 바탕으로 영재학생을 위한 탐구활동 중심의 수업지도안을 작성하여 영재학생들에게 적용한 후 그 결과를 분석함으로써 영재학생들의 지적 욕구를 충족시킬 수 있는 이차곡선의 효율적인 지도방안에 대한 시사점을 얻고자 한다.

함수 단원 문제해결 시 수학적 추론 과정에서 발생하는 오류 분석

조소현 전남대학교 교육대학원 2013 국내석사

현행 교육과정에서는 미래 정보화 사회의 학습자들이 수학적 추론능력을 갖출 수 있도록 추론에 대한 지도를 명시하고 있다. 그러나 현재 수업 현장에서는 학생들에게 수학적 개념을 설명하고 주입하는 교육에서 크게 벗어나지 못하고 있는 실정이다. 따라서 수학적으로 추론하는 능력을 길러 이를 활용한 문제해결 능력을 향상시켜 수학교육 목표를 달성하고자 한다. 본 연구에서는 PANG Wai-Kit Alwyn & Jaguthsing Dindyal(1980)가 제시한 관점에서 수학적 추론 과정에서 발생하는 오류에는 어떠한 것이 있는지 조사한 후 중학교 함수 단원 문제해결 과정에서 학생들이 자주 범하는 오류의 유형을 찾아 분석하였다. 그 결과 학생들은 문제에 관련된 수학적 지식의 배경지식의 결여로 단편적으로 문제를 해결하고 스스로 탐구하여 수학적 원리를 발견하지 않고 암기하여 푸는 오류형태를 보였다. 나아가 분석을 통하여 얻은 결과를 바탕으로 학생들이 문제해결 시 수학적 추론 과정에서 나타나는 오류를 수정하고 수학적 추론을 바탕으로 한 문제해결 능력을 함양할 수 있는 지도방안을 모색하였다.

지오지브라를 활용한 고등학교 통계적 추정 단원 학습 자료 개발

김경용 전남대학교 2016 국내석사

통계적 추정 단원에서 학습하는 여러 가지 개념에 대한 학생들의 이해를 조사하고 오개념을 분석한다. 이를 통해 통계적 추정 단원에서 학습하는 여러 가지 개념의 이해를 도울 수 있는 학습 자료를 지오지브라를 활용하여 개발한다. 본 논문의 연구문제는 다음과 같다. 가. 통계적 추정과 관련된 개념을 학생들이 어떻게 이해하는지 분석한다. 나. 통계적 추정과 관련된 여러 가지 개념의 올바른 이해를 돕기 위한 지오지브라 학습 자료를 개발한다. 다. 개발된 자료를 이용하여 수업을 진행하고, 사후 검사지 및 면담을 통해 개발된 자료를 수정 ․ 보완한다. 위와 같은 연구문제를 해결하기 위해 선행연구를 분석한 후 통계적 추정과 관련된 개념 이해 조사지를 개발하여 적용하고 이를 토대로 학생들의 오개념을 분석한다. 분석한 결과를 바탕으로 총 7개의 학습 주제를 선정하였으며, 마이크로데이터서비스시스템을 통해 제공받은 원자료와 수학 공학 프로그램인 지오지브라를 활용하여 학습 자료를 개발하였다. 개발한 자료를 통해 수업을 실시한 결과 통계적 추정과 관련된 개념의 이해에 지오지브라가 도움을 준 것으로 나타났다.

무리수 개념과 표현 및 연산과정에 대한 학생들의 오류 분석 -수준별 예비 고1 학생들을 대상으로-

장화련 전남대학교 2019 국내석사

There are many studies on the concept and method of mapping of irrational numbers in Korea. However, none of the studies have detailed error analysis in the concept, expression, and learning levels in the computational domain. In this study, we analyzed the understanding of the concept of irrational numbers of students who had learned the concept of irrational numbers by the guidance method of the current curriculum and analyzed the error types by analyzing a total of seven error types in the error analysis study of Kim Hyo-young in the three areas of concepts, expressions, and calculations. Furthermore, based on the results of the analysis, the cause of the error was analyzed through interviews with the students. In order to carry out this study, 39 prospective high school students were studied, and the test paper was made with a total of 10 questions, referring to the three textbooks of mathematics 9-gauge. Through the analysis of test results and the analysis of student interview data, the types and causes of errors by level were known. Through the analysis of test results and the analysis of student interview data, the types and causes of errors by level were known. In concept and expression areas, error types are distributed evenly regardless of level. In addition, the types of errors shown in lower level students also looked similar to those of higher level students, with high error rates for both upper, middle and lower levels. The concept of square root was also difficult for students to understand because of the conceptual difficulties of an irrational number of people that could not be defined as a single error-cause analysis of the conceptual area. In addition, because '' is read as 'square root', which is used as the meaning and symbol of square root, was confused with the concept of square root, making it difficult for students to understand accurately. In addition, in the middle-level, when new concepts of irrational numbers emerged, they were often used improperly in formulating their own concepts, failing to organize the associations between the concepts. At the lower level, he had insufficient knowledge of basic facts other than the concept of irrational numbers or of essential concepts, definitions, and mathematical symbols. The cause of the error in the expressive domain was greatly influenced by whether it had a misconception of the concept of irrational numbers. For the phase level, the frequency of misconceptions that each student had was low, but various error types were distributed. For the middle and lower levels, confusion in language use accounted for most of the errors. In particular, students with bad ideas about glass water also showed bad ideas about force because they tend to think the words "rational" and "irrational" only opposite each other. In addition, students were using simple memorization rather than knowing and using principles and reasons in the process of learning the nature of the irrational numbers presented in the textbooks. In the math area, the level of students at the upper and lower levels were significantly higher, and the frequency of errors was relatively lower in the math area than in other areas. This shows that school classes are based on formal calculations, and students themselves are focusing on calculation-oriented learning. Problems related to calculation of error cause analysis results need a correct understanding of concept and theorem in their nature, but for middle level students, they did not understand the theorem and nature properly, and were solved through simple memorization procedure to show technical error. The computational domain also indicated the need for identification and guidance of previous learning about concepts and properties. For the lower level, instead of showing technical errors, such as middle level students, there were errors resulting from a lack of basic computational skills that were essential to the other calculation processes. In particular, students at the lower level did not understand the need for 'rationalization' and did not know exactly what it meant. 국내 무리수의 개념과 지도 방법에 관한 연구들은 많이 있다. 하지만 무리수 영역을 개념과 표현 및 연산영역에서 학습 수준별로 나뉘어 세부적으로 오류분석을 한 연구는 없다. 본 연구에서는 현 교육과정의 지도 방법에 의해서 무리수 개념을 학습한 학생들의 무리수의 개념에 대한 이해정도를 분석하여 상, 중, 하 수준별로 학생들이 가지고 있는 오류를 개념, 표현, 연산 세 영역에서 김효영의 무리수 개념과 성질 및 계산과정에서 나타나는 오류분석 연구에서 총 7가지 오류유형 분석으로 오류유형을 분석 하였다. 더 나아가 분석 결과를 바탕으로 학생들과 면담을 통해 오류의 원인을 분석하였다. 본 연구를 수행하기 위해 연구 대상을 예비 고1 학생 39명을 대상으로 하였으며, 검사지는 수학 9-가 3종 교과서를 참조하여 총 10문항으로 제작하였다. 검사결과의 분석과 학생 면담 자료 분석을 통해 수준별 오류의 유형과 그 원인을 알 수 있었다. 개념 및 표현 영역에서는 수준별 상관없이 오류유형이 골고루 분포 됐다. 또한, 하 수준의 학생에게서 보이는 오류 유형이 상 수준의 학생에게도 비슷하게 보이기도 하였으며, 상, 중, 하 수준별 모두 높은 오류율을 보였다. 개념 영역의 오류 원인 분석 결과 하나로 정의 할 수 없는 무리수의 개념적 어려움 때문에 학생들은 제곱근의 개념 또한 이해하기 어려워하였다. 또한, 제곱근의 뜻과 기호로써 쓰이는 를 ‘제곱근’이라 읽기 때문에 제곱근의 개념과 혼동하여 학생들이 정확히 이해하지 못하고 어려워하였다. 또한 중 수준의 경우 무리수의 새로운 개념이 등장할 때마다 개념들 간의 연관성을 정리하지 못하여 나름대로 형식화하는 과정에서 부적절하게 사용되어 오류를 범하는 경우가 많았다. 하 수준의 경우 무리수 개념 외의 기초적인 사실의 부족함이나 필수적인 개념, 정의, 수학 기호에 대한 불충분한 지식을 가지고 있었다. 표현영역에서 오류의 원인은 무리수 개념에 대한 오개념을 지니고 있는지의 여부에 많은 영향을 받고 있었다. 상 수준의 경우 학생 개개인이 가지고 있는 오개념의 빈도는 낮았지만, 다양한 오류유형이 분포 되었다. 중 수준과 하 수준의 경우 언어 사용의 혼동에 의한 오류가 대부분을 차지하고 있었다. 특히, 유와 무라는 단어를 서로 반대로만 생각하는 경향이 있기 때문에 유리수에 대해 오개념을 지닌 학생들이 무리수에 대해서도 오개념을 보이고 있음을 알 수 있었다. 또한, 학생들은 교과서에 제시된 무리수의 성질을 학습하는 과정에 있어서 원리와 이유를 알고 사용하기보다 단순 암기를 통해 사용하고 있었다. 연산 영역에서는 상 수준의 학생들의 수준이 월등히 높았으며 중 수준 하 수준의 학생들도 연산 영역에서는 오류 빈도가 다른 영역에 비해 비교적 낮았다. 이는 학교 수업이 형식적인 계산 위주로 수업하고 있으며, 학생들 스스로도 계산 위주의 학습을 주로 하고 있음을 알 수 있다. 오류 원인 분석 결과 계산과 관련된 문제는 그 성격상 개념과 정리에 대한 올바른 이해가 필요하나 중 수준 학생들의 경우 정리 및 성질에 대해 제대로 이해하지 못하고, 단순 암기식 절차를 통해 풀어 기술적 오류를 보였다. 연산 영역도 개념 및 성질에 대한 이전 학습 내용에 대한 확인과 지도가 필요함을 알 수 있었다. 하 수준의 경우 중 수준의 학생들과 같이 기술적 오류를 보이기보다는 그 외의 계산 과정에서 필수적으로 알아야 할 기본적인 계산 기술 결여에서 오는 오류를 보였다. 특히, 하 수준의 학생들은 ‘분모의 유리화’의 필요성에 대해 이해하지 못 하였으며, 그 뜻에 대해서도 정확히 알지 못하였다.

2015 개정 중학교 2학년 수학 교과서에 반영된 창의·융합 문항 분석

차연지 전남대학교 2019 국내석사

The purpose of this study is to enhance teachers' understanding by learning about the meaning and sub-components of creativity and convergence, and to look at the current state of how creative and convergence capabilities are actually reflected in the second-year middle school textbooks according to the 2015 revised curriculum that will be applied from 2019. This was to provide useful information for the future development of textbooks and class materials. The results of an analysis of the creative and convergence questions contained in five textbooks for second grade middle school students according to the revised 2015 curriculum are as follows. First, the number of sub-factorial questions of creative convergence capabilities appearing in five textbooks totaled 132, with the largest number of external connections in mathematics standing at about 36.3 percent. It was followed by flexibility, mathematics inner connection, fluency and refinement, with the least originality at about 8.3 percent. This is the result of the analysis considering overlapping questions with two or three sub-components per question. The reason for the large number of external connections in mathematics is assumed to be to generate interest and interest in mathematics and to foster a positive attitude toward mathematics by making students experience various cases in which mathematics is utilized by utilizing real-life materials. Second, according to the comparison between textbooks, the textbook with the most number of sub-components of creative convergence capabilities was E textbook with 42 questions. The fewest textbooks had 20 questions as C textbooks, while the five textbooks had about 26 questions on average, with the rest excluding E textbooks showing similar numbers. The five textbooks were presenting a creative convergence section under the names of "creative convergence exploration," "big thinking mathematics," " math ability mugwort," "creative convergence project after crossing the mathematical world," "creative thinking and various solutions," and "focus! adding ability to the curriculum." Third, comparing the frequency of subcomponents of creative convergence questions by subject area, the geometric area was the most common with 37.9%, and the probability area was the lowest with 12.1%. The most common sub-component in the geometrical area was the external connection of mathematics, and the least visible sub-component was originality. The probability area also had the largest number of external connections in mathematics, and internal connections in mathematics never appeared. Based on the results of an analysis on the creative and convergence questions contained in math textbooks for the second year of middle school according to the 2015 revised curriculum, the following mathematical implications are to be provided. First, the results of analysis by sub-component of creative and convergence capabilities showed similar figures, but compared to the creative abilities of which the sub-components were evenly applied, the convergence capacity was more likely to be focused on the external connection of mathematics among the sub-components in all five textbooks. In order to provide students with various opportunities for accident development, even distribution of the subcomponents in creative and convergence questions is needed. Second, there is no diversity in the form of a question. During the analysis, questions were found using similar materials between textbooks. For example, there were many overlapping questions in the geometric section, such as the weight scale of the pyramid, the triplicate of colored paper, and the negative height of the text and expression sections. This means that there is a lack of diversity in creative and convergence questions. Third, there is a lack of research on questions and analysis of creative convergence capabilities for textbooks, which are the most frequently used tools in education. With the emergence of creative convergence capabilities in the 2015 revised curriculum, more analysis of creative convergence questions in textbooks should take place. 본 연구는 창의·융합의 뜻과 하위요소에 대해 알아봄으로써 교사들의 이해를 높이고, 2019년부터 적용될 2015 개정 교육과정에 따른 중학교 2학년 교과서에 창의·융합역량이 실제로 어떻게 반영되어 있는지 그 현황을 살펴보는데 그 목적이 있다. 이를 통해 향후 교과서 및 수업 자료의 개발에 유용한 정보를 제공하고자하였다. 2015 개정 교육과정에 따른 중학교 2학년 교과서 5종에 수록된 창의·융합 문항을 그 하위요소에 따라 분석한 결과를 종합하면 다음과 같다. 첫째, 5종의 교과서에 나타나는 창의·융합 역량의 하위요소 문항의 수는 총 132개이며, 수학 외적 연결이 약 36.3%로 가장 많이 나타났다. 그 뒤로 융통성, 수학 내적 연결, 유창성, 정교성 순으로 나타났으며, 독창성은 약 8.3%로 가장 적게 나왔다. 이는 한 문항 당 두 개 또는 세 개의 하위요소를 가진 문항이 있어서 중복되는 것을 고려하여 분석한 결과이다. 여기서 수학 외적 연결이 많이 나타난 이유는 학생들이 실생활 소재를 활용하여 수학이 활용되는 다양한 사례를 경험하도록 함으로써 수학에 대한 관심과 흥미를 일으키고 수학에 대한 긍정적인 태도를 기르게 하기 위함으로 추측된다. 둘째, 교과서끼리 비교한 결과, 창의·융합 역량의 하위요소가 가장 많이 나타난 교과서는 E 교과서로 42문항이 있었다. 가장 적은 교과서는 C교과서로 20문항이 있었고, 5종 교과서는 평균적으로 약 26문항으로 E 교과서를 제외한 나머지 교과서는 비슷한 문항 수를 보였다. 교과서 5종은 ‘창의·융합탐험’, ‘생각이 크는 수학’, ‘수학 역량 쑥쑥’, ‘수학 세상을 건너다 창의·융합 프로젝트’, ‘창의적 사고와 다양한 해결’, ‘집중! 교과 역량 더하기’ 등의 명칭으로 창의·융합 코너를 제시하고 있었다. 셋째, 교과영역별로 창의·융합 문항의 하위요소 빈도수를 비교한 결과, 기하 영역이 37.9%로 가장 많이 나타났고 확률영역이 12.1%로 가장 적었다. 기하 영역에서 가장 많이 나타난 하위요소는 수학 외적 연결이었으며, 가장 적게 나타난 하위요소는 독창성이었다. 확률 영역 역시 수학 외적 연결이 가장 많았고 수학 내적 연결은 한 번도 나타나지 않았다. 2015 개정 교육과정에 따른 중학교 2학년 수학 교과서에 수록된 창의·융합 문항을 그 하위요소에 따라 분석한 결과를 바탕으로 다음과 같은 수학적 시사점을 제공하고자 한다. 첫째, 창의·융합 역량의 하위요소별로 분석한 결과에서 창의역량과 융합역량은 비슷한 수치가 나왔지만 하위요소가 골고루 출제된 창의역량에 비해 융합역량은 5종 교과서 모두에서 그 하위요소 중 수학 외적 연결에만 치중되어 출제되어 있는 경향이 강했다. 학생들의 다양한 사고개발 기회를 제공하기 위해 창의·융합 문항에 있어 그 하위요소들의 고른 분포가 필요하다. 둘째, 문항 형태의 구성이 다양하지 않다. 분석하는 중 교과서끼리 비슷한 자료를 사용하는 문항들이 발견되었다. 예를 들어 기하 영역 단원에서는 피라미드의 무게 추, 색종이 삼등분하기, 문자와 식 영역 단원에서는 음의 높이 등의 겹치는 문항들이 많았다. 이는 창의·융합 문항 다양성이 부족하다는 것을 뜻한다. 셋째. 교과교육에서 가장 많이 활용되는 도구인 교과서에 대한 창의·융합역량의 문항분석연구가 부족하다. 2015 개정 교육과정에 창의·융합 역량이 새롭게 등장하면서 이를 반영한 교과서의 창의·융합 문항 분석이 좀 더 일어나야 할 것이다.

수학적 모델링 과정에서 나타나는 중학생들의 메타인지 분석

이명진 전남대학교 2018 국내석사

빠르게 변화하는 현 시대의 흐름에 발맞추어, 수학 교육은 학생들이 갖고 있는 지식과 쉽게 접할 수 있는 정보의 옳고 그름을 판단하고 그것들을 서로 연결 지어 지식을 활용하는 방법을 안내하는 역할을 할 수 있어야 한다. 2015 개정 수학과 교육과정에서는 학생들이 창의적 역량을 갖춘 융합 인재로 성장하기 위해 길러야 하는 수학 교과 역량을 제시하였는데 수학적 모델링은 6가지 수학 교과 역량과 연결되는 교수∙학습 방법임을 말하고 있다. 그런데 지식을 서로 연결하고 활용하는 방법은 ‘인지에 대한 인지’, ‘인지에 대한 반성’, ‘사고에 대한 사고’로 알려져 있는 메타인지와 관련이 깊다. 본 연구는 수학적 모델링 과정 중 수학적 모델의 적합성을 판단하는 과정에서 드러나는 학생들의 메타인지를 분석하고 수학적 모델링 과정에 메타인지가 긍정적인 역할을 할 수 있도록 하는 방법을 찾고자 하였다. 따라서 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 연구문제 1. 수학적 모델링 단계별로 나타나는 메타인지 요소를 분석한다. 연구문제 2. 메타인지 요소가 모델링 각 단계에서 하는 역할을 분석한다. 학생 5명을 모둠으로 구성하여 그들에게 총 2문제를 제시하였다. 첫 번째로 제시한 문제는 예비 문제로서 연구 방법의 방향을 설정하는 역할을 하였으며 두 번째 문제 상황을 해결하는 과정에서 나타난 학생들의 메타인지를 관찰하고 분석하였다. 그 결과는 다음과 같다. 첫째, 실세계 상황 이해 및 탐구 단계에서는 문제 해결 방법을 찾으려는 시도와 함께 문제 상황에 대해 이해하려고 노력하는 모습이 동시에 관찰되었다. 학생들은 자신이 경험한 실세계 상황과 문제 상황을 관련지어 고려하였고 이는 주어진 상황을 이해하는데 긍정적인 역할을 하였다. 둘째, 수학 문제 구성 단계에서 학생들은 주어진 문제 상황에서 무엇이 문제인지 직접적으로 언급하며 의견을 나누지는 않았다. 하지만 문제 상황을 해결하는데 있어서 적합한 방법을 판단하는 과정에서 학생들 스스로 자신이 구하고자 하는 것이 무엇인지 구체화할 수 있었다. 셋째, 수학적 모델 구성 단계에서는 실험을 통해 학생들 스스로 양과 양 사이의 관계를 식으로 표현하였다. 그러나 학생들은 이전 단계에서 얻은 결과와 현재 얻은 결과가 서로 상충된다는 점을 인지하지 못하였다. 이는 이전 활동을 지속적으로 확인하고 기억하는 것이 모델링 활동에 있어서 중요한 역할을 할 수 있다는 점을 시사한다. 넷째, 수학적 해 구하기 단계는 앞서 얻은 결과를 바탕으로 가격을 결정하는 단계인데 학생들은 자신이 경험해 본 바를 바탕으로 문제 상황의 의미를 재확인하며 가격을 결정하였다. 실세계 상황과 문제 상황을 연결하여 생각하는 것은 실세계 상황 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 하지만, 학생 스스로 고정된 개념이 자리 잡고 있는 상황에서는 또한 한계로 작용할 수 있다는 점을 관찰하였다. 다섯째, 모둠원들의 생각에 대해 비판적으로 생각하며 반성하고 문제점을 인지하는 경험과 그것에 대한 표현이 수학적 모델의 정교화 과정을 유도한다. 교사의 적절한 발문에 의해 학생들은 자신의 인지상태를 파악하고 잘못된 점을 발견할 수 있었다. 스스로 문제점을 인식한 후에는 기존의 전략을 수정하고 새로운 활동 방법을 제안하는 활동이 활발하게 이루어졌다. 이에 따라 모둠원들 사이에서 충분한 의견교환이 일어났다. 여섯째, 상황 해석 단계에서 학생들은 서로의 의견을 모아 최종적으로 문제 상황을 해결하였으며 그 결과를 보고 현실 상황과 관련지어 이야기를 나누었다. 결론적으로 교사는 모둠원들 사이에 충분한 의견교환이 일어나서 메타인지적 요소들의 상호작용으로 이어질 수 있도록 안내해야 하며 학생 스스로 이전 단계에서 관찰했던 내용을 기억하고 현재 자신이 하고 있는 활동과 비교할 수 있도록 도움을 주고 안내해야 한다. 긴 시간 동안 이어졌기 때문에 학생들 입장에서는 힘이 드는 수학적 모델링 과정이었지만 설문 결과 긍정적인 반응이 많이 관찰되었다. 수학적 모델링은 현재 교육과정에 언급되어 있는 것과 같은 맥락으로 꾸준히 강조되어야 한다. 이에 대해 교사는 학생들의 메타인지를 적절하게 이끌어 수학적 모델링 과정에 긍정적인 역할을 할 수 있도록 안내해야 한다. In keeping with the rapidly changing trend of the present age, Mathematics education should be able to judge the right and wrong of information that students can easily access, and to guide them how to use knowledge by linking them. In the 2015 revised mathematics curriculum, Mathematical modeling was identified as a method of teaching and learning linked to six mathematics curriculum competencies, which students should develop in order to grow into a fusion talent with creative competence. Also, the way to connect and utilize knowledge is related to the meta-cognition known as 'cognition about cognition', 'reflection on cognition', and 'thinking about thinking'. The purpose of this study is to analyze the meta-cognition of students in the Mathematical modeling process, and to provide some suggestions for finding ways to utilize the metacognition to positively play a role in the Mathematical modeling process. Therefore, the following research problems were set up. 1. Analyze the meta-cognitive factors that appear at each stage of Mathematical modeling. 2. Analyze the role of metacognitive factor in each step of modeling. A total of 2 problems were presented. The first problem was to set the direction of the research method as a preliminary problem, and the process of solving the second problem situation was considered as the research data. In the understanding and exploration phase of the real world situation, both the attempts to find solutions and the efforts to understand the problem situations were observed at the same time. The students considered the real-world situation and the problem situation that they experienced, and played a positive role in understanding the given situation. In the course of constructing mathematical problems, students did not directly comment on what was the problem in a given problem situation and did not share their opinions. However, in the process of determining the appropriate method for solving the problem situation, the students could specify what they would like to ask themselves. In the Mathematical modeling stage, students express themselves the relationship between quantity and quantity through experiments. However, the students did not realize that the results obtained at the previous stage and the results obtained at present are in conflict with each other. This suggests that continuing identification and remembering of previous activities can play an important role in modeling activities. The mathematical solution step is to determine the price based on the results obtained earlier. Based on the experiences of the students, the students reconfirmed the meaning of the problem situation and decided the price. Although it is important to link real-world situations with problem situations to solve real-world situational problems, we have observed that students can also act as limitations in the context of fixed concepts. Reflecting on the thoughts of the members of the group critically, reflecting and experiencing problems and expressing them leads to elaboration process of the mathematical model. Through the teacher's proper footing, students were able to grasp their own cognitive status and find out what was wrong. After recognizing the problems themselves, there have been active activities to revise existing strategies and suggest new ways of activities. As a result, there was a sufficient exchange of opinions among the group members. At the stage of analyzing the situation, the opinions of the group members were collected and finally the problem situation was solved. The teacher should guide enough interaction between the members of the group to lead to the interaction of the meta-elements and help the students to remember what they observed at the previous stage and to compare with the activities they are doing now Should be. It was a long process of Mathematical modeling for the students, but the results of the questionnaire were positive. Mathematical modeling should be consistently emphasized in the same context as is currently addressed in the curriculum. In this regard, the teacher should guide the student to take a proper role in the Mathematical modeling process by appropriately guiding the student's metacognition.